格林公式及其應(yīng)用

1、上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9第三節(jié)第三節(jié)(1) (1) 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式一、格林公式二、格林公式的簡單應(yīng)用二、格林公式的簡單應(yīng)用第十一章第十一章上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/91.1.單單( (復(fù)復(fù)) )連通區(qū)域及其連通區(qū)域及其正向邊界正向邊界.,稱稱為為復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域不不是是單單連連通通的的平平面面區(qū)區(qū)域域域域是是平平面面單單連連通通區(qū)區(qū)則則稱稱所所圍圍的的有有界界區(qū)區(qū)域域都都屬屬于于內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條閉閉曲曲線線如如果果為為一一平平面面區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)DDDD復(fù)連通域復(fù)連通域D一、格林公式一、格林公式從直觀上看，單連通域是不含有從直觀上

2、看，單連通域是不含有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域單連通域單連通域D上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9xyOz11:,的的正正向向如如下下的的邊邊界界曲曲線線規(guī)規(guī)定定平平面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè)DxOyD.,),(終終位位于于他他的的左左側(cè)側(cè)始始鄰鄰近近處處的的前前行行進進時時并并沿沿邊邊界界的的這這一一方方向向朝朝側(cè)側(cè)軸軸正正向向所所指指的的一一位位于于平平面面上上當當人人站站立立于于DzxOy.的正向邊界曲線的正向邊界曲線為為帶有正向的邊界曲線稱帶有正向的邊界曲線稱DD , 1),(: 221 yxyxD例如例如.1),(22 yxyx位圓周位圓周的單的單正向邊界為逆時針走向正向邊界為

3、逆時針走向上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9xyOz1122xyOz111),(:222 yxyxD.1),( 22 yxyx向的單位圓周向的單位圓周正向邊界為順時針走正向邊界為順時針走41),(:223 yxyxD .1),(4),( 2222共同組成共同組成與順時針走向的圓周與順時針走向的圓周的圓周的圓周正向邊界為逆時針走向正向邊界為逆時針走向 yxyxyxyx上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9微積分學基本公式微積分學基本公式 ,ba上上連連續(xù)續(xù)在在,)(baxf)()(xfxF 復(fù)習復(fù)習Newton-Leibniz公式公式：這里這里 babaaFbFxFdxxf)()()()

4、(一個重要的數(shù)學關(guān)系一個重要的數(shù)學關(guān)系區(qū)域區(qū)域內(nèi)部內(nèi)部的問題與的問題與邊界邊界問題之間的問題之間的聯(lián)系聯(lián)系 LDdyyxQdxyxPdypxQ),(),()( Newton-Leibniz公式的推廣公式的推廣函數(shù)：一元函數(shù)函數(shù)：一元函數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù)積分范圍：積分范圍： D平面區(qū)域上的二重積分與區(qū)域平面區(qū)域上的二重積分與區(qū)域邊界曲線上的曲線積分的關(guān)系。邊界曲線上的曲線積分的關(guān)系。邊界邊界:ba,L上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/92.2.格林公式格林公式. ,dddd ,),(),( ,1的正向邊界曲線的正向邊界曲線是是其中其中則有則有上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù)在在函數(shù)函

5、數(shù)所圍成所圍成由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域定理定理DLyQxPyxyPxQDyxQyxPLDLD 公式稱為格林公式公式稱為格林公式, ,是英國數(shù)學家、物理學家格林在是英國數(shù)學家、物理學家格林在18251825年發(fā)現(xiàn)的年發(fā)現(xiàn)的, ,是微積分基本公式在二重積分情形下的推是微積分基本公式在二重積分情形下的推廣廣. .反應(yīng)的是二重積分與區(qū)域邊界曲線上的第二類曲線積反應(yīng)的是二重積分與區(qū)域邊界曲線上的第二類曲線積分的關(guān)系。結(jié)果是二重積分與曲線積分的計算可以互轉(zhuǎn)。分的關(guān)系。結(jié)果是二重積分與曲線積分的計算可以互轉(zhuǎn)。 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9.:型的型的型的又是型的又是既是既

6、是區(qū)域區(qū)域情形一情形一 YXDxyOab)(:22xyL D)(:11xyL .),()(:21bxaxyxD )()(21ddddxxbaDyyPxyxyP .d)(,)(,12 baxxxPxxP 21dddLLLxPxPxP abbaxxxPxxxPd)(,d)(,21 baxxxPxxPd)(,)(,12 .dd DyxyP證證上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9.),()( : 21dycyxyD 設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)域域xyOcdD)(2yx )(1yx .ddd LDyQyxxQ類似地可證類似地可證 , 兩式相加則有兩式相加則有型的型的是是型又型又既是既是由于區(qū)域由于區(qū)域 YXD LDy

7、QxPyxyPxQdddd上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9.,是是是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域但但型型的的型型的的又又不不是是既既不不是是情情形形二二區(qū)區(qū)域域 YXD.型型的的部部分分區(qū)區(qū)域域型型又又是是分分割割成成有有限限個個既既是是添添加加輔輔助助線線將將 YXD1D2D3DABC有有上上在在每每個個,iD,dddd iiLDyQxPyxyPxQ, 0dd yQxPBACBAC因為因為.dddd LDyQxPyxyPxQ 求和有求和有對對i可以用輔助曲線把可以用輔助曲線把D分成有限個部分閉區(qū)域，分成有限個部分閉區(qū)域，使得每個部分閉區(qū)域都滿足上述條件。使得每個部分閉區(qū)域都滿足上述條件。上

8、頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9D.是是復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域情情形形三三D1L2LAB.,21正向邊界的單連通區(qū)域正向邊界的單連通區(qū)域為為得到以得到以割開割開沿輔助線沿輔助線將將ABLBALABD DyxyPxQdd)( ABLBALyyxQxyxP21d),(d),( , 0d),(d),( ABBAyyxQxyxP因因為為.d),(d),(21 LLyyxQxyxP定理得證定理得證.上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/92.2.給出了計算二重積分的新方法給出了計算二重積分的新方法. .3.3.給出了計算第二類曲線積分的新方法給出了計算第二類曲線積分的新方法. .格林公式便于記憶的形

9、式格林公式便于記憶的形式.d),(d),(dd LDyyxQxyxPyxQPyx : dddd 的重要意義的重要意義公式公式 LDyQxPyxyPxQ 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9例例: : 設(shè)設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線是一條分段光滑的閉曲線, 證明證明0dd22 yxxyxL證證: 令令,22xQyxP 則則yPxQ 利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22 022 xx Dyxdd00 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9(1)(1)簡化曲線積分簡化曲線積分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向邊界正向邊界為頂點的三角形區(qū)域的為頂點的

10、三角形區(qū)域的是以是以其中其中計算計算LyxyxxL xyO11D由格林公式由格林公式所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為記記,DL DLyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 Dyxydd.61dd1010 xyyx二、格林公式的簡單應(yīng)用二、格林公式的簡單應(yīng)用例例1解解上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9xyOABr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圓周在第一象限從的圓周在第一象限從是半徑為是半徑為計算計算rBrArLyxL ., BOOA添加定向直線段添加定向直線段.LOABO 定向閉曲線定向閉曲線,),(, 0),(xyxQyxP . 0, 1 yPxQ DyxyPxQyxdd)(d

11、Dyxdd.42r 例例2解解上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9 BOyxd OAyxd .4dd 2ryxyxL 所所以以, 0d00 rxx, 0d00 ryxyOABr上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9OAxy.)0 , 0(2)0 ,2(,d)cose (d)(sine 2的有向弧段的有向弧段到點到點線線沿曲沿曲為從點為從點為正的常數(shù)為正的常數(shù)其中其中計算計算OxaxyaALbayaxyxyxbyIxLx 解解,cose,cosbyyPayexQxx ,abyPxQ ,構(gòu)構(gòu)成成閉閉曲曲線線添添加加輔輔助助線線LOAOA ,D所圍的區(qū)域記作所圍的區(qū)域記作D例例3上頁 下頁 返

12、回 結(jié)束 2021/3/9yaxyxyxbyIxxLOAOAd)cose (d)(sine 由格林公式由格林公式21II yxabDdd )( 2)(2aab , 0, 0, dyyxOA軸軸上上在在由由于于21III 于于是是 axbxI202d)(故故yxyPxQIDdd1 ,22ba .22232aba 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9OABxy(2)(2)簡化二重積分簡化二重積分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2為頂點的三角形閉區(qū)域為頂點的三角形閉區(qū)域以以計算計算BAODyxDy 則則令令,e, 02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxy

13、xdedde22 OAyyxde2. 10:.: xxyOA).e1(211 10de2xxx例例4解解上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9.2dd2dd的的面面積積DDLSyxyxxy (3)(3)計算平面區(qū)域的面積計算平面區(qū)域的面積.d),(d),(d)( LDyyxQxyxPyPxQ 則則令令,xQyP 則則令令, 0 xQP .ddd的的面面積積DDLSyxyx 則則令令, 0, QyP.ddd的面積的面積DDLSyxxy .dd21dd LLLDyxxyxyyxS的面積的面積上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9例例5 5所圍成圖形的面所圍成圖形的面求橢圓求橢圓 sin,cos

14、byax .A積積解解 LxyyxAdd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab Oxy上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9(4)(4)計算曲線方程未知的曲線積分計算曲線方程未知的曲線積分.,dd22方向為逆時針方向方向為逆時針方向閉曲線閉曲線滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)分段光分段光為一條無重點為一條無重點其中其中計算計算LyxxyyxL .),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)0 , 0(),(時時當當 yx,)(22222yxxyyPxQ . 0 yPxQ即即.,上上不不一一定定連連續(xù)續(xù)在在所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域為為記記Dy

15、PxQDL 例例6 6解解上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9xyOLDxyOLD.,)0 , 0()1(上上連連續(xù)續(xù)在在時時當當DyPxQD DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不連續(xù)上不連續(xù)在在時時當當DyPxQD .,:,1222DCLLDCryxCrrrr圍圍成成的的復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域域為為共共同同與與記記不不相相交交內(nèi)內(nèi)且且與與位位于于使使得得為為半半徑徑作作圓圓周周以以原原點點為為圓圓心心 rC上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9).(),(),(1)1(DCyxQyxP xyOL1DrC.,1格格林林公公式式上上應(yīng)應(yīng)用用在在取取逆

16、逆時時針針方方向向DCr LDyQxPyxyPxQdddd)(01 rCLyQxPyQxPdddd rrCCLyQxPyQxPyQxPdddddd所以所以)(2dd122所圍圖形的面積所圍圖形的面積rCCrxyyxrr .2222 rr( (積分值與積分路徑無關(guān)積分值與積分路徑無關(guān)) )上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/3/9.),1(,)0 , 1(,4dd22取取逆逆時時針針方方向向為為半半徑徑的的圓圓周周為為中中心心是是以以點點其其中中計計算算曲曲線線積積分分 RRLyxxyyxIL則可簡化計算則可簡化計算為某個正數(shù)為某個正數(shù)為橢圓為橢圓改改若能將積分路徑若能將積分路徑由被積函數(shù)的分母可知由被積函數(shù)的分母可知),(4,222aayxL )0 , 0(),(,)4(42