數(shù)學(xué)一考研大綱

1、2011年考研數(shù)學(xué)一大綱考試科目高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 考試形式和試卷結(jié)構(gòu)1、試卷滿分及考試時間 試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘. 2、答題方式 答題方式為閉卷、筆試. 3、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu) 高等教學(xué)56% 線性代數(shù)22% 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 22% 4、試卷題型結(jié)構(gòu) 試卷題型結(jié)構(gòu)為： 單選題 8小題，每題4分，共32分 填空題 6小題，每題4分，共24分 解答題(包括證明題) 9小題，共94分 考試內(nèi)容之高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù) 考試要求 1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系. 2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性. 3.理解復(fù)合函數(shù)及分段

2、函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念. 4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念. 5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系. 6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則. 7.掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法. 8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限. 9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型. 10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì). 一元

3、函數(shù)微分學(xué) 考試要求 1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系. 2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分. 3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù). 4.會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauc

4、hy)中值定理. 6.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法. 7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用. 8.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性(注：在區(qū)間 內(nèi)，設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng) 時， 的圖形是凹的;當(dāng) 時， 的圖形是凸的)，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形. 9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑. 一元函數(shù)積分學(xué) 考試要求 1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念. 2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法. 3

5、.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分. 4.理解積分上限的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式. 5.了解反常積分的概念，會計算反常積分. 6.掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值. 向量代數(shù)和空間解析幾何 考試要求 1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示. 2.掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，了解兩個向量垂直、平行的條件. 3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.

6、 4.掌握平面方程和直線方程及其求法. 5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等)解決有關(guān)問題. 6.會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離. 7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念. 8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 9.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求該投影曲線的方程. 多元函數(shù)微分學(xué) 考試要求 1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義. 2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 3.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了

7、解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性. 4.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法. 5.掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法. 6.了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程. 8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式. 9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題. 多元函數(shù)積分學(xué) 考試要求 1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積

8、分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理. 2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會計算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)). 3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系. 4.掌握計算兩類曲線積分的方法. 5.掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù). 6.了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分. 7.了解散度與旋度的概念，并會計算. 8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積

9、、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等). 無窮級數(shù) 考試要求 1.理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件. 2.掌握幾何級數(shù)與 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件. 3.掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法. 4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法. 5. 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系. 6.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念. 7.理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法. 8.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導(dǎo)和逐項積分)，會求一些冪

10、級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和. 9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件. 10.掌握 ， ， ， 及 的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù). 11.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式. 常微分方程 考試要求 1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念. 2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法. 3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程. 4.

11、會用降階法解下列形式的微分方程： . 5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu). 6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程. 7.會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 8.會解歐拉方程. 9.會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題. 考試內(nèi)容之線性代數(shù)第一章：行列式 考試內(nèi)容： 行列式的概念和基本性質(zhì) 行列式按行（列）展開定理 考試要求： 1了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì) 2會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計算行列式 第二章：矩陣 考試內(nèi)容： 矩陣的概念 矩陣的線性運(yùn)算 矩陣的乘法

12、 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉(zhuǎn)置 逆矩陣的概念和性質(zhì) 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 初等矩陣 矩陣的秩 矩陣等價 分塊矩陣及其運(yùn)算 考試要求： 1理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質(zhì) 2掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì). 3理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣 4理解矩陣的初等變換的概念，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法 5了解分

13、塊矩陣及其運(yùn)算 第三章：向量 考試內(nèi)容： 向量的概念 向量的線性組合和線性表示 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 向量組的極大線性無關(guān)組 等價向量組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系 向量空間以及相關(guān)概念 n維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換 過渡矩陣 向量的內(nèi)積 線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法 規(guī)范正交基 正交矩陣及其性質(zhì) 考試要求： 1理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念 2理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法 3理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關(guān)組及秩 4理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)

14、向量組的秩之間的關(guān)系 5了解n維向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念 6了解基變換和坐標(biāo)變換公式，會求過渡矩陣 7了解內(nèi)積的概念，掌握線性無關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法 8了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì) 第四章：線性方程組 考試內(nèi)容: 線性方程組的克萊姆（Cramer）法則 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解 解空間 非齊次線性方程組的通解 考試要求 l會用克萊姆法則 2理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件 3理解齊次

15、線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法. 4理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念 5掌握用初等行變換求解線性方程組的方法 第五章：矩陣的特征值及特征向量 考試內(nèi)容: 矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì) 相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì) 矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣 實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣 考試要求: 1理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量. 2理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法. 3掌握實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì) 第六章

16、：二次型 考試內(nèi)容： 二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣 二次型的秩 慣性定理 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形 用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 二次型及其矩陣的正定性 考試要求： 1掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變化和合同矩陣的概念 了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理 2掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 3理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法 考試內(nèi)容之概率與統(tǒng)計第一章：隨機(jī)事件和概率 考試內(nèi)容： 隨機(jī)事件與樣本空間 事件的關(guān)系與運(yùn)算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質(zhì) 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公

17、式 事件的獨(dú)立性 獨(dú)立重復(fù)試驗 考試要求： 1了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算 2理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式 3理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗的概念，掌握計算有關(guān)事件概率的方法 第二章：隨機(jī)變量及其分布 考試內(nèi)容： 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 常見隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 考試要求： 1理解隨機(jī)變量的概念理

18、解分布函數(shù) 的概念及性質(zhì)會計算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率 2理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項分布 、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應(yīng)用 3.了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項分布. 4理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布 、正態(tài)分布 、指數(shù)分布 及其應(yīng)用，其中參數(shù)為（>0）的指數(shù)分布的概率密度為 5會求隨機(jī)變量函數(shù)的分布 第三章：多維隨機(jī)變量及其分布 考試內(nèi)容 多維隨機(jī)變量及其分布 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不

19、相關(guān)性 常用二維隨機(jī)變量的分布 兩個及兩個以上隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布 考試要求 1理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì). 理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率 2理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件. 3掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布 的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義 4會求兩個隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布，會求多個相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布. 第四章：隨機(jī)變量的數(shù)字特征 考試內(nèi)容 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì) 考試要求 1理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征 2.會求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 第五章：大數(shù)定律和中心極限定理 考試內(nèi)容 切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數(shù)定律 伯努利（Bernoulli)大數(shù)定律 辛欽（Khinchine）大數(shù)定律 棣莫弗拉普拉斯（De Moivrelaplace）定理 列維林德伯格（Levy-Lindberg）定理 考試要求 1了解切