多元概念-極限-連續(xù)好

1、3 31 1 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念以前我們接觸到的函數(shù) y = f (x)有一個(gè)特點(diǎn), 就是只有一個(gè)自變量, 函數(shù) y 是隨著這一個(gè)自變量的變化而變化的. 我們稱為一元函數(shù). 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等.所謂多元函數(shù), 直觀的說, 就是有多個(gè)自變量的函數(shù). 函數(shù) y 隨多個(gè)自變量的變化而變化.圓柱體體積圓柱體體積 V = r 2 h體積 V 隨 r, h的變化而變化. 一對(duì)數(shù)(r, h), 就有唯一的一個(gè)V與之對(duì)應(yīng).或者說, 任給長(zhǎng)方體體積長(zhǎng)方體體積 V = xyzV 隨 x, y, z 的變化而變化. 一組數(shù)(x, y, z), 就有唯一的一個(gè)V與之對(duì)應(yīng)

2、.或者說, 任給這些都是多元函數(shù)的例子. 有二個(gè)自變量的稱為二元函數(shù). 有三個(gè)自變量的稱為三元函數(shù), , 有 n 個(gè)自變量的稱為 n 元函數(shù).與一元函數(shù)類似, 我們有二元函數(shù)定義二元函數(shù)定義設(shè) D 是 xy 平面上的一個(gè)點(diǎn)集,即 D R2, 若對(duì)任意的點(diǎn) X = (x, y)D R2, 按照某個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f , 總有唯一確定的實(shí)數(shù) z 與之對(duì)應(yīng), 則稱 f 是定義在 D 上的二元實(shí)值函數(shù), 記作f : D R, X = (x, y) z .稱 z 為點(diǎn) X = (x, y) 在 f 下的像, 記作 f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也稱作 X

3、= (x, y)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.稱 D 為函數(shù) f 的定義域. D 在 f 下的像集 f (D)= f (X )| XD 稱為 f 的值域.習(xí)慣上, 稱 z = f (X ) = f (x, y) 為二元函數(shù), 另外, 稱 x, y 為自變量, z 為因變量.比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey . 一般說來, 自變量 x , y 都是獨(dú)立變化的. 它們只受到 (x, y) D 的限制. f (x, y) 的表達(dá)式, 算 f (x0, y0) 的方法與一元函數(shù)類似.另外, 若給出了 特別, 若定義域 D 是 x y 面上一條曲線. D: y = g(x). g事實(shí)上

4、, x D 上的點(diǎn) (x, g(x) = (x, y) z .f= f (x, g(x)成為一元函數(shù).則二元函數(shù) z = f (x, y)注注2, 說明二元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣說明二元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣, 而一元函數(shù)則是二元函數(shù)的特殊情形而一元函數(shù)則是二元函數(shù)的特殊情形. 一元一元函數(shù)是定義在函數(shù)是定義在 xy 面上一條直線面上一條直線(x 軸軸)上的二上的二元函數(shù)元函數(shù).類似的類似的, 有有 n 元函數(shù)定義元函數(shù)定義.設(shè)D Rn , 若對(duì)任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f , 總有唯一確定的實(shí)數(shù) z 與之對(duì)應(yīng), 則稱 f 是定義在 D 上的 n

5、元實(shí)值函數(shù). 記作f : D R , X = (x1, x2, , xn) z .并記 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn).定定 義義 與一元函數(shù)類似. 就是要求使這個(gè)式子有意義的平面上的點(diǎn)的集合. 求 z = ln (x + y)的定義域 D , 并畫出D的圖形.x + y 0. 故 定義域 D = (x, y)| x + y 0畫直線 y1 = x. 由于 D 中點(diǎn) (x, y) 的縱坐標(biāo) y 要大于直線 y1 = x 上點(diǎn)的縱坐標(biāo) y1, 故 D 表示直線 y1 = x 上方點(diǎn)的集合. (不包括邊界y1 = x上的點(diǎn))為畫 D 的圖形, 由x + y

6、0, 得 y x = (y1).x + y = 0 xyo如圖y xD(不包括直線x + y = 0). .122的圖形并畫的定義域求DDyxz1 , 012222yxyx即故1| ),(22yxyxD.),(22的距離到原點(diǎn)表示點(diǎn)由于oyxyx 故 D 表示到原點(diǎn)距離不超過1的點(diǎn)的集合. 即, D 為單位圓盤 (包括圓周). xyox2 + y2 = 1122 yx(包括圓周)D以點(diǎn) X0 = (x0, y0)為中心, 以 為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱為 X0 的 鄰域.即),(0X)()(| ),(2020yyxxyx| | ),(0XXyxX記 (X0, ) = U (X0, ) X0 ,

7、稱為 X0 的去心 鄰域.如圖),(0X記作X0X0U (X0, ) (X0, ) 當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時(shí), 簡(jiǎn)記為U (X0 )和 (X0).設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, X0 = (x0, y0)E, 若存在存在鄰域 U(X0 , ) E , 則稱 X0 為 E 的內(nèi)點(diǎn).E 的全體內(nèi)點(diǎn)所成集合稱為 E 的內(nèi)部, 記為E0.,122為單位圓盤的定義域比如DyxzD = (x, y)| x2 + y2 1 如圖xyox2 + y2 = 111D易知易知, 圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn). 但但圓周上的點(diǎn)不是圓周上的點(diǎn)不是 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn).x + y = 0 xy0如圖D又如 z

8、 = ln (x+y)的定義域 D = (x, y)| x+y 0易見, 直線上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn). 即 D=D,但直線上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, X0 = (x0, y0)是平面上一個(gè)點(diǎn). 若 X0的任何任何鄰域 U(X0 , )內(nèi)既有屬于 E 的點(diǎn), 又有不屬于 E的點(diǎn), 則稱 X0 為 E 的邊界點(diǎn).E 的全體邊界點(diǎn)所成集合稱為 E 的邊界. 記作 E.如, 例1中定義域 D 的邊界是直線 x +y = 0 上點(diǎn)的全體. 例2中定義域 D 的邊界是單位圓周 x2 + y2 = 1上的點(diǎn)的全體. 如圖xyo11x2 + y2 = 1Dx + y = 0 xyoE 的邊界點(diǎn)

9、可以是的邊界點(diǎn)可以是 E 中的點(diǎn)中的點(diǎn), 也可以不是也可以不是 E 中的點(diǎn)中的點(diǎn).D設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, 若 E 中每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn).即 E E0, 則稱 E 是一個(gè)開集. 由于總有 E0 E, 因此, E E0 E = E0故也可說, 比如, 例1中 D 是開集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是開集.若E = E0 , 則稱 E 是一個(gè)開集.規(guī)定, , R2為開集.xyoE又比如, E 如圖若若 E 不包含邊界不包含邊界, 則則 E 為開集為開集. 若若 E 包含邊界包含邊界, 則則 E 不是開集不是開集. 非空平面點(diǎn)集非空平面點(diǎn)集 E 為開集的充要為開集的充要條件是條件是

10、 E 中每一點(diǎn)都不是中每一點(diǎn)都不是 E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn). 即即 E 不含有不含有 E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn).必要性必要性. . 設(shè) E 為開集, X E,由開集定義知 X 為 E 的內(nèi)點(diǎn). 故 X 不是 E 的邊界點(diǎn).充分性充分性. 若 E 中每一點(diǎn)都不是 E 的邊界點(diǎn). 要證 E 為開集. X E,由于 X 不是 E 的邊界點(diǎn). 故必存在X的一個(gè)鄰域U(X, ),在這個(gè)鄰域 U(X, )內(nèi)或者全是 E 中的點(diǎn). 或者全都不是 E 中的點(diǎn), 兩者必居其一. 由于X E, 故后一情形不會(huì)發(fā)生.因此, U(X, )內(nèi)必全是 E 中的點(diǎn). 故 X E0, 即, E E0 , 所以 E 是開集.設(shè) E

11、是一非空平面點(diǎn)集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折線將它們連接起來, 則稱 E 為連通集.如圖XYE 連通YXE 不連通從幾何上看, 所謂 E 是連通集, 是指 E 是連成一片的. E 中的點(diǎn)都可用折線連接.例1, 2中的 D 都是連通集. 如圖x + y = 0 xyoxyo11x2 + y2 = 1設(shè) E 是一平面點(diǎn)集. 比如, 例1中 D 是開區(qū)域. 如圖. E 從幾何上看, 開區(qū)域是連成一片的, 不包括邊界的平面點(diǎn)集.若 E 是連通的非空開集, 則稱 E 是開區(qū)域.若 E 是開域, 記EEEEE0稱為閉區(qū)域.如圖. E 易見, 例2中的 D 是閉區(qū)域. 從幾何上看, 閉區(qū)域是

12、連成一片的. 包括邊界的平面點(diǎn)集.(本書把)開區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.8. 設(shè) E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 則稱 E 為有界集. 否則稱 E 為無界集.易見, 例1中 D 是無界集, 它是無界開區(qū)域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界閉區(qū)域.設(shè) E 是平面點(diǎn)集, X0 是平面上一個(gè)點(diǎn). 若X0的任一任一鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于 E . 則稱 X0 是E 的一個(gè)聚點(diǎn).從幾何上看, 所謂 X0 是 E 的聚點(diǎn)是指在 X0 的附近聚集了無限多個(gè) E 中的點(diǎn). 即, 在 X0 的任意近傍都有無限多個(gè) E 中的點(diǎn).X0如圖1. 聚點(diǎn)定義也可敘述為: 若 X0 的任一鄰域內(nèi)至

13、少含有 E 中一個(gè)異于異于 X0 的點(diǎn). 則稱 X0 為 E 的 一個(gè)聚點(diǎn). (自證).2. E 的聚點(diǎn) X0可能屬于 E , 也可能不屬于E .3. E 的內(nèi)點(diǎn)一定是 E 的聚點(diǎn).4. 若 E 是開區(qū)域. 則 E 中每一點(diǎn)都是 E 的聚點(diǎn). .的聚點(diǎn)中每一點(diǎn)都是則為閉區(qū)域若EEEEE.的聚點(diǎn)從而是E即, 區(qū)域中的任一點(diǎn)都是該區(qū)域的聚點(diǎn).一般, 集合 E 的邊界點(diǎn)不一定是 E 的聚點(diǎn). 但若 E 是開集, 則 E 的邊界點(diǎn)一定是 E 的聚點(diǎn), 自證.這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間 R3 中去, 且有類似的幾何意義. 它們還可推廣到 4 維以上的空間中去, 但不再有幾何意義.設(shè) z = f

14、 (X) = f (x, y) 的定義域是平面區(qū)域 D .按二元函數(shù)定義, X = (x, y)D. 可以唯一確定實(shí)數(shù) z , 從而確定了空間一個(gè)點(diǎn) M (x, y, z). 當(dāng) X 在 D 中變動(dòng)時(shí), 點(diǎn) M (x, y, z)在空間中變動(dòng), 當(dāng) X 取遍 D 中一切點(diǎn)時(shí), M (x, y, z)在三維空間中 織 出一片曲面.即, 二元函數(shù)表示空間中一片曲面, D是該曲面在 xy 面上的投影區(qū)域.XDM (x, y, z)yxzoz = f (X) = f (x, y)如 z = ax +by + c , 表平面表平面.222表表上上半半球球面面yxaz.222表表下下半半球球面面yxaz注

15、意, 三元函數(shù) u = f (x, y, z)的定義域是 R3 的一個(gè)子集.三元函數(shù)無幾何意義.3 32 2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)回憶一元函數(shù)的極限. 設(shè) y = f (x),)(lim0Axfxx所謂當(dāng) x 不論是從 x0的左邊還是從x0的右邊無限接近于x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于數(shù) A.表示如圖xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0語言表示用Axfxx就是 0, 0.當(dāng)0|x x0| 時(shí), 有|f (x) A | .設(shè)二元函數(shù) z = f (X) = f (x, y), 定義域?yàn)镈. 如圖Dz = f (x, y)XX如果當(dāng)

16、X在D內(nèi)變動(dòng)并無限接近于X0時(shí) (從任何方向, 以任何方式),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f (X)無限接近于數(shù) A, 則稱A為當(dāng)X趨近于X0時(shí)f (X)的極限.MX0Ayzxof (X)類似于一元函數(shù), f (X)無限接近于數(shù) A可用 | f (X) A | 0, 0, 當(dāng), )()(2020時(shí)yyxx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足| f (X) A | 則稱 A 為z = f (X)的, 當(dāng) X 趨近于X0時(shí)(二重)極限.記作,)(lim0AXfXX或,),(lim00Ayxfyyxx也可記作 f (X) A(X X0), 或, f (x, y) A (x x0, y y0 ) | 00XX 定義1中要求X0是定義域

17、D的聚點(diǎn), 這是為了保證 X0的任意近傍總有點(diǎn)X使得f (X)存在, 進(jìn)而才有可能判斷 | f (X) A | 是否小于 的問題.若D是一區(qū)域. 則只須要求,0DDDX就可保證 X0 是D的一個(gè)聚點(diǎn).另外, 0 |X X0 | 0, 22|)0 , 0(|0yxX 時(shí), 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得當(dāng)要使 | f (x, y) 0 | , 只須222yx222 yx即有時(shí)則當(dāng)取, |)0 , 0(|,2 22yxX| f (x, y) 0 | 01sinlim00yxxyyx故例例2. 設(shè)f (x, y) = ,0 ,2222時(shí)當(dāng)yxyxxy,0 , 022時(shí)當(dāng) yx證明 f

18、(x, y)在 (0, 0)點(diǎn)的極限不存在.證證: 由注2知, 只須證明當(dāng)X 沿不同的線路趨于(0, 0)時(shí), 函數(shù)f (x, y)對(duì)應(yīng)的極限也不同即可.考察 X =(x, y)沿平面直線 y = kx 趨于(0, 0)的情形.如圖對(duì)應(yīng)函數(shù)值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy從而, 當(dāng) X = (x, y) 沿 y = kx 趨于(0,0)時(shí), 函數(shù)極限),(lim0yxfkxyx21kk當(dāng) k 不同時(shí), 極限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的極限不存在 .請(qǐng)考察當(dāng)X = (x, y)沿 x 軸, 沿 y 軸趨于(0, 0)的

19、情形.)1 (lim2220kxkxx),(lim00yxfyx沿 x 軸, y = 0. 函數(shù)極限= 000lim20 xx沿 y 軸, x = 0. 函數(shù)極限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此斷定該二重極限為0 (注2).例例3. .sinlim 00 xxyyx求解解:原式 = xyxyyyxsinlim 00 xyxyyyxyxsinlimlim 0000= 0 1 = 0例例4. .)1ln(lim 2201yxyxyyx求解解:原式 = 2201limyxyxyyx2201limyxxyx111例例5. .|lim 2200yxyxyx求解解:原式 = |

20、2|2|lim2200yxxyxyyxyx|2|)|(|lim00yxxyyxyx.|lim 00yxxyyx定理考慮兩邊夾用| 0yxxy由于故0| |2|lim |lim 002200yxxyyxyxyxyxyx例5似可用下述方法算.0|lim 00yxxyyx從而),0, 0( 0| 時(shí)當(dāng)yxy|lim 00 xyyxyx由于|1|1lim00 xyyx從而0|lim 00yxxyyx (1)軸都在這個(gè)軸和時(shí)在算注意yxxyyxyx,|lim ,00函數(shù)定義域外, 它們不是點(diǎn)(x, y)趨于(0, 0)時(shí)的路徑.,|lim 00時(shí)而在考慮yxxyyx則必須包括 x 軸和 y 軸這兩條路徑

21、(在這個(gè)函數(shù)的定義域內(nèi)).應(yīng)補(bǔ)充討論: 當(dāng) (x, y)沿 x 軸(y = 0)趨于(0, 0)時(shí),有00|0lim|lim000 xyxxyxyx (2)當(dāng) (x, y) 沿 y 軸 (x = 0)趨于(0, 0)時(shí),有0|lim00yxxyxy (3)綜合得(1), (2), (3),. 0|lim00yxxyyx這一方法是否具有普遍性? 即, 是否總有初學(xué)者在算二重極限時(shí), 容易引出下面算法:如|00lim|lim202200yyyxyxyyx|lim0yy= 0實(shí)質(zhì)上, 就是|limlim|lim22002200yxyxyxyxxyyx?),(limlim),(lim0000yxfyx

22、fxxyyyyxx設(shè) z = f (X) = f (x, y)在區(qū)域 D 上有定義, X0 = (x0, y0)為D的內(nèi)點(diǎn). 考慮 X = (x, y)沿兩條特殊路徑趨近于X0 = (x0, y0)時(shí) f (x, y)的極限.情形相當(dāng)于下圖對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限為),(limlim00yxfxxyy稱為先對(duì) x , 后對(duì) y 的二次極限.(1) 先固定 y, 令 x x0, 即, 讓點(diǎn)(x, y)沿平行于 x 軸的直線趨于點(diǎn) (x0, y) , 然后, 再令 y y0, xyo(x0, y)(x, y)(x0, y0)(2) 先固定 x , 令 y y0, 即, 讓點(diǎn)(x, y)沿平行于 y 軸的直線

23、趨于點(diǎn) (x, y0) , 然后, 再令 x x0, 情形相當(dāng)于下圖xyo(x, y0)(x, y)(x0, y0)對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限為),(limlim00yxfyyxx稱為先對(duì) y , 后對(duì) x 的二次極限.由于二次極限是沿特殊路徑時(shí)的函數(shù)極限. 有,1. 二次極限不一定等于二重極限二次極限不一定等于二重極限.如例2中, 2200limlimyxxyxy0lim0y= 02200limlimyxxyyx= 0但二重極限不存在.2. 兩個(gè)二次極限不一定相等兩個(gè)二次極限不一定相等.(如二重極限不存在時(shí), 二次極限可能不相等.)即在很多情形中,),(limlim),(limlim0000yxfyxf

24、xxyyyyxx所以, 不能隨便交換極限的順序.例7.lim 2200yxyxyxyx求解1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx1limlimlim202200yyyyxyxyxyxy由于兩個(gè)累次極限不相等, 故. lim2200不存在yxyxyxyx定理若累次極限),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在則二重極限yxbyax 二重極限存在不一定能推出累次極限存在.例8則有設(shè) , 0 ,1sin),( 22yxyxyxf) 1|1sin| ( 01sinlim00yyxyx但. )1sinlim(lim1sinlimlim0

25、000不存在yxyxyxyx請(qǐng)同學(xué)們討論函數(shù)22),(yxxyyxf時(shí)的兩類極限.)0,0(),(yx當(dāng) , 0limlimlimlim22002200yxxyyxxyxyyx. 1)(limlim , 222002200kkkxxkxxyxxykxyyxyx則取即累次極限存在且相等, 但二重極限不存在.)()(lim 00XfXfXX若設(shè) z = f (X) = f (x, y), 在區(qū)域D上有定義.則稱 f (X) 在 X0 連續(xù), X0 稱為 f (X) 的連續(xù)點(diǎn). 否則稱 f (X) 在 X0 間斷, X0 稱為 f (X) 的間斷點(diǎn). X = (x, y) D, X0 = (x0,

26、y0) D, 若若 f (X) 在在 D 上每一點(diǎn)都連續(xù)上每一點(diǎn)都連續(xù), 則稱則稱 f (X) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù), 記為記為 f (X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)間斷(極限不存在), 上在直線中例01sin),( ,1yxyxxyyxf每一點(diǎn)都間斷.注注1. 二元函數(shù)二元函數(shù) f (X)在在 X0 連續(xù)必須滿足三個(gè)條件連續(xù)必須滿足三個(gè)條件. 在在 X0 有定義有定義, 在在 X0 的極限存在的極限存在, 兩者相等兩者相等, 2. 多元連續(xù)函數(shù)的和多元連續(xù)函數(shù)的和, 差差, 積積, 商商(分母不為分母不為0)以以及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù)及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù). 定義可推廣到三元以上函數(shù)中去.3. 多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都