速度勢函數(shù)和流函數(shù)(1)

1、.地球物理流體力學2012.02-051l1 、勢函數(shù)存在的條件 l 無旋運動：無旋運動：l按照矢量運算，任何一個函數(shù)的梯度再取旋度必恒等于零，l負號表示流動和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）.地球物理流體力學2012.02-052l標量場的【梯度】( )是一個矢量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。上面兩個圖中，標量場是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應的梯度用藍色箭頭表示。.地球物理流體力學2012.02-053l無旋運動時無旋運動時，其速度矢 是可以由函數(shù) 的梯度來表示的，這個函數(shù) 就稱為速度矢 的【（位）勢函數(shù)（位）勢函數(shù)】。l可見，

2、用一個標量函數(shù)就把三維的速度矢都表示出來了，減少了未知量。.地球物理流體力學2012.02-054l取t 為一固定時刻，若有此時 的幾何圖像是一個空間曲面，稱為等勢函數(shù)面【等位勢面】。當取大小不同的常數(shù)值時，上式就是等勢面族。可知：（可知：（1 ）速度矢與等勢面垂直。）速度矢與等勢面垂直。 （2 ）流動（或說速度矢）是從高位勢）流動（或說速度矢）是從高位勢流向低位勢。（流向低位勢。（3）等位勢面彼此緊密的地方，速度值大；等位勢面彼此）等位勢面彼此緊密的地方，速度值大；等位勢面彼此疏松的地方，速度值小。疏松的地方，速度值小。()00dV d rV d r ()()ddxdydzxyzudxvdy

3、wdzV d r .地球物理流體力學2012.02-055l散度：l勢函數(shù)與速度分量：l 稱為 三維拉普拉斯算符，則：l 是一個二階偏微分方程 泊松方程（Poisson），由此可得到【勢函數(shù)】與【速度矢】之間的互求關系。.地球物理流體力學2012.02-056l【平面運動平面運動】需要滿足下列兩個條件： 在所有平行于某個A 面的平面上，流體質點的運動都是在該平面上進行的。 在A 面的垂線上，各物理量都相等。 l 若取A 面為XOY平面，z 軸垂直向上，以上兩個條件就是：平面運動比一般的空間運動簡單，具體說來速度只有二個方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函數(shù)。.地球物理流體力學2012.0

4、2-057l在大氣中，常用 XOY 平面運動作為大氣運動的一種近似模型，前提條件是：l研究的問題中XY方向的尺度 Z 方向的尺度，Z 方向的速度分量及物理量沿Z方向的變化比起其它方向小的多，可以近似認為Z 方向的速度分量為零，其它物理量沿Z方向的變化也為零。.地球物理流體力學2012.02-058l我們對流函數(shù)的討論是建立在二維運動我們對流函數(shù)的討論是建立在二維運動 XOY，且運動無輻散。，且運動無輻散。即：l由無輻散條件 ，可以找到一個函數(shù)與速度矢對應，我們把這個函數(shù)寫成 ， 的全微分為：.地球物理流體力學2012.02-059l（1.77）中 為二維矢量微商符l上面的就是流函數(shù)， （1.7

5、7 ）就是流函數(shù)與速度矢的關系。.地球物理流體力學2012.02-0510l根據(jù)流線方程的求法，（* ）的流線方程為：l（1.75 ）可積的充要條件是無輻散，與（1.76 ）對比，發(fā)現(xiàn)是一樣的。對（1.76 ）積分，得： l上式時間取定，常數(shù)也取定時，就代表了某時刻的某一條流線，或等流函數(shù)線，此曲線上的切線處處跟流速矢方向一致。.地球物理流體力學2012.02-0511流函數(shù)引入的條件是流體運動為二維，而流體是不可壓縮的，不論流體是有旋還是無旋，流函數(shù)都存在。 如將流函數(shù)應用到一般的三維流體運動則會引起相當大的解析困難。）引入流函數(shù)的優(yōu)點：可以減少表征流體運動的變量。2 個變1 個。 流函數(shù)還

6、可以用來表示流體體積通量。.地球物理流體力學2012.02-0512l圖中自南向北的4 條線是流線（等流函數(shù)線），任取AB曲線，在該線上任一點的速度矢是 ，法向單位矢是 ，曲線單位矢是l上式表明，兩點的流函數(shù)值之差等于過這兩點的任何曲線的流體兩點的流函數(shù)值之差等于過這兩點的任何曲線的流體的體積通量（體積流量）值，跟曲線的形狀、長短無關。的體積通量（體積流量）值，跟曲線的形狀、長短無關。.地球物理流體力學2012.02-0513l即流函數(shù)的二維拉普拉斯運算等于流體渦度的垂直分量即流函數(shù)的二維拉普拉斯運算等于流體渦度的垂直分量.地球物理流體力學2012.02-0514l（1 ）速度矢的分解 l一般

7、的二維流體運動，不一定無旋或無輻散，而是既有旋又有輻散，此時我們可以把一般的二維流體運動的速度矢分成兩部分，一部分是有旋無輻散 ，另一部分是無旋有輻散 ，即有： .地球物理流體力學2012.02-0515l 稱為無輻散渦旋流(流函數(shù)對應)l l 稱為無旋輻散流(勢函數(shù)對應).地球物理流體力學2012.02-0516l已知速度矢，如何得到速度的分解：l1）根據(jù)速度求出渦度和散度，即：l2）我們在前面已經給出了【勢函數(shù)與散度】的關系，【流函數(shù)與渦度】的關系，如下：l這是兩個泊松方程，連立求解就得到勢函數(shù)和流函數(shù).地球物理流體力學2012.02-0517l3）根據(jù)輻散流和勢函數(shù)的關系，渦旋流和流函數(shù)的關系，得到兩個風速分量，即：.地球物理流體力學2012.02-0518l滿足以下條件的為【拉普拉斯流動】：兩維平面運動（兩維平面運動（u,v 不為零，不為零，w=0 ）理想流體（不考慮粘性，理想流體（不考慮粘性， 0 = ）無輻散流（無輻散流（D=0 ）；無旋流）；無旋流.地球物理流體力學201