數(shù)列重要方法匯總

1、數(shù)列重要方法匯總一、遞推公式求通項(xiàng)公式1、累加法，一般形式：an1anf(n)例1已知數(shù)歹Uan滿足ai=1,an=3n-1+an-i(n>2),求其通項(xiàng)公式an.2、累乘法，一般形式：an1anf(n)n1一例2.在數(shù)列an中，a1=1,an=nan-1(n>2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。第1頁(yè)共17頁(yè)3、定義法4、構(gòu)造法(1)等比型構(gòu)造，an1panq例3已知數(shù)列an中，ai=1,an+i=2an+3,求an.(2)等差型構(gòu)造，一般形式aniqanqn例4.在數(shù)列an中，ai=1,an+i=2an+2n,nGN.求數(shù)列an的通項(xiàng)；第2頁(yè)共17頁(yè)JJ二、求和1、公式法2、倒序相加法

2、3、錯(cuò)位相減法bn是等差數(shù)列，且例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,an=bn+bn+1.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；一an+1n+l(2)令Cn=10n,求數(shù)列Cn的刖n項(xiàng)和Tnbn十2第3頁(yè)共17頁(yè)4、裂項(xiàng)相消求和法nN*,.,1,1,11+.c+.cc+.CC，1+21+2+31+2+3+-+n?1111例6求和：22_1+32_1+42_1+n2_1'n>2?nGN.常見(jiàn)數(shù)列的裂項(xiàng)方法第4頁(yè)共17頁(yè)數(shù)列（n為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法1、.（k為非nn+k、零常數(shù)）1111nn+kknn+k11_11_14n214n2-1-22n-12n+111/IAVn+Vn+15+后-w+

3、1而.1，一loga1+n(a>0,a乎1),.,1-，一,loga1+n=loga(n+1)logan5、分組求和法1111例7.已知數(shù)列：1,2,3g,，n+了，則其刖n項(xiàng)和關(guān)于n的表達(dá)式為.6、弁項(xiàng)相消求和法例8.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3b已知S1=1-2+3-4+-+（-1）n1n,則Si7=.第5頁(yè)共17頁(yè)三、an與Sn的關(guān)系3nan1SnSni,n2例9.（2015全國(guó)卷n）設(shè)3是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且ai=1,an+1=SnSn+1,則Sn=.例10.(2015全國(guó)卷I)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an>0,a2+2an=4Sn+3.(1)求an的通項(xiàng)公式；一1(2)

4、設(shè)bn=,求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和.anan+1例11.(2018全國(guó)新課標(biāo)I理)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1,則S6第6頁(yè)共17頁(yè)例12.設(shè)數(shù)列an前n項(xiàng)和為S,數(shù)列&的前n項(xiàng)和為，滿足2Tn2Snn,nN.(1)求”的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.第7頁(yè)共17頁(yè)數(shù)列重要方法匯總一、遞推公式求通項(xiàng)公式1、累加法，一般形式：an1anf(n)例1已知數(shù)歹Uan滿足ai=1,an=3n-1+an-i(n>2),求其通項(xiàng)公式an.解由已知，得an-an-1=3n-1(n>2),所以a2a=3,a3a2=32,a4a3=33,，anan1=3n1,以上各式左右兩邊分別

5、相加，得an-a1=3+32+33+3n-1,31-3n-1所以an=1-33n1+1=-2-(n>2),一/311、，3匚1,又n=1時(shí)，a=1=2，所以an=?(nGN).2、累乘法，一般形式：an1anf(n)n1一例2.在數(shù)列an中，a1=1,an=nan-1(n>2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。n1.角牛析：.an=nan1(n)2),n2n31an1=an-2,an-2=an3,，22=121.n-1n-22第8頁(yè)共17頁(yè)以上(n1)個(gè)式子相乘得1- n-電n-1-nn2- .31-21a-na.1*當(dāng)n=1時(shí)，ai=1,上式也成工.一.an=n(nGN).答案：an=n(

6、nN*)3、定義法4、構(gòu)造法(1)等比型構(gòu)造，an1panq例3已知數(shù)歹Uan中f,a1=1,an+1=2an+3,求an.解遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1t=2(ant),即an+1=2ant,則t=-3.故遞推公式為an+1+3=2(an+3).bn+1an+1+3令bn=an+3,則b1=a+3=4,且=2bnan+3所以bn是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以bn=4X2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.(2)等差型構(gòu)造，一般形式ampanqn例4.在數(shù)列an中a1=1,an+1=2an+2n,nGN*.求數(shù)歹ijan的第9頁(yè)共17頁(yè)通項(xiàng)；解：由已知an+i=2

7、an+2n,an+12an+2nan2n=2n=2n-1+1an+1an才；是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.an即=n,.an=n如第10頁(yè)共17頁(yè)_Xh、/、/1/小十廣也(5二l=/5)|J1上三川累乘法/<-、XI產(chǎn)、/X/ff1=/,十1一%(“十，2十%14核心，注意口倒數(shù)法；91-J、%、Jf、J一J/、十一L1/.L一L、/"/V/cat=pa.+1i1"1廣內(nèi)孑同除以、號(hào)l幅法，同除以小+7S腰一$"1=3、/思蹄同上、j、一-二、求和1、公式法2、倒序相加法3、錯(cuò)位相減法例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,bn7(1)求數(shù)列bn的

8、通項(xiàng)公式；an+1n+1(2)令Cn=一n,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.bn十2解：(1)由題意知，當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sn當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=11,滿足上式，所以an=6n+5.、/+q1/4、*。一句1累加生J*.?/-1f/，八J,、/1一、/、/3廣穴2-w/V勺211禮t與s*法'尸1,11rrtfi/氣=/人叫、X/、a,+a=jt、/ij-i-ln*t1倜期性n聲=2二|1/；/、,zs.，曷等差數(shù)列，且anbn+bn+1.1=6n+5,設(shè)數(shù)列bn的公差為d.第11頁(yè)共17頁(yè)ai=bi+b2,11=2bi+d,由a2=b2+b3,即17=2b1+3d,b1=4

9、,可解得d=3.所以bn=3n+1.6n+6n+1(2)由(1)知Cn=-=3(n+1)nI1,3n+3n又Tn=ci+C2+Cn,得Tn=3X2X22+3X23+-+(n+1)X2n+1,2Tn=3X2X23+3X24+(n+1)X2n+2,兩式作差，得-Tn=3X2X22+23+24+-+2n+1-(n+1)X2n+2412n=3X4+n+1X2n+212=-3n-»+2,所以Tn=3n沙2.4、裂項(xiàng)相消求和法+1+21+2+31+2+3+LN*.解an=.一二一二1+2+-+nnn+1n+1&=21一2+2-3+n工2nn+1例6求和:221+321+421+1,n&g

10、t;2,nN*.第12頁(yè)共17頁(yè)一，、1.原式=21111-3+2-4+111111例7.已知數(shù)列：2，2,3g,，n+了，則其刖n項(xiàng)和關(guān)于n的表達(dá)式為.1-=二)，/n22。+1.公-nn+11答案：2一9+16、弁項(xiàng)相消求和法例8.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為3,已知Si=1-2+3-4+-+(-1n1n+12n1n+111.，35+.+n-Tn+1nGN*).11+J22nn+132n+14(n>2,42nn+1常見(jiàn)數(shù)列的裂項(xiàng)方法數(shù)列（n為正整數(shù)）裂項(xiàng)方法1、.（k為非nn+k、零常數(shù)）1111.一,一,nn+kknn+k111114n21一4n2T22n-12n+111_/.d廠Vn+y

11、/n+1廠nvn+1-nnVn+vn+1,1，八loga1+n(a>0,a乎1),.,1一，一,loga1+n=loga(n+1)-logan5、分組求和法解析：設(shè)所求的前n項(xiàng)和為S,則Sn=(1+2+3+-+n)+2+4+2=1nn+11/1212n1-2nn+11,Sn+1Sn=SnSn+1.1_±_8nSn+11,即1.又Si=-1,Sn是首項(xiàng)為1,公差為一1的等差數(shù)列.11S；=1+(n1)X(1)=n,.&=一：.一1答案：n例10.(2015全國(guó)卷I)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an+2an=4Sn+3.(1)求an的通項(xiàng)公式；1(2)設(shè)bn=,求數(shù)列bn

12、的前n項(xiàng)和.''anan+1'解(1)由a2+2an=4Sn+3,可知a11+2an+1=4Sn+1+3.一，得an+1an+2(an+1an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+1an=(an+1+an)(an+1an).3分由an>0,得an+1-an=2.又a2+2a=4a1+3,解得a1=一1(舍去)或a1=3.an2n所以an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為+1.第15頁(yè)共17頁(yè)(2)由an=2n+1可知11111bn=二-anan+12n+12n+3=.2n+3例11.（2018全國(guó)新課標(biāo)I理）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若2an1,

13、貝fj&.例11.答案：63S2a.1解答：依題意，S1；作差得an12an,所以an為公比為2Sn12an11,的等比數(shù)列，又因?yàn)樗?2百1，所以a1，所以an2n，所Q1(126)2n+12n+3設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則11111-Tn=b1+b2+-+bn=23-5+5.7+2n+12n+3n求得a23,a226,則至一22a12所以an2是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an232n1所以第32n12,nN*第17頁(yè)共17頁(yè)第13頁(yè)共17頁(yè)1)n1n,則Si7=解析：S17=1-2+3-4+5-6+1516+17=1+(-2+3)+(4+5)+(6+7)+(14+15)+(16+17)=1+1+1+<+1=9.答案：9二、an與Sn的關(guān)系a1，n1an&&1,n2例9.(2015全國(guó)卷n)設(shè)&是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1=1,an+1=SnSn+1,則Sn=解析：an+1=Sn+1Sn,an+1=SnSn+1,第14頁(yè)共17頁(yè)以