復(fù)變函數(shù) 第一章 華科大

1、 通知通知一一 以班為單位買練習(xí)冊(cè)（每?jī)?cè)五元）以班為單位買練習(xí)冊(cè)（每?jī)?cè)五元） 時(shí)間地點(diǎn)：本周周一周六（上午，下午，晚上）；時(shí)間地點(diǎn)：本周周一周六（上午，下午，晚上）； 科技大樓南樓科技大樓南樓609；二二 每周一次答疑每周一次答疑 時(shí)間地點(diǎn)：周二晚上時(shí)間地點(diǎn)：周二晚上7:009:30； 科技大樓科技大樓南樓南樓813；三三 結(jié)業(yè)成績(jī)分配結(jié)業(yè)成績(jī)分配 平時(shí)成績(jī)（作業(yè)）平時(shí)成績(jī)（作業(yè)）20%；期末考試（閉卷）成績(jī)；期末考試（閉卷）成績(jī)80%引引 言言 在十六世紀(jì)中葉，在十六世紀(jì)中葉，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次在研究一元二次方程方程 時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)

2、這個(gè)方程沒有根，并他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為 。在當(dāng)時(shí)在當(dāng)時(shí)，包括他自己在內(nèi)，誰(shuí)也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上包括他自己在內(nèi)，誰(shuí)也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并引入后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于 L.Euler的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大

3、家所熟知的的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到間的關(guān)系。然而一直到C.Wessel ( (挪威挪威. .1745-1818) )和和R.Argand( (法國(guó)法國(guó). .1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及，以及K.F.Gauss (德國(guó)德國(guó)1777-1855)與與W.R.Hamilton (愛爾蘭愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)定義復(fù)數(shù) 為一對(duì)有序?qū)崝?shù)為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性的長(zhǎng)久疑慮，的長(zhǎng)久疑慮，

4、“復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。發(fā)展。1040 xx515515與cossinieiaib本堂課的思考與要點(diǎn)：本堂課的思考與要點(diǎn)： 1.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的本質(zhì)區(qū)別；復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的本質(zhì)區(qū)別； 2.兩復(fù)數(shù)相等的充要條件；兩復(fù)數(shù)相等的充要條件； 3.復(fù)數(shù)輻角與輻角主值的定義；復(fù)數(shù)輻角與輻角主值的定義； 4.習(xí)慣用模與輻角進(jìn)行基本運(yùn)算。習(xí)慣用模與輻角進(jìn)行基本運(yùn)算。 復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中是解決諸如流體力

5、學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平平面問題面問題的有力工具的有力工具。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展推廣和發(fā)展 。第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.11.1復(fù)數(shù)及其表示法復(fù)數(shù)及其表示法 一對(duì)有序?qū)崝?shù)一對(duì)有序?qū)崝?shù)（ ）構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)，記為，記為 .iyxzyx, 自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù)自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù), , 它是本課程的研究對(duì)象它是本課程的研究對(duì)象. .由由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算, ,本章將在原有的本章將在原

6、有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充; ; 然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變?nèi)缓笤俳榻B復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, , 為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ)定必要的基礎(chǔ). .x, y 分別稱為分別稱為 Z 的的實(shí)部實(shí)部和和虛部虛部, , 記作記作x=Re(Z), y=Im(Z), .1i zxiy稱為稱為 Z 的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。與實(shí)數(shù)不同與實(shí)數(shù)不同, , 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)復(fù)數(shù)相等他們的實(shí)部和虛部都相等他們的實(shí)部和虛部都相等特別地，特別地，00yxiyxz1.代數(shù)形式代數(shù)形式 :iyxz復(fù)數(shù)的

7、表示法復(fù)數(shù)的表示法1)點(diǎn)表示點(diǎn)表示zxiy復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)yz(x,y)xx0y復(fù)平面復(fù)平面實(shí)軸實(shí)軸虛軸虛軸z(x,y)XOY上點(diǎn)上點(diǎn)復(fù)平面復(fù)平面一般說來一般說來, , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小. .2) 向量表示向量表示-復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的的輻角輻角(argument) 記作記作Arg z= .任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z 0有無窮多個(gè)幅角有無窮多個(gè)幅角, ,將滿足將滿足 p p 0 p p 的的 0 稱為稱為Arg z的的主值主值, 記作0=arg z .則則Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k為任意整數(shù)為任意整數(shù))復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)z=x+iy矢z=x+iy矢徑徑z z0

8、xyxyz=x+iyz22zzrxy-復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的的模模|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyzxzrz與與x軸正向的夾角軸正向的夾角在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp當(dāng)當(dāng) z = 0 時(shí), | z | = 0, 而幅角不確定而幅角不確定. arctan22yxpp其中說明：當(dāng)說明：當(dāng) z 在第二象限時(shí)在第二象限時(shí)，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxparg z與與x和和y的關(guān)系的關(guān)系:2.2.指數(shù)形式與三角形式指數(shù)形式與三角形式),(zArgzr)

9、sin(cosirzirez 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系: x = r cos, y = r sin, 可以將可以將z表示成表示成三角表示式三角表示式: :利用歐拉公式利用歐拉公式 e i = cos + i sin 得得指數(shù)表示式指數(shù)表示式: :例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式. .1)122 ;2)sincos.55zizipp 解解 1)|1244.rzz在第三象限在第三象限, , 因此因此235arctanarctan.3612ppp 因此因此56554cos()sin()466iziepppiyxz2) 2

10、) 顯然顯然, r = | z | = 1, 又又3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此因此31033cossin1010izieppp練習(xí)：練習(xí)：寫出寫出 的輻角和它的指數(shù)形式。的輻角和它的指數(shù)形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233zppppp 2arg22,3ArgzzkkkZppp1,rz23.izep1.21.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算222111,iyxziyxz設(shè)設(shè))0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxz

11、zyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律, ,結(jié)合律和分配律結(jié)合律和分配律: :1 1 . . 四則運(yùn)算四則運(yùn)算加減法與平行四邊形加減法與平行四邊形法則的幾何意義法則的幾何意義: :乘、除法的幾何意義乘、除法的幾何意義: :111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzArgz zAzArgz,1z2z12zz21zz,定理定理1 1 兩個(gè)復(fù)數(shù)

12、乘積的模等于它們的模的乘積兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, , 兩個(gè)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和. . 等式等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的兩邊都的意思是等式的兩邊都是無限集合是無限集合, , 兩邊的集合相等兩邊的集合相等, , 即每給定等式左邊的即每給定等式左邊的一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù), , 就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng), , 反之亦然反之亦然.幾何上幾何上 z1z2 相相當(dāng)于將當(dāng)于將 z2 的的模擴(kuò)大模擴(kuò)大 |z1| 倍倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度度Arg z1 .011z2z1 2z z1r2

13、r1 2rr12112 xy1iz12z211212121zzzzrrrr例例2 2：設(shè)：設(shè)121,.zzi 求求：1 2;1 2.z zArgz z21 2;iz ziep 12,Argznpp22,2Argzmpp解：解：1 21222,Argz zArgzArgzkk m nZpp 若取若取1,k 則1,1,;nmnm 若取若取0,mn則1.k 22112211122110zzzzzzzzzzArgzArgArgzz21()2211izrezr22112211zzzzzArgArgzArgzz;按照乘積的定義按照乘積的定義, , 當(dāng)當(dāng)z10時(shí)時(shí), , 有有定理定理2 2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模

14、等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商, , 兩個(gè)復(fù)兩個(gè)復(fù)數(shù)數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差. .2 2 . . 乘方與開方運(yùn)乘方與開方運(yùn)算算1 1）乘方乘方cossinnninnzr erninDe Moivre 公式：cossincossinninin2 ）開方開方: 若滿足，若滿足，則稱則稱w為為z的的n次方根次方根，nwz記為記為 .nwzziArgwinArgnezew于是于是2(0,1,2,1)nwzargzkArgwnknp推得推得2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnwzzeargzkargzkrinnkn

15、ppp從而從而幾何解釋幾何解釋：z1/n的的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心, r1/n為半徑的圓為半徑的圓 的內(nèi)接正的內(nèi)接正n邊形的邊形的n個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)。例例2 2 求求41. i 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?2 cossin,44iipp 所以所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiikpppp 即即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwipppppppp四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為2 21/81/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)

16、的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn). .2821+iw0w1w2w3Oxy練習(xí)練習(xí) 求復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù) 的模與輻角。的模與輻角。311 ii2211ii1.31.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程( (或不等式或不等式) )來來表示表示; ; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程( (或不等式或不等式) )來來確定它所表示的平面圖形確定它所表示的平面圖形. .例例3 將通過兩點(diǎn)將通過兩點(diǎn)z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示方程來表示. . 解解 通過

17、點(diǎn)通過點(diǎn)(x1,y1)與與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為的直線可用參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此因此, , 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1). (- tM平面上以平面上以 z0為中心為中心, d d ( (任意的正數(shù)任意的正數(shù)) )為半徑的圓為半徑的圓: : |z z0|d d 內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的的鄰域鄰域, 而稱由不等式而稱由不等式 0|z z0|M （ M0 ）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域M|z|+ 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域oxyNM

18、 設(shè)設(shè)G為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集, , z z0 0為為G中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn). . 如果存在如果存在z z0 0的的一個(gè)鄰域一個(gè)鄰域, , 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G, , 則稱則稱z z0 0為為G的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn). . 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)稱為一個(gè)區(qū)域區(qū)域, , 如果它滿足下列兩個(gè)條件如果它滿足下列兩個(gè)條件: : 設(shè)設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, , 如果點(diǎn)如果點(diǎn)P不屬于不屬于D, , 但在但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn)中的點(diǎn), , 這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)P稱為稱為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn). . D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成

19、D的的邊界邊界. . 區(qū)域的區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的. .如果如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), , 則稱則稱G為為開集開集.1) 1) D是一個(gè)是一個(gè)開集開集; ;2) 2) D是是連通連通的。就是說的。就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于 D 的一條折線連接起來的一條折線連接起來. . 區(qū)域區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域, , 記作記作 D.如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面, 即存在

20、正數(shù)即存在正數(shù) M, 使區(qū)域使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)z都滿足都滿足 |z|M, 則稱則稱 D為為有界有界的的, , 否則稱為否則稱為無界無界的的. .2. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域 沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線 C, 稱為稱為簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線. 如果簡(jiǎn)單曲如果簡(jiǎn)單曲線線 C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, , 則曲線則曲線 C 稱為稱為簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線.z(a)=z(b)簡(jiǎn)單,閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單,不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉z(a)z(b) 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集

21、個(gè)互不相交的點(diǎn)集, , 其中除去其中除去 C 外外, , 一個(gè)是有界區(qū)域一個(gè)是有界區(qū)域, , 稱為稱為 C 的的內(nèi)部?jī)?nèi)部, , 另一個(gè)是無界區(qū)域另一個(gè)是無界區(qū)域, , 稱為稱為 C 的的外部外部, C 為它們的公共邊界為它們的公共邊界. . 簡(jiǎn)單閉曲線的這一性質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線的這一性質(zhì), , 其幾何直其幾何直觀意義是很清楚的觀意義是很清楚的. .內(nèi)部?jī)?nèi)部外部外部C定義定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 D, 如果在其中如果在其中任作任作一條簡(jiǎn)單一條簡(jiǎn)單閉曲線閉曲線, , 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱為就稱為單連通域單連通域, , 一個(gè)一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域區(qū)域如果不是單

22、連通域, , 就稱為就稱為多連通域多連通域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD1.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1. 1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義定義定義 設(shè)設(shè) D 是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集, fDzw 數(shù)數(shù)復(fù) wf z稱為復(fù)變函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù). .其確定了自變量為其確定了自變量為x和和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u ,v .因而函數(shù)因而函數(shù) w = z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù): u = x2y2, v = 2xy,f xiyu x yiv x y例如例如, , 考察函數(shù)考察函數(shù) w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv ,

23、則則 u+iv = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 在以后的討論中在以后的討論中, , D常常是一個(gè)平面區(qū)域常常是一個(gè)平面區(qū)域, , 稱之為稱之為定義域定義域 . . 如無特別聲明如無特別聲明, , 所討論的函數(shù)均為所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)單值函數(shù). .2. 2. 映射的概念映射的概念 函數(shù)函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把在幾何上可以看做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)平面上的一個(gè)點(diǎn)集集D(定義集合定義集合) )變到變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集G ( (函數(shù)值集合函數(shù)值集合)的的映射映射( (或或變換變換). ). 如果如果 D 中的點(diǎn)中的點(diǎn) z 被映射被映射 w=f

24、(z) 映射映射成成 G中的點(diǎn)中的點(diǎn) w, 則則 w 稱為稱為 z 的的象象( (映象映象), ), 而而 z 稱為稱為 w 的的原象原象. .xuDGZzwW=f(z)vyW設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有有 u = x2y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv 如果函數(shù)如果函數(shù)( (映射映射) ) w=f (z) 與它的反函數(shù)與它的反函數(shù)( (逆映射逆映射) ) z =j j (w)都是單值的都是單值的, , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)(

25、(映射映射) ) w =f (z)是一一是一一的的. . 此時(shí)此時(shí), 我們也稱集合我們也稱集合D與集合與集合G是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的.舉例舉例：求曲線在映射下的像求曲線在映射下的像 例題例題1 1 ?8:122zwyxC11zxiywuiv22vuivu2222,vuvyvuux81:22vu?:2bzwRzC例題例題2 2Rbwzbw2:2例題例題3 3?)2(:2zwtizC22)43()2(titiwuv34:例題例題4 4 ?: izwxyC)(ixxiwixx uv:1.6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = f (z

26、)定義在定義在 z0的去心鄰域的去心鄰域 0|z z0|0, 相應(yīng)地必有正相應(yīng)地必有正數(shù)數(shù)d d (e e) (0 d d r r), 使得當(dāng)使得當(dāng) 0 |z z0|d d 時(shí)時(shí),有有| f (z) A |e e ,則則稱稱A為為f (z)當(dāng)當(dāng) z趨向于趨向于z0時(shí)的時(shí)的極限極限, 記作記作Azfzz)(lim0或記作當(dāng)或記作當(dāng) zz0 時(shí)時(shí) , , f (z)A.幾何意義幾何意義: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim ( )zzAf z意意味味著著：0( )zzf z當(dāng)當(dāng) 從從平平面面上上任任一一方方向向、沿沿任任何何路路徑徑、以以任任意意方方式式趨趨近近于于 時(shí)時(shí)，均均以以A為A為極極限限。等價(jià)定義：等價(jià)定義： 設(shè)設(shè) f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則則0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAv xyv運(yùn)算性質(zhì)：運(yùn)算性質(zhì)： )(lim)(lim)()(lim) 1 (000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim) 3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz當(dāng)當(dāng) z0 時(shí)的極限不存在時(shí)的極限不存在例例1