第5章正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析-2復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)和正弦量的向量表示

1、第二講第二講（總第十八講總第十八講）復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)正弦量的相量表示正弦量的相量表示復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量ii1i2Ati)30sin(621 已知：已知：Ati)60sin(422 求求 i21iii A)42sin(67. 92 ti 一、復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)1. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A表示形式：表示形式：) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 A=a+jb直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式(代數(shù)式代數(shù)式)：AbReImaO a+jb 可表示為原點(diǎn)到可表示為原點(diǎn)到A的向量的向量 sin|cos| A bAa AbReIma0其模為其模為|A|，22baA A=|A|

2、ej =|A| 極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式(指數(shù)形式指數(shù)形式)：歐拉公式歐拉公式 sincosjej ab arctag 幅角為幅角為 )sin(cos| jAA 三角形式：三角形式：向量表示向量表示直角坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)表示1. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A表示形式表示形式) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 A=a+jb直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式(代數(shù)式代數(shù)式)：ReA Im A 2. 復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算則則 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加減運(yùn)算加減運(yùn)算直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReImO加減法可用圖解法。加減法可用圖解法。(2) 乘除運(yùn)算乘除運(yùn)算極坐標(biāo)極坐標(biāo)若若

3、A1=|A1| 1 ，若若A2=|A2| 2 則則 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2乘法：模相乘，角相加；乘法：模相乘，角相加；211)j(12jj12111 |2|e|2|e|2|e| |2| |2211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相減。除法：模相除，角相減。例例 計(jì)算計(jì)算86. 2j89.10 5 .4045.3961.5765.3713.3281.11 ooo 9 .31j2028. 6 j10)9 .31j20)(28. 6 j10( (3) 旋轉(zhuǎn)因子：旋轉(zhuǎn)因子：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ej =1 A ej 相當(dāng)于相當(dāng)于A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，而模不變。，而

4、模不變。 故故 +j, j, - -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。ReImOAA ej 2 jAe-Ajjej 2sin2cos2 jjej 2sin2cos2 1sincos jejtje 模為模為1幅角為幅角為 t, 旋轉(zhuǎn)向量旋轉(zhuǎn)向量jA歐拉公式返回首頁(yè)返回首頁(yè)一、正弦量的相量一、正弦量的相量(Phasor)表示表示正弦量的相量表示正弦量的相量表示造一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)造一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)) sin(2j) cos(2e2)()j(tItIItAt 若對(duì)若對(duì)A(t)取虛部：取虛部： 是一個(gè)正弦量，是一個(gè)正弦量，) sin(2)(ImttA 對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都可以找到唯一的與其對(duì)

5、應(yīng)對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都可以找到唯一的與其對(duì)應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)：的復(fù)指數(shù)函數(shù)：A(t)還可以寫(xiě)成還可以寫(xiě)成旋轉(zhuǎn)向量旋轉(zhuǎn)向量)(2)( )sin(2 tjIetAtIi復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)tItA jee2)(j Imaginary(取虛部) IIeIj )sin(2 tIi相量相量稱(chēng)稱(chēng) 為正弦量為正弦量 i(t) 對(duì)應(yīng)的相量。對(duì)應(yīng)的相量。 II 相量包含了正弦量的二個(gè)要素相量包含了正弦量的二個(gè)要素 I I m , 同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系： ) sin(2)(UUtUtu 2)(tjmeIIti 取虛部取虛部注意：注意：的旋轉(zhuǎn)相量。的旋轉(zhuǎn)相量。為為初始

6、角度初始角度是模為是模為 ,22ee2e2) j(jjj IIeIIttt ) sin(2 ) sin(m tItIi是是) j(2 tIe在虛軸上的投影。在虛軸上的投影。解解：V60220A30100oo UI已知已知例例1 1. .試用相量表示試用相量表示i, u .)V6014t311.1sin(3A)30314sin(4 .141oo uti解解： A)15314sin(250 ti例例2.試寫(xiě)出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。試寫(xiě)出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。. 50Hz A,1550 fI已已知知2Im)(tjeIti 取虛部取虛部相量相量 正弦量正弦量相量圖相量圖 (Phasor Diagram )

7、 IItIti) sin(2)(UUtUtu )sin(2)( 不同頻率的相量不能畫(huà)在一張相量圖上。不同頻率的相量不能畫(huà)在一張相量圖上。 U I二、相量運(yùn)算二、相量運(yùn)算(1) 同頻率正弦量相加減同頻率正弦量相加減)2Im() sin()()2Im() sin()(j22m22j11m11tteUtUtueUtUtu )2Im()2Im()()( j2j121tteUeUtutu 21 UUU)(2Im()22Im(j21j2j1ttteUUeUeU 取虛部取虛部tjeU 2Im 故同頻的正弦量相加減運(yùn)算就變成對(duì)應(yīng)的相量相加減運(yùn)算。故同頻的正弦量相加減運(yùn)算就變成對(duì)應(yīng)的相量相加減運(yùn)算。i1 i2

8、= i3321 IIIV 1 .535o21 UUU求求u。V )90314sin(24)(V 314sin23)(o21 ttuttuV )1 .53314sin(25o t)()()(21tututu V 03o1 UV 9042 U例例+u-+-+-u1u21 U2 UReIm2 1 UU同頻正弦量的加、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。同頻正弦量的加、減運(yùn)算可借助相量圖進(jìn)行。例例+u-+-+-u1u2V 03o1 UV 9042 UV )1 .53314sin(25o tuV 1 .535o21 UUU 2. 正弦量的微分，積分運(yùn)算正弦量的微分，積分運(yùn)算UtuItiU uIi j1d jdd e

9、 ) (j2Im )e2(ddIm e2Imdddd jjjtttIItItti ej2Im e2Im )2sin(2 )cos(2 d)sin(2d j)2/ j(ttUUtUtUttUtu 證明證明jeUeUjj 2 三、相量法的應(yīng)用三、相量法的應(yīng)用求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解(微分方程的特解微分方程的特解) 例例一階常系數(shù)一階常系數(shù)線性微分方程線性微分方程特解：特解：Imsin( t+ i)Ri(t)u(t)L+- -用相量法求：用相量法求：ttiLtRitud)(d)()( jILIRURLLRULRUIu 1222tgj i(t)sin()(mutUtu ttiLtRitud)(d)()( 小結(jié)小結(jié) 正弦量正弦量相量相量時(shí)域時(shí)域 頻域頻域 相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的線性電路。相量法只適用于激勵(lì)為同頻