空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、重點(diǎn)記憶：直高中空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體一一由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體旋轉(zhuǎn)體一一把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線 稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征棱柱一一有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些 面所圍成的幾何體叫做棱柱。圓柱一一以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱棱錐一一有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 圓錐一一以直角三角形的一直角邊

2、所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓 錐。棱臺(tái)一一用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái) 圓臺(tái)一一用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái) 球以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1. 投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2. 三視圖 正視圖；側(cè)視圖；俯視圖；是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形； 畫三視圖的原則： 長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3. 直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。4. 斜二測(cè)法：在坐標(biāo)系x&

3、#39;o'y'中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段保持平行性不變，平行于 x軸（或在x軸上）的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于 y軸（或在y軸上）的線段長(zhǎng)度減半廠觀圖面積二原圖形面積（三）空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和圓柱的表面積S = 2冗rl +2冗r2圓錐的表面積Srlr2圓臺(tái)的表面積Srlr2 Rl2R球的表面積S4 R2n R21 ,扇形的面積公式S扇形lr （其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示半徑）36022、空間幾何體的體積 柱體的體積V S底h錐體的體積V 底h1 j43臺(tái)體的體積V -（ S上 ,£上S下 ） h

4、 球體的體積V 3 R331平面含義：平面是無(wú)限延展的2平面的畫法及表示（1） 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形， 銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如 圖）（2）平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如平面AC平面ABC熒。3三個(gè)公理：（1）公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 符號(hào)表示為A LB L => L 匸 aAaBa -公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 符號(hào)表示為：A B

5、 C三點(diǎn)不共線=> 有且只有一個(gè)平面a, 使 Aa、Ba、Ca。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)（3）公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)表示為：PaGB => aPp =L，且P L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);共面直. 平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)； 異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a bcc / b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是

6、說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與0的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)0 般取在兩直 線中的一條上； 兩條異面直線所成的角8，）； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

7、（1）直線在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a a來(lái)表示第二章直線與平面的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行 簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a I ab B I=>aIlaa / b222 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。2、判定定理：一條直線與

8、一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形符號(hào)表示:梭IBa2、二面角的記法：二面角Aa-l- B 或 a -AB- Ba Bb匸j Ba A b = P »a/ab Ia 亠3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直 2.3.3 直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)

9、平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1) 用定義；(2) 判定定理；(3) 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a /aa匸B aAB = b -a / b作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交， 符號(hào)表示：a/BaAy = aBAy = b/直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定直線與直線的位置關(guān)系第三章直線與方程、公式:1

10、.若直線的傾斜角為(90 )，則直線的斜率k = tan1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我們就說(shuō)直線L與平面a互相垂直，記作L丄a,直線2.過(guò)點(diǎn)心)和卩:化必)的直線的斜率為：丿1x2 X-|L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線 L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。3.若不平行于y軸的兩直線I1/I2，則k=k2 ;若兩直線l1 I2，則k1 k?!;4.直線的點(diǎn)斜式方程：y y° k(x x°)5.直線的斜截式方程：y kx b6.直線的兩點(diǎn)式萬(wàn)程：yy1x 人y2y1X2捲7.直線的截距式方程：x 1 a b8.直線的般式方程：

11、ACAx By C 0，此時(shí)，斜率為一，截距為一BB9.對(duì)于兩直線h : AxB1 y C10 和 12: A2 xB2 y C20(1)若 a1b2 a2b10,兩直線相交；(2)若 A1B2 A2B10，兩直線平行或重合；(3)若A1A2 B1B20，若兩直線垂直。10. 點(diǎn)(xi,yj和區(qū)皿)的中點(diǎn)坐標(biāo)是(仝X2, 迪)2 211. 若 R (xi, yi )和 P2 (x2, y2 )，貝U： RP2 V(Xi x2)(yi y2)12. 點(diǎn)(xo, yo)到直線Ax By C 0的距離為：By。C二、基本注意點(diǎn)：1. 過(guò)點(diǎn)(a,b)，且平行于x軸的直線方程是：y b ；2. 過(guò)點(diǎn)(a

12、,b)，且平行于y軸的直線方程是：x a ；三、典型習(xí)題：1.求過(guò)點(diǎn)(2,3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程。解：截距不為0時(shí)，設(shè)兩軸上的截距都為a,則有直線方程為：-1， a a將(2,3)帶入上式可得：a 5，所以直線方程為：-1，55即：x y 50；兩軸上的截距都為0時(shí)，則直線過(guò)原點(diǎn)(0,0)，由兩點(diǎn)式可得：U U，即：3x 2y 03 02 0綜上所述：滿足條件的直線方程為：x y 5 0或3x 2y 0 .(注：做本題時(shí)要分截距為0和截距不為0兩種情況，切不可直接將方程設(shè)為-1，因?yàn)橛迷摲匠虝r(shí)，要求截距不為 0。)a b2. 已知直線11 : x my 60， l2 :(m 2

13、)x 3y 2m 0，求滿足下列條件的 m值:(1)11 和 J相交；(2)11 J ；(3)I1/I2 ；(4)h和 J重合；解：(1)Qh和口2相交：A1B2A2B10，即：1 3(m2)m0解得：m1且m3(2)Ql1l2，AA2B1B20，即：1 (m2)3m0解得：m12(3)(4)A B2A'2B10,即：1 3(m2)m0解得：m1或m3檢驗(yàn):m1時(shí)寸,h:x y6 0,l23x 3y20,此時(shí)，兩直線平行，所以,m3時(shí),l1:x3y6 01:x3y 60,此時(shí)，兩直線重合綜上所示:m1時(shí)'兩直線平行；m3時(shí)兩直線重合.第四章圓與方程圓與方程2、1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以

14、點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x a)2 (y b)2 r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2 y22 r .2、2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r:(1)點(diǎn)在圓上- d=r ；(2)點(diǎn)在圓外d > r ；點(diǎn)在圓內(nèi)I'- ld< r2 22.給定點(diǎn) M(X0,y。)及圓 C :(x a) (y b)2 r .222 M 在圓 C 內(nèi)(X。a) (y0 b) rM在圓C上(x° a)2 (y° b)2 r22、 M 在圓 C 外 (xo a)2 (yo b)2 r23圓的一般方程:x2 y2 Dx E

15、y若點(diǎn)(X0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則y1 y°R bk(x1 X0)y1 k(a X1)，聯(lián)立求出k,R2 1切線方程.D2D2D2E2E2E24F4F4F注：(1)方程0時(shí),0時(shí),0時(shí),方程表示一個(gè)圓,方程表示一個(gè)點(diǎn)其中圓心方程無(wú)圖形(稱虛圓)2 2Ax Bxy Cy Dx Ey FCI，半徑r.D2 E2 4F20表示圓的充要條件是：B0且 A C 0且 D2 E2 4AF 0.2、4直線與圓的位置關(guān)系：直線AxBy C0與圓(xa)2 (yb)2r2的位置關(guān)系有三種(1)若 d lAa Bb C,d r相離0 ；mA2 B2(2) d r相切0 ；(3) d r相

16、交0。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組Ax ByC 0求解，通過(guò)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷2 2x yDx EyF 0(1)當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)(直線與圓有2個(gè)交點(diǎn))，直線與圓相交；圓的直徑或方程：已知A(xi,yi)B(X2 ,y2)(x xi )(x X2) (y yi)(y y2)0(2) 當(dāng)方程組有且只有 1個(gè)公共解時(shí)(直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn))，直線與圓相切；(3) 當(dāng)方程組沒(méi)有公共解時(shí)(直線與圓沒(méi)有交點(diǎn))，直線與圓相離；即:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓心C到直線I的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切 d=r = 0 (2)相交 d<r >0;(3)相離 d>r <0。2、5兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為 。1, 02,半徑分別為1,2 , O1O2 d。(1)dr1r2 外離 4條公切線；(2) d r1 r2外切3條公切線;(3)r1r2|dr1 r2相交 2條公切線；(4) d |r1r2內(nèi)切 1條公切