第一章 離散時間信號與系統(tǒng)3,4,5

1、1.3 常系數(shù)線性差分方程 離散時間線性移不變系統(tǒng)的輸入輸出關系可用常系數(shù)線性差常系數(shù)線性差分方程分方程表示： 常系數(shù)：指 （ ）是常數(shù)，決定系統(tǒng)的特征。如果系數(shù)中含有 ，稱為變系數(shù)線性差分方程。 差分方程的階數(shù)：未知序列 變量序號的最高值與最低值之差。顯然上式是 階差分方程， 線性： 及 都只有一次冪且不存在它們的相乘項。 求解常系數(shù)線性差分方程的方法： 序列域（離散時域）求解法 迭代法：數(shù)值解法，不能得到閉合解（公式解）。 卷積和計算法：求零狀態(tài)解。 變換域求解法：用Z變換方法求解。 )()(00mnxbknyaMmmNkkMNbbbbaaaa,.,.,210210mkba ,n)(nyN

2、Nk0:)(kny)(knx 用迭代法求解差分方程求單位抽樣響應 在本書中：數(shù)字濾波器系統(tǒng)都是松弛系統(tǒng)，即系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，系統(tǒng)無起始儲能。因此，單位抽樣序列作用下得到的系統(tǒng)響應就完全代表系統(tǒng)。 對于一個差分方程：給定輸入、給定邊界條件（起始條件）那么就可用迭代法求系統(tǒng)的響應。 例例1.3.1給定常系數(shù)線性差分方程求其單位抽樣響應（起始狀態(tài) ） 解解：既然求單位抽樣響應，那么令 ，則 ，可推出 將遞推關系改為： )() 1()(nxnayny0) 1(y)()(nnx0) 1() 1(hy0, 0)()(nnhny)()(1) 1()()(1) 1(nnhanhnxnyany 當 時： 系統(tǒng)單

3、位抽樣響應： 0) 1(h0) 1() 1(1)2(hah0, 0)(nnh0n11) 1()0( ahhaahh0)0() 1 (20) 1 ()2(aahhnanahnh0) 1()( 0, 00,)(nnanhn)()(nuanhn從上式看出，這個系統(tǒng)相當于因果系統(tǒng)，當 則系統(tǒng)穩(wěn)定。但是，一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，這由邊界條件來決定。還是利用這個例子，分析如下： 邊界條件改為 ，其它條件不變 ，代入 ，得 ，改一下遞推關系： 利用已知結果 ， 則當 時 ： 1a0)0(y0)0(y0n0)()(nhny)()(nnx)() 1()(nnahnh0) 1 ()0() 1

4、(ahh0)2() 1 ()2(ahh0)(nh0n)()(1) 1(nxnyany0)(nh0n0n 從上一節(jié)例題知道，此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，當 時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 同樣道理，一個常系數(shù)線性差分方程相當于一個線性移不變系統(tǒng)，同樣取決于所選的邊界條件，邊就是說邊界條件合適時，一個常系數(shù)線性差分方程相當于一個線性移不變系統(tǒng)。例如上面例題，邊界條件為： 0) 1 () 1 (1)0(hah1)0()0(1) 1(ahah2) 1() 1(1)2(ahahnanhanh) 1(1)(0,0, 0)(nannhn) 1()(nuanhn1a ，系統(tǒng)是非線性移變系統(tǒng)（既非線性系統(tǒng)，也非移不變系統(tǒng)） ，系統(tǒng)是線

5、性系統(tǒng)，但不是移不變系統(tǒng) ，系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)下面證明第一個結論（ ，系統(tǒng)是非線性移變系統(tǒng)）。 例例1.3.2常系數(shù)線性差分方程 邊界條件 ，討論此系統(tǒng)是否是線性移不變系統(tǒng)。解：解：（1）令 , 討論 的情況 則 1)0(y0)0(y0) 1 (y1)0(y)() 1()(nxnayny1)0(y)()(1nnx1)0(1y0naxayy) 1 ()0() 1 (1112111)2() 1 ()2(axayynanxnayny)() 1()(111將方程改寫：可遞推求得： ， 討論 的情況 令 ， 討論 的情況則 同理可遞推求得 ， 討論 的情況 得到 系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。 )()(1) 1(n

6、xnyany0)(1ny0n0n)()(1nuanyn) 1()(2nnx1)0(2y0n1) 1 ()0() 1 (222axayyaaxayy2222)2() 1 ()2(1222)() 1()(nnaanxnaynynany)(20n0n) 1() 1()()(12nuanuanuanynnn（2）討論線性在討論移不變性時，我們已經(jīng)知道： 令 ，則得到： ， 同理可求得： ， 又 顯然 因此，本系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。 )()(1nnx)()(1nuanyn) 1()(2nnx) 1() 1()()(12nuanuanuanynnn) 1()()()()(213nnnxnxnx1)0(3y1)

7、 1 ()0() 1 (333axayyaaxayy2333)2() 1 ()2(1333)() 1()(nnaanxnayny0n0)(3ny1n) 1()()(13nuanuanynn) 1() 1()(2)()(121nuanuanuanynynnn)()()(213nynyny 在以后的討論中，我們都假設常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，而且在大多數(shù)情況下，代表可實現(xiàn)的因果系統(tǒng)。 差分方程表示法的優(yōu)點：可以直接得到系統(tǒng)的結構結構（將輸入變換成輸出的運算結構，并非實際結構）例如： 方框圖表示法如下： ) 1()()(10nyanxbny1.4連續(xù)時間信號及傅里葉級數(shù)1單位階躍信號

8、在跳變點 處，函數(shù)值未定義。階躍函數(shù)具有單邊特性。 0, 10, 0)(tttu0t000, 1, 0)(ttttttu 用 表示各種信號：矩形脈沖 符號函數(shù) )(tu)()()(0ttututR0, 10, 1)sgn(ttt1)(2tu2.單位沖激信號 定義：狄拉克給出的 函數(shù)的定義 的定義函數(shù)可用單位階躍函數(shù)來定義：如果矩形脈沖面積不固定為 ，比如說是 ，我們說沖激強度為 )(t)(t( )1( )( )0,0t dtttt)(0tt 0000()1()()0,tt dttttttt)2()2(1lim)(0tutut1EE 的性質()抽樣特性 如果單位沖擊信號 與一個在 點連續(xù)（且處處

9、有界）的信號 相乘，那么我們有類似地對于延遲 的單位沖擊信號有： 這兩個式子表明了沖激信號的抽樣特性，也就是說，把 在 , 時刻的值抽取出來。 () ，即 函數(shù)是偶函數(shù) 與 關系積分： 微分： )(t)(t0t)(tf)0()()(fdttft0t)()()(00tfdttftt)(tf0t0tt )()(tt)(t)(tu)()(tudt)()(tdttdu3沖擊偶信號 沖擊信號微分（階躍函數(shù)的二階導數(shù)）稱為沖擊偶信號 ，它是具有正負極性的一對沖擊信號。兩個性質： 為 導數(shù)在零點的值， 在 點連續(xù) 沖擊偶延遲 包含面積為 ，正負沖激面積抵消 )(t)(t)0()()(fdttft)0(f )

10、(tf)(tf 0)()()(00tfdttftt0t0)(dtt0二、線性時不變系統(tǒng)1線性：可加性，齊次性2時不變性：在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關。3微分特性：激勵 ，響應4因果性： 時，激勵信號 ,那么相應輸出信號在 時 )(te)(tr0tt 0)(te0tt 0)(tr0)(te0)(tr三、卷積1定義： 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的重要方法2卷積性質交換率：分配率：結合率： 3卷積的微分與積分兩個函數(shù)相卷積后的導數(shù)等于其中一函數(shù)的導數(shù)與另一函數(shù)的卷積。 兩個函數(shù)相卷積后的積分等于其中一函數(shù)的積分與另一函數(shù)的卷積。 )()()()()(0thtethetrt)(*)()(

11、*)(1221tftftftf)(*)()(*)()()(*)(3121321tftftftftftftf)(*)(*)()(*)(*)(321321tftftftftftf)()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtdtttdftfdftfdff)()()()()()(1221214沖激函數(shù)與任意函數(shù)的卷積在信號與系統(tǒng)中，這個性質應用非常廣泛。進一步有：這說明， 與 相卷積的結果，相當于把函數(shù)本身延遲t0 )()()()()(tfdtfttf)()()()()(000ttfdttftttf)(tf)(0tt 四、傅里葉級數(shù) 任何周期函數(shù)在滿足狄利赫利條件下，可

12、展成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集 ，那么周期函數(shù)所展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。1三角形式傅里葉級數(shù) 設周期信號為 ，其周期為 ，角頻率為 ，當 滿足狄利赫利條件（在一個周期內，有有限間斷點和極值點，且信號絕對可積），可展成三角形式傅里葉級數(shù)。根據(jù)正交函數(shù) 的正交特性 ，可得： tntn11sin,cosetjn1)(tf1T11122Tf)(tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf)(tgi)()()(0)()(21212jiKdttgjidttgtgittittji (所有 ) ，其系數(shù) ， 為正交函數(shù)集，那么： 0sincos1001

13、1dttmtnTttnm,nmnmTdttmtnTtt, 0,2coscos111100nmnmTdttmtnTtt, 0,2sinsin1111001)()(iiitgctf2121)()()()(2ttittiitdtgdttgtfc)(tgi 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度積分區(qū)間 取為 或 ，將 改寫為：或 100)(110TttdttfTa10011cos)(2TttntdtntfTa10011sin)(2TttntdtntfTb),(100Ttt), 0(1T)2,2(11TT1110)sincos()(nnntnbtnaatf110)cos()(nnntncctf110

14、)sin()(nnntnddtf得： ( ) 通常把頻率 對應的分量稱為基波，頻率 、 、等分量稱為二次諧波三次諧波等。 下面畫出 與 的關系圖形及相位 與 關系圖形。 000dca22nnnnbadcnnnnndcasincosnnnnndcbcossinnnnbatgnnnabtg, 3 , 2 , 1n111Tf 12 f13fnc1nn1n 圖A 從圖中可看出：周期信號頻譜只出現(xiàn)在 0 ， ， 等離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜。 1122指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 當正交函數(shù)集是 時，周期信號可直接展成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。 指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的系數(shù) （或簡寫為 ） , tjne1ntjn

15、enFtf1)()(1101122ntjnnntjnnnejbaejbaa)(21cos111tjntjneetn)(21sin111tjntjneejtn)(1nFnF ， 1001)(11TtttjnndtetfTFn根據(jù)歐拉公式可得到： ( )0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn22212121nnnnnnbadcFFnnnFFcnnnFFa)(nnnFFjb, 3 , 2 , 1n同樣地我們可畫出指數(shù)形式表示的信號頻譜。因為 一般是復函數(shù)，因此這種頻譜稱為復數(shù)頻譜。根據(jù) ，可畫出復數(shù)幅度譜 及相位譜 。圖中譜線長度 圖B nFnjnneFFn

16、FnnncF21 與前面兩個圖形比較可知：圖A中：每條譜線代表一個分量的幅度，而圖B中，每個分量的幅度一分為二，在正負頻率相對應的位置上條為一半，所以只有把正負頻率上對應的這兩條譜線加起來才代表一個分量的幅度。3典型周期信號的頻譜(1)周期矩形脈沖信號 設周期矩形脈沖信號 的脈沖寬度為 ，脈沖幅度為 ，周期為 （ ） )(tfE1T1122Tf此信號在一個周期內 的表示式為： 把周期信號 展成三角形式傅里葉級數(shù)： 求出系數(shù)： 或寫作 )2,2(11TT2, 02,)(ttEtf)(tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf111022221)(1TEEdtTdttfTa12111

17、sin2cos2cos)(22222TnnEtdtnETtdtntfTaTn)2()(2111nSaETnSaTEan其中 稱為抽樣函數(shù)其中抽樣函數(shù)定義： 特點： 偶函數(shù) 時， ( ) 11)sin()(1TnTnTnSatttSasin)(nt,2,0)(nSa02)(dttSadttSa )(由于 是偶函數(shù)： ，周期矩形信號的三角形式傅里葉級數(shù)為： 將 展成指數(shù)形式傅里葉級數(shù)為 )(tf0nbnnac 11111cos)(2)(ntnTnSaTETEtf)(tf)2(1111221nSaTEdtEeTFtjnnntjnntjnnenSaTEeFtf11)2()(11顯然我們可以畫出其幅度譜

18、及相位譜。特點： 1. 譜線間隔 ，周期越大，譜線越靠近 2它包含無窮多條譜線，可分解成無窮多個頻率分量112T 3它的能量主要集中在第一個零點以內。因此在實際中，允許一定失真的情況下，可要求通信系統(tǒng)只傳送 頻率范圍內的各頻譜分量，舍棄 的分量。通常將 這段頻率范圍稱為矩形信號的頻帶寬度，記為B。 脈沖越寬，頻帶越窄(2)周期鋸齒脈沖信號(3)周期三角脈沖信號(4)周期半波余弦信號(5)周期全波余弦信號 22202B1fB1.5傅里葉變換一、FT定義： 我們可以把一個非周期函數(shù)看作一個周期為無限大的周期函數(shù)。下面直接給出傅里葉變換對： 傅里葉變換 傅里葉逆變換為了書寫方便： 稱為 的頻譜密度函

19、數(shù)，簡稱：頻譜函數(shù)，一般 是復函數(shù)： ，為了與周期信號的頻譜相一致，習慣上把 、 曲線分別稱為：非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜。 dtetfFtj)()(deftftj)(21)()()(tfFF)()(1ftfF)(F)(tf)(F)()()(jeFF )(F )( 傅里葉變換存在的充分條件：在無限區(qū)間內滿足絕對可積的條件： 二、典型非周期信號的頻譜矩形脈沖信號的傅里葉變換其傅里葉變換 幅度譜：dttf)(2, 02,)(ttEtf)2sin(2)()()(22EdtetfdtetfFtjtj)2(2 )2sin(SaEE)2()(SaEF相位譜： （ ）從 及上圖可看出：矩形脈沖信號在時域

20、集中于有限的范圍內，然而其頻譜卻以 的規(guī)律變化，分布在無限寬的頻率范圍上，但其主要能量處于 。因此通常認為這種信號占有頻率范圍（頻帶）B近似為 ，即 ) 1(4) 12(2,) 12(24, 0)(nnnn, 3 , 2 , 1n)(F)2(Sa10f11B單邊指數(shù)信號的傅里葉變換鐘形脈沖信號的傅里葉變換符號函數(shù)升余弦脈沖信號的傅里葉變換 jFttetfFTIFTt1)(0, 00,)(22)2()()(0,)(eEFtEetfFTIFTtjFttttfFTIFT2)(0, 10, 1)sgn()(三、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換1沖激函數(shù)的 可見單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)，即：在整個頻率范圍

21、內頻譜是均勻分布的，稱為均勻譜。2沖激函數(shù)的 （由逆變換定義可易得）顯然 FT)(1)()(tdtetFtjFIFT21)(1F )(21F)(2)(EEF3階躍函數(shù)的 從階躍函數(shù) 的波形中看出，不滿足絕對可積的條件，但是其傅里葉變換仍存在 四、卷積定理時域卷積定理：頻域卷積定理： FT)(tu)sgn(2121)(ttu jttu1)()sgn(21121)(FFF)()()()(2121FFtftfF)(*)(21)()(2121FFtftfF五、傅里葉變換的性質對稱性若 則 當 為偶函數(shù)時， ，時域和頻域的對稱性完全成立。即 的頻譜為 ，那么形狀為 的波形，其頻譜必為 。（僅差一常數(shù)）線

22、性（疊加性）若 則 ：常數(shù) )()(tfFF)(tF)(2)(ftFF)(tf)(2)(2ff)(tf)(F)(f)()(iiFtfFniiiniiiFatfa11)()(Fia尺度變換若 則 ( 為非零系數(shù))由此特性看出，信號在時域中壓縮等效于在頻域中擴展，反之，信號在時域中擴展，則等效于在頻域中壓縮。（因為信號波形壓縮 倍，信號隨時間變化加快 倍，則其所包含的頻率分量增加 倍，即頻譜展寬 倍。根據(jù)能量守恒，各頻率分量大小必然減少。若要壓縮信號的持續(xù)時間，則不得不以展寬頻帶為代價。時移特性若 則 信號 在時域中沿時間軸右移 等效于頻域中頻譜乘以因子)()( FtfF)(1)(aFaatfFaaaaa)()( FtfF0)()(0tjeFttfF)(tf0t0tje頻移特性若 則 若信號 乘以 ，等效于 的頻譜 沿頻率軸右移 。 頻譜搬移技術在通信中得到廣泛應用。例如調幅、同步解調、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎上完成的。頻譜搬移的實現(xiàn)原理是將信號 乘以所謂載頻信號 或因為 得： 所以，若時間信號 乘以 或 ，等效于 的頻譜 一分為二，沿頻率軸向左向右平移 。)()( FtfF)()(00FetftjF)(tftje0)(tf)(F