有兩個(gè)約束條件的條件極值ppt課件

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156有兩個(gè)約束條件的條件極值有兩個(gè)約束條件的條件極值推導(dǎo)三元函數(shù)在兩個(gè)約束條件推導(dǎo)三元函數(shù)在兩個(gè)約束條件下取得極值的必要條件下取得極值的必要條件四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156( , , )uf x y z目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)( , , )0 x y z( , , )0 x y z約束條件約束條件設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u=f(x,y,z) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y, z) 處取得滿足兩處取得滿足兩個(gè)約束條件的極值。個(gè)約束條件的極值。由隱函數(shù)知識(shí)，兩個(gè)約束條件的方程可以確由隱函數(shù)知識(shí)，兩個(gè)

2、約束條件的方程可以確定兩個(gè)一元函數(shù)定兩個(gè)一元函數(shù) y=y(x) 和和 z=z(x)。將這兩個(gè)。將這兩個(gè)一元函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，則一元函數(shù)一元函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，則一元函數(shù)u=f(x,y(x),z(x)=u(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x=x 處取得極值。處取得極值。由極值的必要條件，由極值的必要條件，0(1)xyzdudydzfffdxdxdx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156另一方面，將兩個(gè)一元函數(shù)另一方面，將兩個(gè)一元函數(shù) y=y(x) 和和 z=z(x) 代入兩個(gè)約束條件方程，得兩個(gè)恒等式：代入兩個(gè)約束條件方程，得兩個(gè)恒等式：( , ( ), ( )0 x y

3、 x z x( , ( ), ( )0 x y x z x以上二式兩端對(duì)以上二式兩端對(duì) x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得0(2)xyzdydzdxdx0(3)xyzdydzdxdx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156由由 (1), (2), (3) 式知道，以下三個(gè)梯度式知道，以下三個(gè)梯度1,dy dzdx dx,xyzffff ,xyz ,xyz 在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y, z)處都與向量處都與向量 垂直。垂直。所以這三個(gè)梯度在點(diǎn)所以這三個(gè)梯度在點(diǎn) (x, y, z) 處是共面的。處是共面的。這就是函數(shù)這就是函數(shù) u=f(x,y,z) 在在 (x,y,z) 處取得滿足兩處取得滿足兩個(gè)約束條件的極值的必要條件。個(gè)約束條件的極值的必要條件。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156約束條件約束條件 和和( , , )uf x y z函數(shù)函數(shù) 取得滿足取得滿足( , , )0 x y z( , , )0 x y z,f共面0 xyzxyzxyzffff即它們的混合積為零：即它們的混合積為零：的極值的必要條件是：的極值的必要條件是：命