韋達定理與根與系數(shù)的關系測試題

1、根與系數(shù)的關系練習題、選擇題1 11若兀，x2是一元二次方程3x2x-1=0的兩個根，則的值是（）XiX2A.2B.1C1D.32 .若關于x的一元二次方程x2kx4k2-3=0的兩個實數(shù)根分別是為，x?,且滿足X1X2=xLX2.則k的值為（）3 3十*亠A.-1或B.-1C.D不存在4 43.方程x2-3x-6=0與方程x2-6x+3=0的所有根的乘積為（）A.-18B.18C.-3D.34.右X1,X2疋兀二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則X12+X22的值是（）5911A.B.-C.D.74445.若關于x的-兀二次方程2x22x+3m1=0的兩個實數(shù)根x1,x2，且x1x2&g

2、t;x1+x24，則實數(shù)m的取值范圍是5 1551A.m>B.mWC.mvD.vm<323325. 已知方程x2+（2k+1）x+k22=0的兩實根的平方和等于11,k的取值是（）A.3B.3C.1D.3或16. 下列說法中不正確的是（）2A.方程x+2x-7=0的兩實數(shù)根之和為2B.方程x2-3x-5=0的兩實數(shù)根之積為-5C. 方程x2-2x-7=0的兩實數(shù)根的平方和為183D. 方程x2-3x-5=0的兩實數(shù)根的倒數(shù)和為527. 如果x的方程x+kx+1=0的兩根的差為1,那么k的值為（）A.±2B.±.3C.±.5D.±.6&

3、已知關于x的方程25x+kx-6=0的一個根為2,設方程的另一個根為X1,則有（A.X1=3,k=-7B.X1=-3k=-7C.X1=-3,k=7D.X1=,k=75555、填空題1.已知一元二次方程2x2-3x-1=0的兩根為x1、x2，則x.）x2=22. 如果x1,x2是方程x-5x0的兩個根，那么x1x2=.3. 已知捲,X2是方程x2+6x+3=0的兩實數(shù)根，則翌+爼的值為X1X24已知Xi、X2是關于x的方程(a-1)x2xa2-1=0的兩個實數(shù)根，且+x?=-,3貝廿XiX2=5.設xi、X2是方程2x2+4x-3=0的兩個根，則(x什1)(x2+1)=6若方程2x24x-3=0

4、的兩根為a、B,則a22a02=.27若方程2x-5xk0的兩根之比是2:3,則k=.8請寫出一個二次項系數(shù)為1,兩實根之和為3的一元二次方程：三、解答題1已知關于x的二次方程x2+mx-仁0的一個根是.2-1，求另一個根及m的值.2已知關于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的兩個實數(shù)根的平方和等于6,求k的值.3.a,B是關于X的一元二次方程(m1)x2X+1=0的兩個實數(shù)根，且滿足(a+1)(3+1)=m+1，求實數(shù)m的值.4已知關于x的方程x2-2(m-2)xm2=0，問：是否存在正實數(shù)m,使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.25.已知關于x的

5、一元二次方程x+(4m+1)x+2m-仁O.(1)求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根;111若方程兩根為X1、X2，且滿足丄+丄=-，求m的值.X1X22一元二次方程根與系數(shù)的關系應用例析及訓練安徽省利辛縣教育局督導室夏飛對于一元二次方程：'】一山，當判別式I時，_-吐腫-4m其求根公式為：；若兩根為：，當0時，則兩根的關X陽二_一；“，根與系數(shù)的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當1，一；時，那么/則是'-111的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數(shù)學中占有極重要的地位，也是數(shù)學學習中的重點。學習中，老師除了要求同

6、學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程'-'-"山根的判別式L-?、存在的三種情況，以及應用求根公式求出方程；'-"'''''111的兩個根甘；，進而分解因式，即nn冷丄7-o下面就對應用韋達定理可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關于T的方程（1）-有兩個不相等的實數(shù)根，且關于丫的方程（2）二H二一-:沒有實數(shù)根，問取什么整數(shù)時，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的丿的取值范圍中篩選符合條

7、件的的整數(shù)值。解：方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根,13a<解得-;方程（2）沒有實數(shù)根,Aa=(-2)a-4(2tf-l)<0解得：'1；1Li于是，同時滿足方程（1）,（2）條件的的取值范圍是:其中，的整數(shù)值有：I或，一當：一時，方程（1）為?;.-：，無整數(shù)根;當，時，方程（1為':.，有整數(shù)根解得：I二-.二*所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是.<.說明：熟悉一元二次方程實數(shù)根存在條件是解答此題的基礎，正確確定丿的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出-S這也正是解答本題的基本技巧。、判別一元二次方程兩根的符號例1：不解

8、方程，判別方程=丿兩根的符號分析：對于-111來說，往往二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式厶，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定】或<的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定1或-1-:的正負情況解：.:一4X2X(7)=65>0方程有兩個不相等的實數(shù)根。設方程的兩個根為'!,7珂眄二一一'IV0原方程有兩個異號的實數(shù)根。說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關系”結合起來進行確定，另外由于本題中1:V0,所以可判定方程的根為一正一負；倘若Jo,仍需考慮;1_:的正負，方可判別方程是

9、兩個正根還是兩個負根。三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數(shù)的值。例2:已知方程：.的一個根為2，求另一個根及的值分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把二二代入原方程,先求出匸的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系求出另一個根及的值。解法一：把：代入原方程，得:26x2+/-2戰(zhàn)+5=0即：廠_.:;i:11解得:-1=廠二-當'-1'-1時，原方程均可化為:解得：-'方程二.的另一個根為4,'的值為3或一1解法二：設方程的另一個根為根據(jù)題意，利用韋達定理得:珂+陽二4一6）二6,忑陽二怖一2禰+$把

10、；1代入-，可得："-I把二丨代入'I，可得:.方程.：J-1一-.的另一個根為4,匸的值為3或一1說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單例3：已知方程“有兩個實數(shù)根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求匸的值分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于匸的方程，即可求得匸的值。解：方程有兩個實數(shù)根，解這個不等式，得匸w0設方程兩根為；'則2），首遇二懈'+4整理得：<.7-:解得：-'-說明：當求出-1一-后，還需注意隱含條件出二1，應舍去不合題意的乜。四、運用判別式及根與系數(shù)的關系解題。例

11、5：已知1、V是關于Y的一元二次方程：-的兩個非零實數(shù)根，問和二能否同號？若能同號，請求出相應的匸的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關于丁的一元二次方程十一丄-有兩個非零實數(shù)根,則有.二-I.-:_.-1'I'又【、=是方程：-的兩個實數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得：X+乃=_（幡_1）,如m=m假設：、二同號，則有兩種可能：(1)“(2):-''-V-11%+xa<0若珂<0,乃<0,貝函：>o；-伽-1)<01,-m2>0即有：1.4解這個不等式組，得;1“？5I時方程才有實樹根，此種情況不成立。L

12、+x3>0若xpO,©丸,則有：U>0-(尚-1)>0-waa>0即有：1.4解這個不等式組，得-.;5然蘭一又I,當j時，兩根能同號說明：一元二次方程根與系數(shù)的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內在聯(lián)系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應是同學們重點練習的內容。六、運用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關系解題例：已知二、i是方程二.的兩個實數(shù)根，求:-的值分析：本題可充分運用根的意義和根與系數(shù)的關系

13、解題，應摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。解法一：由于匚是方程_:的實數(shù)根，所以；11設寸+q0+2g二M，卅+如+2氏與儼+20-$相加，得:J.?+)二（0+伊）+2也+向+如-$-'''-h；-二J（變形目的是構造二f和J）根據(jù)根與系數(shù)的關系，有：0：+=-2,聯(lián)二J于是，得：J=廠廠=一-4-4+5-5=0.二：A=o解法二：由于二、是方程J丄.-:的實數(shù)根，.:.I?'兩式相減，得1厶:z<-I說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數(shù)時，運

14、算將十分繁瑣，這時,如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題例8：已知兩方程-和1至少有一個相同的實數(shù)根，求這兩個方程的四個實數(shù)根的乘積。分析：當設兩方程的相同根為二時，根據(jù)根的意義，可以構成關于二和匸的元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關系求值。解：設兩方程的相同根為二，根據(jù)根的意義,cr2-（加+1）厲+13悄+7二01，方程的判別式二(一轉)2_4伽+5)=(-)：_4(-+5)=丄衛(wèi)<066363方程無實數(shù)解皆2伽+

15、1）二當亠.時，有實數(shù)解一代入原方程，得_一丨；I，所以v''于是，兩方程至少有一個相同的實數(shù)根，4個實數(shù)根的相乘積為0+閘(13戰(zhàn)+7)=14x124=1736說明：（1）本題的易錯點為忽略對11-':的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認門1./的錯誤，甚至還會得出并不存在的解:_1當11-'：時，.匚，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為:（用+5尸841（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：A-卜搟尸-4（卿+5）二聊彳_4拠_20N°且二二t二Ml另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式

16、才有意義【趁熱打鐵】一、填空題：1、如果關于：的方程-I的兩根之差為2,那么k-o2、已知關于X的一元二次方程匸一；二兩根互為倒數(shù)，則o3、已知關于-的113方程"-的兩根為II,且必r4,貝U刖二o4、已知心勿是方程2"-7x-4二0的兩個根，那么：2.2珂+陽=，-；*o5、已知關于；的一元二次方程-.；:的兩根為1和，且-,貝時Jo6、如果關于丄的一元二次方程/"''的一個根是丨',那么另一個根是,的值為o7、已知-*-是二廣I1的一根，則另一根為,的值為o8個一元二次方程的兩個根是-空廠和-，那么這個一元二次方程為：o二、求值題：1

17、、已知是方程.的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求珂%+坷才的值。2、已知心勺是方程3?-2x-l=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求日；.的值。3、已知I是方程-II的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求r的值。4、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。5、已知關于x的方程-譏-L.-二-i的兩根滿足關系式'<-I,求匸的值及方程的兩個根。6、已知方程y和hI有一個相同的根，求的值及這個相同的根。三、能力提升題：i實數(shù)廠在什么范圍取值時，方程：-第r"有正的實數(shù)根？2、/+（刑一2）x+牌一3二0已知關于的一元二次方程1（1）求證：無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相

18、等的實數(shù)根。（2）若這個方程的兩個實數(shù)根、二滿足'I1-用''，求匸的值21卜x-Qn-2訊）蓋+朋社=°3、若.，關于一的方程-有兩個相等的正的實數(shù)m根，求.的值。4、是否存在實數(shù)，使關于丄的方程的兩個實根心勾，滿足可2,如果存在，試求出所有滿足條件的上的值，如果不存在，請說明理由。5、已知關于丄的一元二次方程型：“：（II）的11兩實數(shù)根為1巴，若I求匸的值。6、實數(shù)匸、卜分別滿足方程|'.，八:.和：.，求代數(shù)式豹耳+4刑+1H的值。答案與提示：一、填空題：1提示:二；-；：，；'，：-'"，：_-,*：佃+無-佃陽=4

19、，解得：-_s+1_112提示：_1,由韋達定理得，_：”一_a+1解得：，：,代入；-檢驗，有意義。1133、提示：由于韋達定理得：十一_74、提示：由韋達定理得：.'I,二_韻<2x(-2)65，-r111_i；由產(chǎn)e二J可判定方程的兩根異號有兩種情況：設1>0,；v0,h>0,則A1_X2-（西一陽）=-罟一2x(2)9:;設Jv0,5、提示：由韋達定理得:6、提示：設,-1-，由韋達定理得：X-、_,，二1J'-,解得：一1,J，即:07、提示：設'i_-/：，由韋達定理得：I二J,.2+$+兀2=4，.】，.二二.亠8提示：設所求的一元二次方

20、程為1，那么:?，-一二:，亠.，即fJ_:亠Jjj-；設所求的一元二次方程為：1-:二、求值題：_31提示：由韋達定理得：.'1，'1，''i二詢（屮滬2麗廣-孰孑+2濟詣2鬲+玄二一X】島2、提示：由韋達定理得：.'j,''=【（再+為）（珂-陽）,二久+朋（州+為）?-4召-4x(-1)=-381_33、提示：由韋達定理得：'1,二二一匚,/兒'_'一II.-_1'i1'_I_1_1=恥）咻+恥+論=（-2）W|K-$-3x（-2）=-券4、提示：設這兩個數(shù)為："'：,于是有

21、；：'；-',；：I,因此I；可看作方程"I的兩根，即，二一：，所以可得方程：.1-：，解得：-:丨，-匚'，所以所求的兩個數(shù)分別是3+的，3-厲。5、提示：由韋達定理得vn-_珮+11，m，rf朋-If仆瀏+1_1b心-】，I1，化簡得：腫二II;解得：物T1,桝2=1；以下分兩種情況:當C時,廠1，二、1,組成方程組:兀+i2=5(i)西-3的m；解這個方程組得：內二Sm-當，-時，：j，丁二I,組成方程組:珂+屯二-1(i)可-虧二1.:解這個方程組得：%=0厲=T6、提示：設7】；I-和-2-：-h1相同的根為:;-:'，于是可得方程組：a，+盤潮+4=0:圧-說加2)m；+得：/+6二0,解這個方程得：.二“I.；.、=._13以下分兩種情況：(1)當T二時，代入得1"5;(2)當-時,代入得<所以I-和-ilI相同的根為匚二的_13值分別為，2，T-J。三、能力提升題：1、提示：方程有正的實數(shù)根的條件必須同時具備：判別式0;；二>0,1一2>0;于是可得不等式組