第5章正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析-2復數(shù)復習和正弦量的向量表示

1、第二講第二講（總第十八講總第十八講）復數(shù)復習復數(shù)復習正弦量的相量表示正弦量的相量表示復數(shù)復習復數(shù)復習同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量ii1i2Ati)30sin(621 已知：已知：Ati)60sin(422 求求 i21iii A)42sin(67. 92 ti 一、復數(shù)一、復數(shù)1. 復數(shù)復數(shù)A表示形式：表示形式：) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 A=a+jb直角坐標形式直角坐標形式(代數(shù)式代數(shù)式)：AbReImaO a+jb 可表示為原點到可表示為原點到A的向量的向量 sin|cos| A bAa AbReIma0其模為其模為|A|，22baA A=|A|

2、ej =|A| 極坐標形式極坐標形式(指數(shù)形式指數(shù)形式)：歐拉公式歐拉公式 sincosjej ab arctag 幅角為幅角為 )sin(cos| jAA 三角形式：三角形式：向量表示向量表示直角坐標表示直角坐標表示1. 復數(shù)復數(shù)A表示形式表示形式) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 A=a+jb直角坐標形式直角坐標形式(代數(shù)式代數(shù)式)：ReA Im A 2. 復數(shù)運算復數(shù)運算則則 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加減運算加減運算直角坐標直角坐標若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReImO加減法可用圖解法。加減法可用圖解法。(2) 乘除運算乘除運算極坐標極坐標若若

3、A1=|A1| 1 ，若若A2=|A2| 2 則則 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2乘法：模相乘，角相加；乘法：模相乘，角相加；211)j(12jj12111 |2|e|2|e|2|e| |2| |2211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相減。除法：模相除，角相減。例例 計算計算86. 2j89.10 5 .4045.3961.5765.3713.3281.11 ooo 9 .31j2028. 6 j10)9 .31j20)(28. 6 j10( (3) 旋轉(zhuǎn)因子：旋轉(zhuǎn)因子：復數(shù)復數(shù) ej =1 A ej 相當于相當于A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度 ，而模不變。，而

4、模不變。 故故 +j, j, - -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。ReImOAA ej 2 jAe-Ajjej 2sin2cos2 jjej 2sin2cos2 1sincos jejtje 模為模為1幅角為幅角為 t, 旋轉(zhuǎn)向量旋轉(zhuǎn)向量jA歐拉公式返回首頁返回首頁一、正弦量的相量一、正弦量的相量(Phasor)表示表示正弦量的相量表示正弦量的相量表示造一個復指數(shù)函數(shù)造一個復指數(shù)函數(shù)) sin(2j) cos(2e2)()j(tItIItAt 若對若對A(t)取虛部：取虛部： 是一個正弦量，是一個正弦量，) sin(2)(ImttA 對于任意一個正弦時間函數(shù)都可以找到唯一的與其對

5、應對于任意一個正弦時間函數(shù)都可以找到唯一的與其對應的復指數(shù)函數(shù)：的復指數(shù)函數(shù)：A(t)還可以寫成還可以寫成旋轉(zhuǎn)向量旋轉(zhuǎn)向量)(2)( )sin(2 tjIetAtIi復常數(shù)復常數(shù)tItA jee2)(j Imaginary(取虛部) IIeIj )sin(2 tIi相量相量稱稱 為正弦量為正弦量 i(t) 對應的相量。對應的相量。 II 相量包含了正弦量的二個要素相量包含了正弦量的二個要素 I I m , 同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關(guān)系： ) sin(2)(UUtUtu 2)(tjmeIIti 取虛部取虛部注意：注意：的旋轉(zhuǎn)相量。的旋轉(zhuǎn)相量。為為初始

6、角度初始角度是模為是模為 ,22ee2e2) j(jjj IIeIIttt ) sin(2 ) sin(m tItIi是是) j(2 tIe在虛軸上的投影。在虛軸上的投影。解解：V60220A30100oo UI已知已知例例1 1. .試用相量表示試用相量表示i, u .)V6014t311.1sin(3A)30314sin(4 .141oo uti解解： A)15314sin(250 ti例例2.試寫出電流的瞬時值表達式。試寫出電流的瞬時值表達式。. 50Hz A,1550 fI已已知知2Im)(tjeIti 取虛部取虛部相量相量 正弦量正弦量相量圖相量圖 (Phasor Diagram )

7、 IItIti) sin(2)(UUtUtu )sin(2)( 不同頻率的相量不能畫在一張相量圖上。不同頻率的相量不能畫在一張相量圖上。 U I二、相量運算二、相量運算(1) 同頻率正弦量相加減同頻率正弦量相加減)2Im() sin()()2Im() sin()(j22m22j11m11tteUtUtueUtUtu )2Im()2Im()()( j2j121tteUeUtutu 21 UUU)(2Im()22Im(j21j2j1ttteUUeUeU 取虛部取虛部tjeU 2Im 故同頻的正弦量相加減運算就變成對應的相量相加減運算。故同頻的正弦量相加減運算就變成對應的相量相加減運算。i1 i2

8、= i3321 IIIV 1 .535o21 UUU求求u。V )90314sin(24)(V 314sin23)(o21 ttuttuV )1 .53314sin(25o t)()()(21tututu V 03o1 UV 9042 U例例+u-+-+-u1u21 U2 UReIm2 1 UU同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。例例+u-+-+-u1u2V 03o1 UV 9042 UV )1 .53314sin(25o tuV 1 .535o21 UUU 2. 正弦量的微分，積分運算正弦量的微分，積分運算UtuItiU uIi j1d jdd e

9、 ) (j2Im )e2(ddIm e2Imdddd jjjtttIItItti ej2Im e2Im )2sin(2 )cos(2 d)sin(2d j)2/ j(ttUUtUtUttUtu 證明證明jeUeUjj 2 三、相量法的應用三、相量法的應用求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解(微分方程的特解微分方程的特解) 例例一階常系數(shù)一階常系數(shù)線性微分方程線性微分方程特解：特解：Imsin( t+ i)Ri(t)u(t)L+- -用相量法求：用相量法求：ttiLtRitud)(d)()( jILIRURLLRULRUIu 1222tgj i(t)sin()(mutUtu ttiLtRitud)(d)()( 小結(jié)小結(jié) 正弦量正弦量相量相量時域時域 頻域頻域 相量法只適用于激勵為同頻正弦量的線性電路。相量法只適用于激勵為同頻