泰勒公式的應用87935

1、泰勒公式及其應用摘要文章簡要介紹了泰勒公式的證明及其推導過程，詳細討論了泰勒公式在最優(yōu)化理論領域的應用，分別討論了泰勒公式在理論證明和算法設計上面的應用，并用簡單的算例加以說明。關鍵詞：泰勒公式，最優(yōu)化理論，應用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式 若函數(shù)在含有的開區(qū)間內有直到階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內時，可展開為一個關于的多項式和一個余項的和：其中 在和之間的一個數(shù)，該余項為拉格朗日余項。1.1.1 泰勒公式的推導過程我們知道，其在近似計算中往往不夠精確，于是我們需要一個能夠精確計算的而且能估計出誤差的多項式：來近似表達函數(shù)； 設多項式滿足 因此可以得出.顯然，所以；，所以；，所以，所以有 所

2、以，1.1.2 泰勒公式余項的證明我們利用柯西中值定理來推出泰勒公式的余項（拉格朗日余項）：設于是有所以有根據(jù)柯西中值定理可得： 是在和之間的一個數(shù)；對上式再次使用柯西中值定理，可得： 是在和之間的一個數(shù)；連續(xù)使用柯西中值定理次后得到： 這里是介于和之間的一個數(shù)。由于，是一個常數(shù)，故，于是得到：，綜上可得，余項： 介于和之間此余項又稱為拉格朗日余項。到此為止，我們知道了泰勒公式的一般形式可以表示為：其中為泰勒公式的余項，它可以有一下幾種形式：(1)佩亞諾（Peano）余項 (2)施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項 ,介于和之間(3)拉格朗日(Lagrange)余項 介于和

3、之間(4)柯西(Cauchy)余項 介于和之間(5)積分余項 泰勒公式的特殊形式，當取的時候，此時泰勒公式為： 為相應的余項，該式叫做泰勒公式的麥克勞林展開，也叫做麥克勞林公式； 麥克勞林公式主要應用在一些比較特殊的函數(shù)，如三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等。如：對或的麥克勞林展開進行求值計算；歐拉公式 的證明與應用等等。運用麥克勞林展開可以得到一些常用的泰勒展開式：.1.2 多元泰勒公式 除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應用也非常的廣泛，特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面，有著很大的作用。1.2.1 二元泰勒展開 引人記號：，則二元函數(shù)在處的泰勒展開為：是二元泰勒公式的余項。 由于二元泰勒展開比較

4、復雜，所以在一般的應用之中，只作二階泰勒展開。1.2.2 二元泰勒展開的余項 與一元泰勒公式類似，二元泰勒公式的余項分別有：(1)佩亞諾（Peano）余項 (2)拉格朗日(Lagrange)余項 ()是和線段上的一點1.2.3 多元函數(shù)泰勒展開 (1)多元函數(shù)一階泰勒展開 多元函數(shù)，則在的一階泰勒展開為：或對于任意的及任意的，有： (2)在的二階泰勒展開式或對于任意的及任意的，有 多元泰勒公式主要應用在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面。2、 泰勒公式在最優(yōu)理論中的應用目標函數(shù)泰勒表達式的展開，往往將原目標函數(shù)在所討論的點附近展開成泰勒多項式，用來解答原函數(shù)。目標函數(shù)的方向導數(shù)和梯度，考察函數(shù)與自變量

5、的關系，即函數(shù)相對于自變量的變化率，包括沿某一指定方向的變化率和最大變化率，所以就要用到方向導數(shù)和梯度。無約束目標函數(shù)的極值條件，無約束優(yōu)化問題一般歸結為求目標函數(shù)的極大值極小值問題，一般先求出若干極值點，再通過比較來確定全局最優(yōu)點。目標函數(shù)凸集與凸函數(shù)、凹函數(shù)，由函數(shù)極值條件所確定極小點，是指函數(shù)f(x)在點附近的一切x均滿足不等式f(x) > f()，由函數(shù)極值條件所確定的極小值只是反映函數(shù)在附近的局部性質。優(yōu)化設計問題中目標函數(shù)的局部極小點并不一定就是全局極小點，只有在函數(shù)具備某種性質時，二者才能等同。目標函數(shù)的約束極值優(yōu)化問題，約束最優(yōu)點不僅與目標函數(shù)本身的性質有關，而且還與約束

6、函數(shù)的性質有關。在存在約束的條件下，為了要滿足約束條件的限制，其最優(yōu)點不一定是目標函數(shù)的自然極值點。最優(yōu)化設計的數(shù)值計算方法迭代法及其收斂性，在機械優(yōu)化設計的實際問題中，采用解析法求解很困難，在實際應用中，則廣泛采用數(shù)值方法來直接求解。數(shù)值方法中常用的是迭代法，這種方法具有簡單的迭代格式，適用于計算機反復運算，通常得到的最優(yōu)解是一個可滿足精度要求的近似解。2.1 泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化理論證明中的應用 定理2.1(無約束問題解的一階必要條件) 設連續(xù)可微，是無約束問題的一個局部最優(yōu)解，則滿足 證明：任給，由局部最優(yōu)解的定義和多元泰勒展開，對任意充分小的數(shù)，有 不等式的兩端同時減去后除以，并令可得

7、.特別令得 從而， 定理2.2(無約束問題解的二階必要條件) 設二次連續(xù)可微，是無約束問題的一個局部最優(yōu)解，則滿足且半正定. 證明：由定理4.1，只需證明半正定.任給，由最優(yōu)解的定義和二階泰勒展開，對任意充分小的數(shù)，有 由和的任意性得 即半正定. 定理2.3(無約束問題解的二階充分條件) 二次連續(xù)可微.若滿足且正定，則是無約束問題的一個嚴格局部最優(yōu)解.證明：由于正定，故存在常數(shù)，使得對所有的，正定.由此，對任意，.由泰勒展開知，存在使得 即是問題的一個嚴格局部最優(yōu)解.2.2 泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化算法設計中的應用我們知道最優(yōu)化算法中我們需要知道兩個重要的條件，一個的算法迭代步長，而另外一個就是算法的下降方向，利用泰勒公式展開，能幫助我