2.1-第二型曲線積分ppt課件

1、l 第一節(jié) 第二型曲線積分 l 第二節(jié) 第二型曲面積分 l 第三節(jié) 各種積分的關(guān)系及其l 在場論中的應(yīng)用 第七章第七章 向量函數(shù)的積分向量函數(shù)的積分( (一一) )、 第二型曲線積分的概念第二型曲線積分的概念1.1 1.1 第二型曲線積分的概念與性質(zhì)第二型曲線積分的概念與性質(zhì)引例：變力沿曲線所作的功引例：變力沿曲線所作的功分分割割：任任取取點點列列BAAAAAAnn ,121，把把曲曲線線段段 C 任任意意分分成成 n 個個有有向向小小弧弧段段), 2 , 1( 1niAAii ，第第 i 段段弧弧 iiAA1 的的長長度度記記為為is 。 x2AiA1 iA1A AA nAB ZyiToiM

2、),(),(iiiiiiiiiiiTsFTsFW 所所作作的的功功的的近近似似值值 niiiiiiiiniiTsFWW11),(),(其其中中 ),(iiiiTT 是是質(zhì)質(zhì)點點在在點點 Mi處處沿沿曲曲線線 C 的的單單位位切切線線向向量量。 .),(),(lim10 niiiiiiiidTsFW（二）、第二型曲線積分的定義（二）、第二型曲線積分的定義令令max1inisd ，iiiiiiAAM1),( ，作和式，作和式 niiiiiiiisTA1),(),(，其中，其中),(iiiT 是是 C 上點上點 iM處相應(yīng)于所給方向的單位切線向量。處相應(yīng)于所給方向的單位切線向量。 時時如果當(dāng)如果當(dāng)

3、0 d，和式的極限總存在，和式的極限總存在，則稱此極限為則稱此極限為 向量值函數(shù)向量值函數(shù)),(zyxA沿有向曲線沿有向曲線 C 的第二型曲線積分，的第二型曲線積分， 記作記作dszyxTzyxAC),(),( ，即，即 .),(),(lim),(),( niiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng)),(zyxA在在有有向向光光滑滑曲曲線線 C 上上連連續(xù)續(xù)時時， dszyxTzyxAC),(),( 必必存存在在。 設(shè)設(shè)kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( ， RdzQdyPdxdzdydxAdsTA ,。 上上式式是是第第二二型型曲曲線

4、線積積分分的的坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式，因因此此第第二二型型曲曲線線積積分分 也也叫叫做做對對坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲線線積積分分。 dszyxTzyxAC),(),( CdzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(,1,)()()(1222dzdydxdsdzdydxdzdydxT ， 通通常常將將dsT記記為為ds，即即,dzdydxds ， 則則第第二二型型曲曲線線積積分分的的向向量量形形式式為為 CdsA 。 若若C為平面有向光滑曲線弧，向量值函數(shù)為平面有向光滑曲線弧，向量值函數(shù) jyxQiyxPyxA),(),(),( ，則有，則有 CCdyyxQdxyxPdsA),(),(。 ds稱為稱

5、為弧長向量微元弧長向量微元。 （三）、第二型曲線積分的性質(zhì)（三）、第二型曲線積分的性質(zhì)1 （線線性性性性）21 , kk設(shè)設(shè)為為常常數(shù)數(shù)，則則 . CCCdsBkdsAkdsBkAk 21212 2 （積分弧段的可加性）積分弧段的可加性）若曲線弧若曲線弧 C 由由21CC 與與首尾首尾 相接而成，則相接而成，則 . 21 CCCdsAdsAdsA3 3 （方方向向性性）若若 C是是與與 C 方方向向相相反反的的有有向向曲曲線線弧弧，則則 CCdsAdsA 。 1.2 1.2 第二型曲線積分的計算第二型曲線積分的計算又設(shè)向量值函數(shù)又設(shè)向量值函數(shù)),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzy

6、xA 在在 C 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 RdzQdyPdxdszyxACC ),()()(),(),()()(),(),(tytztytxQtxtztytxP dttztztytxR)()(),(),( （1 1）當(dāng)當(dāng) C 是是平平面面曲曲線線，其其參參數(shù)數(shù)方方程程為為)( ),(tyytxx 時時， 則則有有 CCQdyPdxdsyxA),( dttytytxQtxtytxP)()(),()()(),( 。 注注: （2 2）若若平平面面曲曲線線 C 的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為)(xyy ， axA 起起點點，bxB 終終點點，則則有有 CCQdyPdxdsyxA),(dxxyxyxQx

7、yxPba)()(,)(, 公公式式中中定定積積分分的的下下限限、上上限限分分別別為為對對應(yīng)應(yīng)于于 有有向向曲曲線線弧弧 C 的的起起點點、終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值，下下限限不不一一定定 小小于于上上限限。 例例 1計計算算dxxyC ，其其中中 C 為為拋拋物物線線 xy 2上上從從 點點)1 , 1( A到到點點)1 , 1(B的的一一段段弧弧。 解解法法 1：將將所所給給積積分分化化為為對對 x 的的定定積積分分來來計計算算。 xy ，需需分分段段，C=AO+OB， AO：xy ，x：01； OB：xy ， x：10； xxy 2yo)1, 1( A)1 , 1(B.54d2d )d(1

8、 0 1 0 0 1 x xxxxxxxx dxxydxxydxxyOBAOC 解解法法 2 2：將將所所給給積積分分化化為為對對 y 的的定定積積分分來來計計算算。 C：2yx ，y：11 。 xxy 2yo)1, 1( A)1 , 1(B dxxyCdyyyy)(21 1 2 .5421 1 4 dyy例例 2計算曲線積分計算曲線積分dyyxdxyxC)()( ，路徑，路徑 C 是是 （1）圓?。﹫A弧 AB； （； （2）折線）折線 AOB。 解解： （1）圓圓弧弧AB的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 tx cos ，ty sin ；20 : t。 tttttttd)cossin(cos)sin)

9、(sin(cos20 . 1sin2cos220 dtttdyyxdxAByx)()( xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(BdyyxdxyxAOB)()( dyyxdxyxAO)()( . 12121)(1 0 0 1 dyyxdx 從從例例 2 看看出出，雖雖然然沿沿不不同同路路徑徑，但但曲曲線線積積分分值值可可以以相相等等。 （2）AO的的方方程程為為0 y，x：01，0 dy； OB的的方方程程為為0 x，y：10，0 dx。 dyyxdxyxOB)()( xyo)0 , 1 (A) 1 , 0(B例例 3計算曲線積分計算曲線積分ydxdyxC ，其中積分路徑為，其中積分路徑為 （

10、1）在橢圓）在橢圓12222 byax上，從上，從)0 ,(aA經(jīng)第一、二、三經(jīng)第一、二、三 象限到點象限到點), 0(bB ； （2）在直線）在直線bxaby 上，從點上，從點)0 ,(aA到點到點), 0(bB 。 xyo)0 ,(aA) ,0(bB .2323 0abdtab dttatbtbtaydxdyABx)sin(sincos cos23 0 xyo)0 ,(aA) ,0(bB 解： （解： （1）橢圓）橢圓12222 byax的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 tbytaxsincos，且起點，且起點 A0 t，終點，終點 B23 t， dxbxababxydxdyxaAB)(0 （2）

11、線線段段 AB 的的方方程程為為：bxaby ， 起起點點 Aax ，終終點點 B0 x，dxabdy ， .0 abdxba 從例從例3看出，雖然兩個曲線積分的被積函數(shù)相同，起看出，雖然兩個曲線積分的被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但沿不同路徑所得的值并不相等。點和終點也相同，但沿不同路徑所得的值并不相等。xyo)0 ,(aA) ,0(bB 解解：直直線線 AB 的的點點向向式式方方程程為為312111 zyx， 參參數(shù)數(shù)式式方方程程為為 tztytx31211， dzyzyyxdx)13(d2 dttttt31)2(1)33(12)2(1)(10 1 2 .3223)8306(20 1 dttt例例 4計算曲線積分計算曲線積分 dzyzdyyxdx)13(2， 是是從從點點)4 , 3 , 2(A到到)1 , 1 , 1(B的的直直線線段段。 起起點點 A1 t，終終點點 B0 t。 單單位位切切向向量量cos,cos,cos,1 dzdydxdsT， dsdx cos，dsdy cos，dsdz cos。 其其中中 cos , cos , cos是是 C 上上點點),(zyx處處對對于于 所所給給方方向向的的單單位位切切