第五章 角動量角動量守恒(2011)(1)

1、LrpLrPrmv說明說明LO rPS1. 角動量是矢量，角動量是矢量， 大小大小:2. 為表示是對哪個參考點的為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量角動量，通常將角動量L畫畫在參考點上。在參考點上。方向：方向：r ,v決定的平面決定的平面LrpmoLrpmrv2mr sinLmrrpvvmroRrA任意時刻任意時刻 t， 有有 212rgt tgmmpv（1） 對對 A 點的角動量點的角動量3102ALrpmt ggRrr（2） 對對 O 點的角動量點的角動量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm確定質(zhì)點有無角動量，要看位矢是否存在繞參考點的轉(zhuǎn)動。確定質(zhì)點有無角動量，要看位矢

2、是否存在繞參考點的轉(zhuǎn)動。確定質(zhì)點有無角動量，要看位矢是否存在繞參考點的轉(zhuǎn)動。確定質(zhì)點有無角動量，要看位矢是否存在繞參考點的轉(zhuǎn)動。rMrOFFrMFsinrFM FrFrMrFFrtL ddvmrttLddddvvmtrtmrddd)d(0vvmMFrtLMddLtMdd 12d21LLtMtt FrtL dd - - 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理合力的沖量矩合力的沖量矩角動量的增量角動量的增量 若對于某一參考點，質(zhì)點所受合力矩為零，若對于某一參考點，質(zhì)點所受合力矩為零，則質(zhì)點對則質(zhì)點對該參考點該參考點的角動量保持不變的角動量保持不變 - 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律tLMdd常

3、矢量，則若LM 0 ddddLFtPMtMtLddLtMPtFttttdd212100FPML常矢量常矢量21tttFPFd21tttMLMd0Mrf常常矢矢量量 LLrmvsinsinrLrmrmt vsin22rrmt tSm2常量常量1sin2Srr2LStm= =常量常量mvrL行星行星mvr r S sinr L太陽太陽行星行星近近r遠遠r近v3、行星行星近近地點速度地點速度大大，在，在遠遠地點速度地點速度小小v遠遠vvr例例5-1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動并可在

4、圓環(huán)上滑動. 小球開始時靜小球開始時靜止于圓環(huán)上的點止于圓環(huán)上的點 A (該點在通過環(huán)心該點在通過環(huán)心 O 的水平面上的水平面上),然后然后從從 A 點開始下滑點開始下滑.設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小球求小球滑到點滑到點 B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角動量和角速度的角動量和角速度. 解解 小球受重力和支持力作小球受重力和支持力作用用, 支持力的力矩為零支持力的力矩為零,重力重力矩垂直紙面向里矩垂直紙面向里由質(zhì)點的角動量定理由質(zhì)點的角動量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcosdcosdLm gRt考慮到考慮到2ddLmRmR,tv dcos

5、d32gRmLL得得由題設條件積分上式由題設條件積分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL iiiiiLLrmiviCi vvviCi rrrCiiirrmviiCmrviCiim r vvCCMrviiiCiim r rm vviiiCCm rMr vvOccriririmCCMrLv軌道iiim rL v自旋0MrmriiciiiCCm rMrL vv自旋軌道LLLCCMrLv軌道iiim rL v自旋 iiLLiiiiiMMrF外外 iiLttL）（dddd ）（內(nèi)內(nèi)外外iiiMM iitLdd1m2mimjmirjrjirr jif

6、ijf ijjijijijifrrfrfr ijf jirr 0jiijMM內(nèi)內(nèi)外外MM 0)( ijijiiiifrMM內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi) ddLMt外ddMtL外221121ddtLtLMtLLLL 外1m2mimjmirjrjirr jifijf iiLttL）（dddd iitLddjiijMM ijjijijijifrrfrfr 0jiijMM內(nèi)內(nèi)外外MM 0M外iiLL常矢量ddLMt外ddMtL外221121ddtLtLMtLLLL 外tLMd d 外外) (iiimrLv L 時時，外外0 MtLMd d 外外if外0iirf外0外Miifm g外ir角動量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保

7、持不變角動量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保持不變, 因而產(chǎn)因而產(chǎn)生了季節(jié)變化生了季節(jié)變化.北北南南北北南南角動量守恒的現(xiàn)象角動量守恒的現(xiàn)象:mRMO0v0rv解：解：引力場（有心力）引力場（有心力）質(zhì)點的角動量守恒質(zhì)點的角動量守恒系統(tǒng)的機械能守恒系統(tǒng)的機械能守恒Rmsrmvvin00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr21200231/RGMvvv212023141sin/RGMv例例5-2 發(fā)射一宇宙飛船去考察一發(fā)射一宇宙飛船去考察一 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 、半徑、半徑為為 R 的行星，當飛船靜止于空間距行星中心的行星，當飛船靜止于空間距行星中心 4 R 時，以

8、時，以速度速度v 0發(fā)射一質(zhì)量為發(fā)射一質(zhì)量為 m 的儀器。要使該儀器恰好掠過行的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面星表面 求求:角及著陸滑行的初速度多大？角及著陸滑行的初速度多大？一、剛體運動的基本形式一、剛體運動的基本形式剛體：剛體：受力時不改變形狀和體積的物體受力時不改變形狀和體積的物體AA A BB B 用質(zhì)心代表用質(zhì)心代表剛體的平動剛體的平動CamF外平動平動剛體的一般運動剛體的一般運動質(zhì)心的平動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+dtd dd是矢量，是矢量，方向用右手螺旋法則確定。方向用右手螺旋法則確定。 dxOP rv角坐標：角坐標： ( ) t角位移：角位移： )()(0tt ,

9、,dtd d00zz22)(rrardtdrdtrddtdarntvvv22tnrdd rdarrdtdtdtarr() vvv22)(rrardtdrdtrddtdarvntvv vraat0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100ttFrMdFrFMsin方向如圖方向如圖FrMsin rFM方向如圖方向如圖Pz*OMFrdMZFrPO轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面/FFM?amF MJ irirzMiOizFiFFioirimiivizriFioiiM= rFoiioiizrF+ rFoiiiiizirF= rF+ rF|izMrFiisinir FiizizMM

10、Msinir FiirFiizizMMMsinir FiiiFr TTRMiRTTRMiTTTTOjiijMMjririjdijMjiMijfjifiririOoirimivizriLizL?zizLLvioiiiLrmsiniziLLsin vi oiim r vizi iiLm rsinioirrim質(zhì)元質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離到轉(zhuǎn)軸的垂直距離viir2()i im r 2()zi iiLmr vo iir viioiiLm r剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量2zi iJm r iiiiamfF zOrifiFi mi i i外力矩外力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩 iitra ir兩兩邊邊同同乘乘0

11、iiirfsin)(sin2iiiiirmrF 2iirmJ 令令itiiiiiamsinfsinF 2iiiiiiiirmsinrfsinrF )rm(sinrfsinrFiiiiiiii 2MJ 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 2iirmJ 令令 )rm(sinrFiiiii 2轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律: :定軸轉(zhuǎn)動的剛體，定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其角加速度與其所受的對軸的合外其角加速度與其所受的對軸的合外力矩成正比，與其轉(zhuǎn)動慣量成反比。力矩成正比，與其轉(zhuǎn)動慣量成反比。2.合外力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度均合外力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度均。amF1. 與與 地位相當，地位相當，m反映質(zhì)點的平動慣反映質(zhì)點的平動慣性，性，J反映

12、剛體的轉(zhuǎn)動慣性。反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性。MJ 3.對定軸轉(zhuǎn)動，力矩和角加速度只有兩個方向，可用對定軸轉(zhuǎn)動，力矩和角加速度只有兩個方向，可用哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？三三 、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量 niiirmJ12mrJd2dldm dsdm dVdm 1m 2m 2r1rZ2i iJm rzmlzl/2l/2ROdm220mJR dmmRrmdd20dlJrrz22321d12l /l /Jrrlz231mlrrmrJddd22ml2121mldrr412hR 2ddJrm2dJrm rhrrd22 Rrrh03d2 本例轉(zhuǎn)動慣量本例轉(zhuǎn)動慣量與與h 無關(guān)無關(guān)。所以，。所以，實心圓柱實心

13、圓柱對對中心中心軸軸的轉(zhuǎn)動慣量也是的轉(zhuǎn)動慣量也是 。221mRJ Ordr2212mJmRR h O 前例中前例中 Jz -相相對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量， Jz -相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 兩軸平行，相距兩軸平行，相距L /2，有，有：222211121243zzLJJmmLmLmL推廣推廣: 平行軸定理平行軸定理。2mdJJC 故通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小故通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小平行軸定理平行軸定理dCOmmLzzL/2L/2對于薄板剛體對于薄板剛體, , 薄板剛體對薄板剛體對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量zJ等于對等于對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)

14、動慣量xJ與對與對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量yJ之和之和yxzJJJ ACCBAzJJJJBz垂直軸定理垂直軸定理轉(zhuǎn)動慣量的疊加轉(zhuǎn)動慣量的疊加dmrxyz yxO mJRGozGR2l231mlJZmJRZG例例:731312.lmmlG 不是質(zhì)心不是質(zhì)心CG2GmRJ 竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？TRm1m2a =?am1gm2gT11m gTm a22Tm gm a1212()m gm gmma1212mmagmmT1T212TTT1T2111m gTm a222Tm gm a12TR T RJa

15、R212JMR121212mmagmmMM.1M2MRrkg241 Mkg52 Mkg10 mm5 . 0 h21121RMJ 22221rMJ mg2T2T1TmaTmg 22122T rTrJ 111T RJ 12aRr2m/s4 a1cos2mglM MJ21cos213mglml3 cos2glC Omglmddtddddtdd3 cos2gl003 cos2gddl 3 singlC Omglm15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg1121cos10sinFtgtgF212nal3 sin2g2tla3 cos4g1sinnFmgma2costmgF

16、ma3 singlF1F2F3 cos2glrTTmgamJ+J02222ah / t ,a / rh / (rt ) 022()(1)hTrJJrt22thmTmg 220(1)2gtJmrJhI0rh,tmI 0roRdrdlfdd2dmr r , ddMm g r 222dm grrR 2mR22022dd3RmgMMrrmgRR ddMm g r 222dm grrR 22 341 23MJMmgRgJmRR , 2002, 20316Rg 2024N 22022dd3RmgMMrrmgRR J)rm(LLiiiii 22iiiiiLmrm r ivzivirim dMJJdt d(

17、J)dLMdtdt 00t0t LLMdtdLJJ MdtdLd(J) 0tt0 JJMdt 00t0t LLMdtdLJJ MdtdLd(J) dMJJdt d( J)dLMdtdt )CJ(L.JL,M dtLdM 00即即常常量量則則中中，若若在在)CJ(L.L,M dtLdM 00即即常常量量則則中中，若若在在0tt0 JJMdt 00LJJ, 常量，000 則時，當,JJM 0dLMM,dtJC 在中，若 tJrmkk2 常量tJ tJ tJ 茹可夫斯基轉(zhuǎn)椅克服直升飛機機身反轉(zhuǎn)的措施：克服直升飛機機身反轉(zhuǎn)的措施： 被被 中中 香香 爐爐慣性導航儀（陀螺儀）慣性導航儀（陀螺儀） 角動量

18、守恒定律在技術(shù)中的應用角動量守恒定律在技術(shù)中的應用 1. 構(gòu)造構(gòu)造 2.原理原理 3.應用應用 常平架回轉(zhuǎn)儀常平架回轉(zhuǎn)儀 (陀螺儀陀螺儀)0v40lmvl0712vtJtJtLMddd)(dddt)4(12122lmml)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22已知：已知：兩平行圓柱在兩平行圓柱在水平面內(nèi)水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，求：求：接觸且無相對滑動時接觸且無相對滑動時20221011 ,Rm;,Rm,? 21 .o1m1R1.o2R2m210 20 o1.o2.1 2 解一：解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸因摩擦力為內(nèi)力，外力

19、過軸 ，外力矩為零，外力矩為零，則：則：J J1 1 + + J J2 2 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒 ，以順時針方向旋轉(zhuǎn)，以順時針方向旋轉(zhuǎn)為正方向為正方向：又：又： 3212111RmJ 4212222RmJ 聯(lián)立聯(lián)立1 1、2 2、3 3、4 4式求解，對不對？式求解，對不對？ 12211202101 JJJJ 接觸點無相對滑動：接觸點無相對滑動： 22211RR o1. o21 2 1R2R.o1m1R1.o2R2m210 20 問題：問題：（1 1）式中各角量是否對同軸而言？）式中各角量是否對同軸而言？ （2 2）J J1 1 + +J J2 2 系統(tǒng)角動量是否守恒？系統(tǒng)角動量是否守

20、恒？0 20 11221 FFMo)(Mo)(為軸為軸為軸為軸系統(tǒng)角動量不守恒！系統(tǒng)角動量不守恒！此解法不對。此解法不對。分別以分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f21R2R解二：解二：分別對分別對m1 , m2 用角動量定理列方程（也用角動量定理列方程（也可用轉(zhuǎn)動定律求解）可用轉(zhuǎn)動定律求解）)(22112mmgrmtAB11,rm22,rm122211rr2211 1122 221112211220frm rfrm rfm g() / t() / t)(22112mmgrmt00ABABJJ(JJ ) AABJJJ 5-6 力矩作功力矩作

21、功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理21ddAAMddAFr有限的角位移，力做的功為有限的角位移，力做的功為元功元功ddAMrdFrdFtcos一、力矩的功一、力矩的功 -力矩的空間積累作用力矩的空間積累作用-力矩的功力矩的功二、力矩的功率二、力矩的功率 MP ddddAMPMtt比較：比較：21ddBAAFrAM 力的功力矩的功力矩的功率力的功率MPvFP三、轉(zhuǎn)動動能三、轉(zhuǎn)動動能 miri質(zhì)元質(zhì)元mi 的速率為的速率為: :iirv2221122iii immrv其動能為其動能為: :二、力矩的功率二、力矩的功率22222111111()222Nkkii ii iiiiEEm

22、 rm rJ整個剛體的動能為整個剛體的動能為: :221 JEk 剛體剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動動能動能平動動能平動動能212kEmv轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221 JEk 比較：比較：212221212121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 四、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理四、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理221122211122ddddMJJJJdtddtdWMdJ dJJ 212221212121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 212221212121 JJdJMdWddJdtdddJdtdJJM 2122212121 JJdJWddJdtdddJdtdJJM 212221212121 JJdJMdW

23、ddJdtdddJdtdJJM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理: :合外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)合外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量動動能的增量. . 五、剛體的重力勢能五、剛體的重力勢能piiEm gyiim yMgMiigym任取一質(zhì)元其勢能為任取一質(zhì)元其勢能為(以以O為參考點）為參考點）pCEMgyOXY miMCCviyCy六、機械能與機械能守恒六、機械能與機械能守恒機械能機械能 = = 勢能勢能 + + 平動動能平動動能 + + 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能剛體與質(zhì)點組成的系統(tǒng)，機械能包括：剛體與質(zhì)點組成的系統(tǒng)，機械能包括：機械能守恒條件：機械能守恒條件：恒量)2121(22Jmvmg

24、hEc機械能機械能 = = 勢能勢能+ +平動動能平動動能+ +轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 = = 恒量恒量剛體與質(zhì)點組剛體與質(zhì)點組成系統(tǒng)的機械成系統(tǒng)的機械能守恒定律能守恒定律時非保內(nèi)外0WW解解 (1)桿桿+子彈：豎直位置，外力子彈：豎直位置，外力(軸軸o處的力和重力處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動量守恒： )32(313222lmMllmo 解得解得)43(6mMlmo 例例5-10 勻質(zhì)桿：長為勻質(zhì)桿：長為l、質(zhì)量質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動，開始時桿豎直下垂。質(zhì)量為轉(zhuǎn)動，開始時桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速的子彈以水平速

25、度度 o射入桿上的射入桿上的A點，并嵌在桿中，點，并嵌在桿中，a=2l/3, 求求:(1)子彈子彈射入后瞬間桿的角速度射入后瞬間桿的角速度; (2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度桿能轉(zhuǎn)過的最大角度 。oamv 222)32(3121 lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo 由此得：由此得：(2)桿在轉(zhuǎn)動過程中顯然機械能守恒：桿在轉(zhuǎn)動過程中顯然機械能守恒：2lMg )mMlmo43(6 由前由前221 JEk 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 cos32-cos2lmglMg 零勢面零勢面平動動能平動動能221 mEk 32-lmgoamv 區(qū)分兩類沖擊擺區(qū)分兩類沖擊擺（1 1

26、）olmM0v質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點柔繩無切向力柔繩無切向力（2 2）0volmMFxFy質(zhì)點質(zhì)點 定軸剛體定軸剛體（不能簡化為質(zhì)點）（不能簡化為質(zhì)點） 水平方向：水平方向： Fx =0 ， px 守恒守恒 m v 0 = ( m + M ) v 對對 o 點：點： ， 守恒守恒 m v 0 l = ( m + M ) v l0 ML軸作用力不能忽略，動量不守軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對恒，但對 o o 軸合力矩為零，軸合力矩為零，角動量守恒角動量守恒2201()3mlm lMllvv注意注意00,AAvf v即摩擦力不做功。2220111(2)222cmghmvJmgh ,JmR 式中0,(

27、1)AccvvRvRA0143g ( hh )R043cvRg ( hh )1(sincmafmg)2(212mRJRfc)3(,RaRvccsin32,sin31gamgfc.31,cossin31,costgmgmgmgNf或)(3410hhgR? 例例5-12 已知：已知：勻質(zhì)細棒勻質(zhì)細棒 m , 長長 2l ；在光滑水平面內(nèi)；在光滑水平面內(nèi) 以以 v 0 平動，與固定支點平動，與固定支點 O 完全非彈性碰撞。完全非彈性碰撞。 求：求：碰后瞬間棒繞碰后瞬間棒繞 O 的的v0clBAl / 2l / 2 Om解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒對棒對O的角動量守恒的角動量守恒思考：思考：碰撞前棒對碰撞前棒對O角動量角動量 L=? 碰撞后棒對碰撞后棒對O角動量角動量 =？L 撞前：撞前：自自旋旋軌軌LLL )1(020 lmvL思考