3[1]圓的對稱性課件

1、3.13.1 圓的對稱性圓的對稱性(1)(1) - -垂徑定理垂徑定理杜堂鎮(zhèn)中學杜堂鎮(zhèn)中學一、點與圓的位置關(guān)系一、點與圓的位置關(guān)系nOP=rOPrO OO OP PO OP PO OP P知識回顧：知識回顧： 想一想想一想圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？你是用什么方法解決這個問題的你是用什么方法解決這個問題的? ?圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸. .如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?用用折疊的折疊的方法方法即可解決這個問題即可解決這個問題. .你能找到多少條對稱軸你能找到多少條對稱軸? ?O二、圓

2、的對稱性二、圓的對稱性 n圓上任意兩點間的部分叫做圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓弧,簡稱簡稱弧弧.n連接圓上任意兩點間的線段叫做連接圓上任意兩點間的線段叫做弦弦(如弦如弦AB).On經(jīng)過圓心的經(jīng)過圓心的弦弦叫做叫做直徑直徑(如直徑如直徑AC).ABn以以A,B兩點為端點的兩點為端點的弧弧.記作記作 ,讀作讀作“弧弧AB”.ABn小于半圓的小于半圓的弧弧叫做叫做劣弧劣弧,如記作如記作 (用兩個字母用兩個字母).ADBn大于半圓的大于半圓的弧弧叫做叫做優(yōu)弧優(yōu)弧,如記作如記作 (用三個字母用三個字母).ABCD 三、三、相關(guān)概念相關(guān)概念注意：注意：直徑是弦，但弦不一定是直徑；直徑是弦，但弦不一定是直

3、徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧 如圖如圖,CD是是直徑直徑, AB弦弦, CDAB,垂足為垂足為M 。你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？請你說說它們相等的理由。請你說說它們相等的理由。OCDABMAM=BM，AC=BC，AD=BD 探求不斷探求不斷連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.AM=BM.點點A和點和點B關(guān)于關(guān)于CD對稱對稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對稱對稱,當圓沿著直徑當圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重

4、合重合. AC =BC,AD =BD.CDAB于于M證明：證明：已知：已知：CD是是 O的直徑，的直徑，AB是是 O的弦，的弦， 且且CDAB于于M，求證：求證：AM=BM， AC =BC, AD =BD垂徑定理垂徑定理n定理定理 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦并且平分弦所對的兩條弧所對的兩條弧.OABCDMCDAB, CD是直徑是直徑, AM=BM, AC = BC, AD = BD.條件條件一條直徑一條直徑垂直于弦垂直于弦直徑平分弦直徑平分弦平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧結(jié)論結(jié)論平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的優(yōu)弧EDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列

5、圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABcOEDCAB 如圖，已知在如圖，已知在 O中，中，弦弦AB的長為的長為8厘米，圓心厘米，圓心O到到AB的距離為的距離為3厘米，厘米，求求 O的半徑。的半徑。E.ABO解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E21則則AEBE AB 84厘米厘米在在RtAOE中，中，OE=3厘米，根據(jù)勾股定理厘米，根據(jù)勾股定理OA21 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。543OEAE2222 厘米厘米若若E為弦為弦AB上一動點，則上一動點，則OE取值范圍是取值范圍是_。如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中即圖中

6、，點，點o是是 的圓的圓 心心)，其，其中中CD=600m,E為為 上一點，且上一點，且OECD ，垂足為，垂足為F，EF=90m,求這段求這段彎路的半徑。彎路的半徑。CDE FOCDCDCD A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM1.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB為直徑，為直徑，則下列結(jié)論不正確的是（則下列結(jié)論不正確的是（ ）2.已知已知 O的直徑的直徑AB=10，弦，弦CD AB，垂足為垂足為M，OM=3，則，則CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB為直徑，為直徑，若若CD=10，AM=1，則，則 O的半徑是的半徑是 . OCDABMC81

7、3n練習：練習：A組組 在圓中某弦長為在圓中某弦長為8cm，圓的直徑是，圓的直徑是10cm，則圓心到弦的距離是則圓心到弦的距離是( )cmB組組 在圓在圓o中弦中弦CD24，圓心到弦，圓心到弦CD的距離的距離為為5,則圓則圓o的直徑是的直徑是( )C組組 若若AB為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦CDAB于于E，AE16，BE=4,則則CD( ) 多方練習，多方練習，分層評價分層評價.ABDCEO oCDECDOE答案：答案：3答案：答案：26答案：答案：16CDAB,垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理nAB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM.n你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量

8、關(guān)系?與同與同伴說說你的想法和理由伴說說你的想法和理由. 做一做做一做n過點過點M作直徑作直徑CD.On下圖是軸對稱圖形嗎下圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?n小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CDn由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB CDAB,垂徑定理的逆定理OCD CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC, AD=BD. AB平分平分弦（不是直徑）的弦（不是直徑）的直徑直徑垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧.被平分的這條被平分的這條弦弦不是直徑不是直徑M 判斷：判斷：垂直于弦的直

9、線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對并且平分弦所對的兩條弧的兩條弧. （ ）平分弦的直徑一定垂直于這條弦平分弦的直徑一定垂直于這條弦. （ ）(3)弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心. （ ） 已知如圖，在以已知如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦圓的弦AB交小圓于交小圓于C、D兩點。兩點。 求證：求證：AC=BD o oABCDE證明：過證明：過O作作OEAB于于E，解后指出解后指出：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作出要作出“垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，作為輔助線，實際

10、上，往往只需從圓心作弦的垂線段。往往只需從圓心作弦的垂線段。則則 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即即AC=BDOABCD如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的如果圓的兩條弦平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么弧相等嗎？為什么?EFMN挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 做一做做一做挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論垂徑定理的推論 n如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相那么這兩條弦所夾的弧相等嗎等嗎?n老師提示老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心

11、的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.MN挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 畫一畫畫一畫n如圖如圖,M,M為為OO內(nèi)的一點內(nèi)的一點, ,利用尺規(guī)作一條弦利用尺規(guī)作一條弦AB,AB,使使ABAB過點過點M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=6，CE=2，求弦求弦AB的長。的長。FEDOCAB挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 做一做做一做n如圖如圖,圓圓O與矩形與矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的長的長.ABCD0EFGHMN垂徑定理的應(yīng)用垂

12、徑定理的應(yīng)用n在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAOED 600垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用n在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度. BAO600 650DC趙州石拱橋趙州石拱橋n1.13001.1300多年前多年前, ,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的的橋拱是圓弧形橋拱是

13、圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對是弦的長弧所對是弦的長) )為為37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.2m,7.2m,求橋求橋拱的半徑拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).趙州石拱橋趙州石拱橋解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為Rm，經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點相交于點C.根根據(jù)垂徑定理，據(jù)垂徑定理，D是是AB的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD就是拱高就是拱高.由題設(shè)由題設(shè)ABAB

14、ABAB, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.OABCRD37.47.2練習練習:在圓在圓O中，直徑中，直徑CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圓求圓O的半徑。的半徑。10DCEOABr4r-4船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎n2 . 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱

15、頂拱頂高出水面高出水面2.4米米.現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并米、船艙頂部為長方形并高出水面高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這此貨船能順利通過這座拱橋嗎？座拱橋嗎？例例：如圖，已知圓：如圖，已知圓O的直徑的直徑AB與與 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圓，且圓O的半徑為的半徑為 10，CD=16 ，求，求AE-BF的長。的長。GEFAOBCD .AOBECDF思考題思考題已知：已知：AB是是 O直徑，直徑，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求證：求證：ECDF理理解解記記憶憶1.1. 如圖所示，OA是圓O的半徑，弦CD

16、OA于點P，已知OC=5，OP=3，則弦CD=_。2. 2. 如圖所示，在圓O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E，若AC=2cm，則圓O的半徑為_cm。3. 3. 如圖所示，AB是圓O的直徑，弦CDAB，E為垂足，若AB=9，BE=1，則CD=_。 1題 2題 3題4. 4. 如圖所示，在ABC中，C90，AB10，AC8，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為_。5. 5. 如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，BCD=120，則BOD=_度。6. 6. ABC中，C=90，AB=，BC=BC=，以點以點A A為圓心，以為圓心，以長為半徑畫圓，則

17、點長為半徑畫圓，則點C C在圓在圓A_A_，點，點B B在圓在圓A_A_；課課 堂堂 檢檢 測測7. 7. 圓的半徑等于圓的半徑等于，圓內(nèi)一條弦長，圓內(nèi)一條弦長2 2，則弦的中點與弦所對弧的中點的距離等于，則弦的中點與弦所對弧的中點的距離等于_；8. 8. 在在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=BC=4cmAC=BC=4cm，D D是是ABAB邊的中點，以點邊的中點，以點C C為圓心，為圓心，4cm4cm為半徑作圓。為半徑作圓。則則A A、B B、C C、D D四點在圓內(nèi)有四點在圓內(nèi)有_。9. 9. 半徑為半徑為5cm5cm的圓的圓O O中有一點中有一點P P，OP=4OP=4，則過

18、，則過P P的最短弦長的最短弦長_，最長弦是，最長弦是_，二選擇題二選擇題1. 1. 如圖所示，圓如圖所示，圓O O的直徑為的直徑為1010，弦，弦ABAB的長為的長為6 6，M M是弦是弦ABAB上的一動點，則線段的上的一動點，則線段的OMOM的長的的長的取值范圍是（取值范圍是（ ） A. 3OM5 A. 3OM5B. 4OM5 C. 3B. 4OM5 C. 3OMOM5 5D. 4D. 4OMOM5 5 2. 2. 下列說法中，正確的是（下列說法中，正確的是（ ）A. A. 到圓心的距離大于半徑的點在圓內(nèi)到圓心的距離大于半徑的點在圓內(nèi) B. B. 圓的半徑垂直于圓的切線圓的半徑垂直于圓的切線C. C. 圓周角等于圓心角的一半圓周角等于圓心角的一半 D. D. 等弧所對的圓心角相等等弧所對的圓心角相等3. 3. 若圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為若圓的一條弦把圓分成度數(shù)的比為1 1：3 3的兩條弧，則劣弧所對的圓周角等于（的兩條弧，則劣弧所對的圓周角等于（ ） A. 45 A. 45B. 90B. 90C. 135C. 135D. 270D. 2704. 4. 如圖所示，如圖所示，A A、B B、C C三點在圓三點在圓O O上，上，AOC=100AOC=100，則，則ABCABC等于（等于（ ） A. 14