0906多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用本節(jié)主要解決以下兩個(gè)方面的問題本節(jié)主要解決以下兩個(gè)方面的問題: :1 1 空間曲線的切線問題空間曲線的切線問題2 2 空間曲面的切平面問題空間曲面的切平面問題sn設(shè)曲線的參數(shù)方程為設(shè)曲線的參數(shù)方程為,)()()( tzztyytxxozyxM.),(0000tttzzyyxxM 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于;),(0000ttzyxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面,)(),(),(均均可可導(dǎo)導(dǎo)tztytx),(zyxMMs :的一個(gè)方向向量為的一個(gè)方向向量為割線割線MM s切線切線:,切切線線的的一一個(gè)個(gè)

2、方方向向向向量量為為故故割線的極限位置稱為切線割線的極限位置稱為切線.向向量量顯顯然然,ozyxMM ),(zyxMMs :的一個(gè)方向向量為的一個(gè)方向向量為割線割線MM s),(1tztytxst .的的一一個(gè)個(gè)方方向向向向量量也也是是割割線線MM )lim,lim,lim(000tztytxttt T).(),(),(000tztytx T:切線的方程為切線的方程為法平面法平面: )(00 xxtx過過M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面,曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)M處的法平面方程為：處的法平面方程為：ozyxMM sT T).(),(),(000tztytx )(00txxx )(00tyyy

3、.)(00tzzz )(00yyty. 0)(00 zztz),(000zyx解解,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t, 1 x,2ty ,62tz , 1)1( x, 2)1( y, 6)1( z故故,切線方程為切線方程為: 11x法平面方程為法平面方程為:, 0)2(6)1(2)1( zyx. 01562 zyx即即.12,:32法平面方程法平面方程處的切線和處的切線和在在求曲線求曲線 ttztytx例例1 1, 2, 1, 1 zyx T切向量切向量),6 , 2 , 1().2 , 1 , 1(1對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)即即 t 21y,62 z解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t,costext ,sincos2t

4、ty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z.01,cossin2,cos: 30處處的的切切線線和和法法平平面面方方程程在在求求曲曲線線 tezttyuduextt u練習(xí)練習(xí)1 1, 2, 1, 0 zyx T切向量切向量),3 , 2 , 1(),2 , 1 , 0(得得點(diǎn)點(diǎn)故故,切線方程為切線方程為: ,322110 zyx法平面方程為法平面方程為:, 0)2(3)1(2)0( zyx. 0832 zyx即即1. 空間曲線的方程為空間曲線的方程為: )()(xzzxyy,),(000處處在在曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn)zyxM,)()(100000 xzzzxyyyxx .

5、 0)()()(00000 zzxzyyxyxx法平面方程為：法平面方程為：特殊地：特殊地： T 切向量切向量),( ),( , 1(00 xzxy 切線方程為切線方程為:),(),( 0000 xzzxyy 其中其中 )()(xzzxyyxx解解.12,:32的切線和法平面方程的切線和法平面方程的點(diǎn)處的點(diǎn)處上對(duì)應(yīng)于上對(duì)應(yīng)于求曲線求曲線 xxzxyL練習(xí)練習(xí)2的的點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線線上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于1 x),2 , 1 , 1(,6 ,22xzxy , 6)1( , 2)1( zy T 切切向向量量),6 , 2 , 1(:切切線線方方程程為為,622111 zyx:法平面方程為法平面方程為. 0

6、)2(6)1(2)1( zyx. 01562 zyx即即2. 空間曲線的方程為空間曲線的方程為: 0),(0),(zyxGzyxF故故,切線方程為切線方程為:法平面方程為法平面方程為:. 0)()()(02010 zzJyyJxxJMMM),(000zyxM設(shè)設(shè)曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn),20100MMMJzzJyyJxx T 切向量切向量),(MyxyxMxzxzMzyzyGGFFGGFFGGFF),(21MMMJJJ :,0 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) MzyzyMGGFFJ )()(xzzxyy.)1 , 2, 1(0, 6:222的切線和法平面方程的切線和法平面方程處處在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線 zyxzyxL例例

7、2解解2 將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng)，得求導(dǎo)并移項(xiàng)，得:解解1 直接利用公式直接利用公式(不提倡使用該法不提倡使用該法). 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0)1, 2, 1( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz), ,( T所以有切向量所以有切向量01 1故故, 所求切線方程為所求切線方程為:,110211 zyx法平面方程為法平面方程為:, 0)1()2(0)1( zyx. 0 zx即即設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為, 0),( zyxF),(),(),(000tztytxT 曲線在曲線在M M處的一個(gè)切向量為處的

8、一個(gè)切向量為: :切平面切平面 ,)()()(:tzztyytxxnTM二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點(diǎn)過點(diǎn)M M的且在的且在M M處有切處有切線的曲線線的曲線法線法線0000:),(ttzyxM ),(),(),(MFMFMFnzyx 令令顯然顯然,Tn 故故, ,切平面方程為切平面方程為: :, 0)()()(000 zzMFyyMFxxMFzyx, 0)(),(),( tztytxF, 0)()()()()()(000 tzMFtyMFtxMFzyx),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyx ),(),(),(0

9、00tztytxT 曲線在曲線在M處的一個(gè)切向量為處的一個(gè)切向量為:法線方程為法線方程為: :.)()()(000MFzzMFyyMFxxzyx )(),(),( :MFMFMFzyx即即)(),(),(000tztytx , 0 解解, 32),( xyezzyxFz )0 , 2 , 1(xF令令.)0 , 2 , 1(32 法線方程法線方程處的切平面和處的切平面和在點(diǎn)在點(diǎn)求曲面求曲面 xyezz例例3 3)0 , 2 , 1(2y, 4 , 22)0 , 2 , 1()0 , 2 , 1( xFy, 0)1()0 , 2 , 1()0 , 2 , 1( zzeF n 切切平平面面的的法法

10、向向量量),0 , 2 , 4(故故,切平面方程為：切平面方程為：法線方程為：法線方程為：, 0)0(0)2(2)1(4 zyx.001221 zyx解解.)4 , 1 , 2(1 22法線方程法線方程處的切平面和處的切平面和在點(diǎn)在點(diǎn)求曲面求曲面 yxz練習(xí)練習(xí)3 3),1(),( 22 yxzzyxF令令)4 , 1 , 2()4 , 1 , 2()1 ,2,2(yxn ),1 , 2, 4( 故故,切平面方程為：切平面方程為：, 0)4()1(2)2(4 zyx法線方程為：法線方程為：.142142 zyx,),(000為切點(diǎn)為切點(diǎn)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)zyxM點(diǎn)點(diǎn)M處的切平面的一個(gè)法向量為處的切平面的

11、一個(gè)法向量為:解解.1642132 222的的切切平平面面的的方方程程的的平平行行于于平平面面求求曲曲面面 zyxzyx例例4 4 n),6 ,4 ,2(000zyx依題意依題意, 切平面平行于已知平面切平面平行于已知平面, 所以所以:,664412000zyx ,2000zyx 即即, 10 x代入曲面方程代入曲面方程, 解得解得:,),(000在在曲曲面面上上點(diǎn)點(diǎn)又又zyx故故, 所求切點(diǎn)為：所求切點(diǎn)為：)2 , 2 , 1( 和和),2, 2, 1( , 0)2(6)2(4)1( zyx. 0)2(6)2(4)1( zyx所以所以, 所求切平面的方程為所求切平面的方程為:和和故故, 所求

12、切點(diǎn)為：所求切點(diǎn)為：)2 , 2 , 1( 和和),2, 2, 1( ),6 , 4 , 1( n取取法法向向量量空間曲面方程形為空間曲面方程形為,),(時(shí)時(shí)yxfz 曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn)M處的切平面方程為處的切平面方程為:),)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx ),(),(yxfzzyxF 令令曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn) M ( x0, y0, z0 ) 處的切平面的法向量為處的切平面的法向量為:),1),(),(0000yxfyxfnyx 全微分的幾何意義全微分的幾何意義:.切切平平面面的的方方程程問問題題切平面切平面z yyxfxyxfyx ),(),(0000切平面切平面z

13、dz練習(xí)練習(xí)解解:),2,2,6(000zyxn 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為),(000zyx依題意知依題意知, 切平面另一個(gè)法向量為切平面另一個(gè)法向量為),3, 3( ,32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 因?yàn)榍悬c(diǎn)滿足曲面和平面方程，所以因?yàn)榍悬c(diǎn)滿足曲面和平面方程，所以:,016930169320202200020 xxxxxx . 2 , 10 x:則則切切平平面面有有一一法法向向量量為為.,16301633222 求求相切相切與橢球面與橢球面如果平面如果平面 zyxzyx三、小結(jié)與教學(xué)基本要求三、小結(jié)與教學(xué)基本要求( (掌握掌握):):曲線的切線與法平面曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的