第2講化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)WZY01

1、第二章：化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)第二章：化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ) 線性代數(shù)線性代數(shù) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與回歸分析數(shù)理統(tǒng)計(jì)與回歸分析 計(jì)算機(jī)編程及應(yīng)用計(jì)算機(jī)編程及應(yīng)用 最優(yōu)化理論與算法最優(yōu)化理論與算法第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-1第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-2 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)：化學(xué)計(jì)量學(xué)的理論基礎(chǔ)化學(xué)計(jì)量學(xué)的理論基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)將實(shí)際問(wèn)題中的背景省略，抽提其在數(shù)學(xué)將實(shí)際問(wèn)題中的背景省略，抽提其在數(shù)字或幾何方面的共性特點(diǎn)進(jìn)行研究。數(shù)字或幾何方面的共性特點(diǎn)進(jìn)行研究。 抽象數(shù)學(xué)十分實(shí)用：很多學(xué)科中的研究對(duì)抽象數(shù)學(xué)十分實(shí)用：很多學(xué)科中的研究對(duì)象可以用象可以用向量向量、矩陣矩陣表示。表示。 利用數(shù)學(xué)

2、中抽象符號(hào)及其相關(guān)理論可以建利用數(shù)學(xué)中抽象符號(hào)及其相關(guān)理論可以建立描述研究對(duì)象的立描述研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)一步，從而進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)對(duì)化學(xué)家有用嗎？ 數(shù)據(jù)的挖掘數(shù)據(jù)的挖掘 數(shù)據(jù)的處理數(shù)據(jù)的處理 從測(cè)試數(shù)據(jù)提取化學(xué)信息從測(cè)試數(shù)據(jù)提取化學(xué)信息 信息技術(shù)的革命信息技術(shù)的革命 計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-32-1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)回顧-線性代數(shù)部分線性代數(shù)部分化學(xué)中的數(shù)據(jù)類型第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-4單變量數(shù)據(jù)：?jiǎn)巫兞繑?shù)據(jù)：一次測(cè)量得到一個(gè)值（如：一次測(cè)量得到一個(gè)值（如：溫度、壓力、單波長(zhǎng)的吸

3、光度等）；溫度、壓力、單波長(zhǎng)的吸光度等）；多變量數(shù)據(jù)：多變量數(shù)據(jù)：分析儀器的高性能化，使得分析儀器的高性能化，使得一次測(cè)量可以獲得多變量、多通道的數(shù)據(jù)一次測(cè)量可以獲得多變量、多通道的數(shù)據(jù)（如：（如：UV-VisL吸收光譜吸收光譜、IR、NIR、熒、熒光光譜光光譜、GC、LC、MS、NMR及聯(lián)用儀及聯(lián)用儀器等）；器等）； 分析化學(xué)中的矢量任何一個(gè)光譜、色任何一個(gè)光譜、色譜等譜圖可以用一譜等譜圖可以用一個(gè)向量表達(dá)；個(gè)向量表達(dá)；一組描述研究對(duì)象一組描述研究對(duì)象的變量也可用一個(gè)的變量也可用一個(gè)向量表達(dá)向量表達(dá)第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-5第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-

4、6聯(lián)用儀器HPLC-DAD,GC-MS,GC-IR,HPLC-MS 二維數(shù)據(jù)既含有色譜二維數(shù)據(jù)既含有色譜信息又含有光譜信息信息又含有光譜信息 數(shù)據(jù)矩陣大于數(shù)據(jù)矩陣大于10兆兆 大量化合物數(shù)據(jù)庫(kù)大量化合物數(shù)據(jù)庫(kù)第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-7根據(jù)根據(jù)Lambert-Beer定律做出的定律做出的兩個(gè)不同化合物兩個(gè)不同化合物a與與b的混合物光譜的混合物光譜第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-8向量加法的幾何意義abba第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-9)()(cbacba向量減法的幾何意義第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-10向量的方向與長(zhǎng)度 向量

5、的向量的方向方向：由構(gòu)成向量的所有元素所決定，因?yàn)槿我鈨稍亻g的不同比率會(huì)確定向量在線性子空間中的方向; 向量的向量的長(zhǎng)度長(zhǎng)度：由構(gòu)成向量的所有元素的平方和所決定：第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-1122221.naaaa向量分量之間的不同比例決定了向量在線性子空間中的方向第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-12兩向量間的減法決定了n維空間中兩點(diǎn)間的距離第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-13,.,2211nnbabababa向量的數(shù)乘,.,21tnaaaa 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-14,.,21tnaaaa 向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘相當(dāng)于不

6、同濃度的光譜第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-15向量的數(shù)乘滿足結(jié)合律、分配律向量的數(shù)乘滿足結(jié)合律、分配律向量的內(nèi)積與外積第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-16向量間的內(nèi)積內(nèi)積或點(diǎn)積點(diǎn)積生成一個(gè)數(shù)兩向量間內(nèi)積的幾何意義第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-17 兩兩向量外積向量外積生成一個(gè)生成一個(gè)雙線性矩陣雙線性矩陣第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-18其在多元分辨中有重要的意義其在多元分辨中有重要的意義矩陣代數(shù)相關(guān)概念簡(jiǎn)介矩陣代數(shù)相關(guān)概念簡(jiǎn)介1、矩陣的相等、矩陣的相等：矩陣：矩陣A和和B相等，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所相等，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有有i和和j均有均有A

7、ij=Bij時(shí)才成立！時(shí)才成立！2、矩陣的加減矩陣的加減：只有相同維數(shù)的矩陣才可以加減：只有相同維數(shù)的矩陣才可以加減 Aij BijCijijijijBAC第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-19ABBA3、矩陣乘法矩陣乘法：矩陣：矩陣A、B，僅當(dāng)，僅當(dāng)A的列數(shù)等于的列數(shù)等于B的行的行數(shù)是，才可以相乘：數(shù)是，才可以相乘：CABkjikijBAC 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-205043221987654321503214321987654321423630987654321321mjkmrksmikijCBADABCD ;對(duì)：4、矩陣矩陣“除法除法”：只能通過(guò)一個(gè)逆

8、過(guò)程來(lái)完成，：只能通過(guò)一個(gè)逆過(guò)程來(lái)完成，凡是矩陣凡是矩陣A具有非零行列式：具有非零行列式：det(A)0（稱非奇（稱非奇異矩陣），而且僅對(duì)于這種矩陣，才能按照下列異矩陣），而且僅對(duì)于這種矩陣，才能按照下列等式定義其逆矩陣等式定義其逆矩陣A-1: AA-1=A-1A=E第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-21BABAAAaAij)()()();(;BAAB 一般：);()(BCACABABC但：)()()(DCBDCADCBAA、B不對(duì)易不對(duì)易第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-22 或或：如果兩個(gè)方陣如果兩個(gè)方陣A、B滿足滿足AB=E，則稱，則稱B矩矩陣是陣是A矩陣的逆矩陣

9、，計(jì)為矩陣的逆矩陣，計(jì)為B=A-1;ttAAABAB)()( ;)(11111 如果矩陣如果矩陣A的逆矩陣的逆矩陣A-1存在，則稱存在，則稱A是非奇異是非奇異矩陣矩陣（或滿秩矩陣）！否則成為（或滿秩矩陣）！否則成為奇異矩陣奇異矩陣！EAA 1第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-235、零矩陣和單位矩陣：、零矩陣和單位矩陣：全部元素為全部元素為0 0的矩陣為的矩陣為零矩陣零矩陣，計(jì)作：，計(jì)作：0對(duì)對(duì)n階方陣，對(duì)角元均為階方陣，對(duì)角元均為1、非對(duì)角元均為、非對(duì)角元均為0稱稱單位單位矩陣矩陣；計(jì)作：；計(jì)作：EAAEEAAA ;0tttABAB)(6、矩陣的轉(zhuǎn)置：、矩陣的轉(zhuǎn)置：將矩陣行與列互

10、換稱為矩陣的轉(zhuǎn)將矩陣行與列互換稱為矩陣的轉(zhuǎn)置，轉(zhuǎn)置矩陣有如下性質(zhì)：置，轉(zhuǎn)置矩陣有如下性質(zhì)：ttttABCABC)(第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-247、矩陣的行列式、矩陣的行列式：方陣的行列式是一個(gè)實(shí)數(shù)，方陣的行列式是一個(gè)實(shí)數(shù)，計(jì)為計(jì)為detA：是非奇異矩陣階矩陣對(duì)AAnnAkkAAABAABnt0det)( ;det)det(detdetdetdet)det( 其中：其中：Akj是是(n-1) (n-1)階矩陣，是劃去第階矩陣，是劃去第k行和行和第第j列所得的列所得的A的子陣。的子陣。kjkjjkAaAdet) 1()det(第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-25

11、8、正交矩陣、正交矩陣：如果一個(gè)方陣如果一個(gè)方陣A滿足：滿足：AtA=E；稱；稱A為為正交矩陣正交矩陣。顯然：。顯然： At=A-1；iiaAtr1det)det(detdetdetdetAEAAAAAAtt9、方陣的跡方陣的跡：定義為矩陣：定義為矩陣A主對(duì)角線上元素的和，主對(duì)角線上元素的和，計(jì)為計(jì)為trA；ABBAABBABAtr)(trtr)(trtrtr)(tr第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-2610、方陣的秩方陣的秩：第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-27 方陣方陣秩秩的化學(xué)意義的化學(xué)意義 聯(lián)用色譜法測(cè)量樣本，獲得一個(gè)聯(lián)用色譜法測(cè)量樣本，獲得一個(gè)數(shù)據(jù)矩陣：矩陣

12、中每行就是一個(gè)在數(shù)據(jù)矩陣：矩陣中每行就是一個(gè)在某保留時(shí)間點(diǎn)上的光譜（某保留時(shí)間點(diǎn)上的光譜（MS, NMR）；每一列就是一個(gè)在某一波）；每一列就是一個(gè)在某一波長(zhǎng)（或質(zhì)荷比等）上的色譜。如果長(zhǎng)（或質(zhì)荷比等）上的色譜。如果沒(méi)有量測(cè)噪聲，且每個(gè)不同化學(xué)物沒(méi)有量測(cè)噪聲，且每個(gè)不同化學(xué)物質(zhì)都具有不同的光譜或色譜，則質(zhì)都具有不同的光譜或色譜，則矩矩陣的秩就是體系的組分?jǐn)?shù)陣的秩就是體系的組分?jǐn)?shù)！ 如果化合物測(cè)量體系沒(méi)有化學(xué)反如果化合物測(cè)量體系沒(méi)有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生（即各物質(zhì)相互獨(dú)立），這應(yīng)發(fā)生（即各物質(zhì)相互獨(dú)立），這是與矩陣秩的意義相同！是與矩陣秩的意義相同！中藥肉桂的一部分二維數(shù)據(jù)中藥肉桂的一部分二維數(shù)據(jù)第2講

13、第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-28 Lambert-Beer Law的矩陣表達(dá)的矩陣表達(dá) 單組分在某單組分在某 下的下的Lambert-Beer定律定律: A bC p個(gè)混合物構(gòu)成的體系在個(gè)混合物構(gòu)成的體系在 j處的吸光度處的吸光度Aj第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-29piijipiijipjjjpjBCbCbCCCA112121.在分析化學(xué)中經(jīng)常遇到多組分含量確定的問(wèn)題在分析化學(xué)中經(jīng)常遇到多組分含量確定的問(wèn)題 在分光光度法中，各組分在同樣的顯色條件下于同一顯在分光光度法中，各組分在同樣的顯色條件下于同一顯色劑生成有色物，但是各組分特征吸收峰常出現(xiàn)干擾情況。色劑生成有色

14、物，但是各組分特征吸收峰常出現(xiàn)干擾情況。如果試驗(yàn)符合以下兩個(gè)條件：比爾定律：如果試驗(yàn)符合以下兩個(gè)條件：比爾定律：A=kbc；吸光度具吸光度具有加和性有加和性 Ai=Ai1+Ai2+ +Ain如：現(xiàn)有一樣品含有：現(xiàn)有一樣品含有Mo, Ti, V三種組分，顯色后在三種組分，顯色后在400、540、610nm處進(jìn)行了吸光度測(cè)定，并對(duì)以上三組分的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)溶處進(jìn)行了吸光度測(cè)定，并對(duì)以上三組分的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)溶液進(jìn)行了同樣顯色條件的測(cè)定，數(shù)據(jù)如下，求液進(jìn)行了同樣顯色條件的測(cè)定，數(shù)據(jù)如下，求Mo, Ti, V三種三種組分的含量組分的含量,第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-30 nmMoTiV樣品樣品1

15、4000.4160.1300.0000.24825400.0480.6080.1480.85736100.0020.4100.2000.718 p個(gè)混合物構(gòu)成的體系在個(gè)混合物構(gòu)成的體系在n個(gè)波長(zhǎng)處的吸光個(gè)波長(zhǎng)處的吸光度可用一行向量表示：度可用一行向量表示：第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-31pnppnnppiinipiiipiiinBBBBBBBBBCCCBCBCBCAAA.212222111211211121121 p個(gè)混合物構(gòu)成個(gè)混合物構(gòu)成的的m個(gè)樣本在波長(zhǎng)個(gè)樣本在波長(zhǎng)j處的吸光度可處的吸光度可用一列向量表示：用一列向量表示：第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 32pn

16、ppnnpmjjjmpmmppmjjjBBBBBBBBBCCCBBBCCCCCCCCCAAA.212222111211212121222211121121p個(gè)混合物構(gòu)成的個(gè)混合物構(gòu)成的m個(gè)樣本個(gè)樣本在在n個(gè)波長(zhǎng)處的吸光度個(gè)波長(zhǎng)處的吸光度可用一矩陣表示：可用一矩陣表示：piTiinppmnmkcBCA1第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-33mpmmppmpmmppmnmmnnBBBBBBBBBCCCCCCCCCAAAAAAAAA.212222111211212222111211212222111211 可見(jiàn)，矩陣的應(yīng)用之一就是可用簡(jiǎn)潔形式表示線可見(jiàn)，矩陣的應(yīng)用之一就是可用簡(jiǎn)潔形式表示

17、線性方程組，例如：性方程組，例如：333323213123232221211313212111xyAyAyAxyAyAyAxyAyAyA第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-34可寫(xiě)成：可寫(xiě)成：321321333231232221131211xxxyyyAAAAAAAAA或或;XAY 333231232221131211AAAAAAAAAA321321;xxxXyyyY上三角陣與下三角陣3323221312111aaaaaaC3332312221112aaaaaaC上三角矩陣上三角矩陣 下三角矩陣下三角矩陣332211aaaD111I對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣 恒等矩陣恒等矩陣第2講 第2章 化

18、學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-35逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)（1）若）若A可逆，則可逆，則A-1亦可逆，且（亦可逆，且（A-1)-1=A 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-36 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明證明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 為正整數(shù)定義時(shí)當(dāng)kAAEAAkk;,:,010證明證明 .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT

19、且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-37 .AA,A115 則有則有可逆可逆若若證證明明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0 A, AAA . AA 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-38(6) 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的.若設(shè)若設(shè) 和和 是是 的逆矩陣，的逆矩陣，BCA則有則有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC CCE 所以所以 的逆矩陣是唯一的，即的逆矩陣是唯一的，即A1ACB第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-39證明

20、證明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣為矩陣其中其中AA 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-40對(duì)任意對(duì)任意n 階矩陣階矩陣A ，稱，稱A* 為為A 的的伴隨矩陣伴隨矩陣，其中，其中，Aij 是是A 中元素中元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式。 nnnnAAAAA.1111* nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211, AAAAOO第2講 第

21、2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-41,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) AAAaAaAannnnnnnn2211EAAAAA 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢.1AA*A1 1 EAAAAAA *1*1第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-42逆矩陣的求解逆矩陣的求解第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-43 定義定義 對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個(gè)，如果有一個(gè) 階矩陣階矩陣 則說(shuō)矩陣則說(shuō)矩陣 是是可逆的可逆的，并把矩陣，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設(shè)設(shè):,21212121,1111 BA,

22、EBAAB !的逆矩陣是AB例例1 1 設(shè)設(shè),0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-441、利用待定系數(shù)法、利用待定系數(shù)法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-45例例2 2 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解02

23、343122321A.1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩陣的求法第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-462 2、逆矩陣充要條件法：、逆矩陣充要條件法： ,11 AAA, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462332313322212312111AAAAAAAAAA得故故 AAA11 22256346221.11125323231 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-47,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩陣

24、陣求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩陣陣BA例例3 3第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-48 a2i - a1i 2a3i- a1i0;4010430321A.可可逆逆所所以以A53112A4;3122A3;3321A131211第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-49A21=3; A22=0; A23=-1; A31=1; A32=4; A33=-3; . 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故 33231332221231211111*1AAAAAAAAAAAAA第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

25、 2-50,130231,3512,343122321 CBA例例4 4 設(shè)設(shè).CAXBX 使?jié)M足使?jié)M足求矩陣求矩陣解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-51,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-52 2513202011.41041012 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-53 ;510402321112011

26、1112 X .1125103241230111111230111113X ;4123X41511解矩陣?yán)? 5 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X給方程兩端左乘矩陣給方程兩端左乘矩陣,41511 412341511XE第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-54 5104023211120111112 X1112011111510402321 X給方程兩端右乘矩陣給方程兩端右乘矩陣,1120111111 得得第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-55.9144682592 112510324123011111

27、1230111113X給方程兩端左、右乘相應(yīng)逆矩陣給方程兩端左、右乘相應(yīng)逆矩陣第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-56 251121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111X得得,1230111111 , 0! 5 A因因由由伴伴隨隨矩矩陣陣法法得得解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例6 6,1AA*A1 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-57432100000532100000542100000543100

28、00054325!1.51000004100000310000021000001 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-58四、小結(jié)3、初等變換法、初等變換法矩陣的初等變換矩陣的初等變換（1）互換矩陣的兩行，常用互換矩陣的兩行，常用rirj表示第表示第i行與第行與第j行行互換?；Q。（2）用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行，常用用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行，常用k ri 表示表示用數(shù)用數(shù)k乘矩陣的某乘矩陣的某i 行。行。（3）將矩陣的某一行乘以數(shù)將矩陣的某一行乘以數(shù)k后，加到另一行，常用后，加到另一行，常用rjk ri 表示第表示第i行的行的k倍加到第倍加到第j行。行。 這樣的過(guò)程稱為這樣的過(guò)程

29、稱為矩陣的初等矩陣的初等行行變換！變換！ （4）將定義中的將定義中的“行行r” 換成換成“列列c”，即得到矩陣的，即得到矩陣的列列變換。變換。 矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等矩陣的初等變換法！變換法！ 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-59互換； 表示用數(shù)k乘以第i行； 在給定的在給定的n階方陣的右邊放一個(gè)階方陣的右邊放一個(gè)n階單位矩陣階單位矩陣E形成形成初等行變換求逆矩陣初等行變換求逆矩陣一個(gè)一個(gè)n2n的矩陣的矩陣 )(EA，然后對(duì)矩陣，然后對(duì)矩陣 )(EA實(shí)施初等行變換，直到將原矩陣實(shí)施初等行變換，直到將原矩陣A所在部分變成單位所

30、在部分變成單位矩陣矩陣E，原單位矩陣部分經(jīng)同樣的初等變換后，所得，原單位矩陣部分經(jīng)同樣的初等變換后，所得1A到的矩陣就是到的矩陣就是A的逆矩陣的逆矩陣，即，即 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-60)()(1AIIA初等行變換初等行變換例例7 我國(guó)某地方為避開(kāi)高峰期用電，實(shí)行分時(shí)段計(jì)費(fèi)，我國(guó)某地方為避開(kāi)高峰期用電，實(shí)行分時(shí)段計(jì)費(fèi)，鼓勵(lì)夜間用電。某地白天鼓勵(lì)夜間用電。某地白天(AM8:00PM11:00)與夜間與夜間(PM11:00AM8:00)的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為P，若某宿舍兩戶人，若某宿舍兩戶人某月的用電情況如下：某月的用電情況如下：白天 夜間 174132150120一二

31、第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-61所交電費(fèi)所交電費(fèi)F=(90.29 101.41)，問(wèn)如何用矩陣的運(yùn)算表，問(wèn)如何用矩陣的運(yùn)算表示當(dāng)?shù)氐碾娰M(fèi)示當(dāng)?shù)氐碾娰M(fèi)？ 可以得到當(dāng)?shù)氐碾娰M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為可以得到當(dāng)?shù)氐碾娰M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 FAP1下面用初等變換求下面用初等變換求 1A解 令 174132150120A，因?yàn)?FAP等式兩邊同時(shí)左乘以矩陣等式兩邊同時(shí)左乘以矩陣 1A第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-62120 15010132 1740 1114501303013217401r21145030331109110rr 21450130111901909r12585409095111019

32、09rr 158510136036111401909r 29518036111909 即即 1A第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-63所以所以 1PA F29518036111909 90.29101.41 0.4620 0.2323即白天的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為即白天的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.462元元/度，度，夜間電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為夜間電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.2323元元/度度. 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-64例例8、轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 機(jī)器人手臂機(jī)器人手臂的轉(zhuǎn)動(dòng)常用矩陣表示，其中的的轉(zhuǎn)動(dòng)常用矩陣表示，其中的元素為轉(zhuǎn)動(dòng)角的三角函數(shù)值，元素為轉(zhuǎn)動(dòng)角的三角函數(shù)值，求下面轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣求下面轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R的逆陣。的

33、逆陣。 8 . 00 . 06 . 00 . 00 . 10 . 06 . 00 . 08 . 0R第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-651008 . 00 . 06 . 00100 . 00 . 10 . 00016 . 00 . 08 . 013554 035 0 00 1 00 1 03 0 40 0 5rr 【解【解】因?yàn)橐驗(yàn)? 31 075 050 1 00 1 03 0 40 0 5r r 31251 075050 10010340 01055r 所以所以54053010530541A3131 075050 100100 0 2515 0 20rr 1374310005

34、501001034001055rr 第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-66 矩陣的本征值方程矩陣的本征值方程 設(shè)設(shè) A 是是n階方陣，如果存在數(shù)階方陣，如果存在數(shù) 和非零和非零n維列向量維列向量X，使得，使得 AX= X 成立，則稱成立，則稱 是是A的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值(characteristic value)或或本本征值征值(eigenvalue)。 非零非零n維列向量維列向量X稱為稱為矩陣矩陣A的屬于（對(duì)的屬于（對(duì)應(yīng)于）特征值應(yīng)于）特征值 的特征向量或的特征向量或本征向量本征向量，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱稱A的特征向量或的特征向量或A的本征向量。的本征向量。第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相

35、關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-67求矩陣特征值的方法求矩陣特征值的方法 AX= X，等價(jià)于求，等價(jià)于求 ，使得，使得(A- E)X=0，其中其中E是單位矩陣，是單位矩陣，0為零矩陣。為零矩陣。 | E-A|=0，求得的，求得的 值即為值即為A的特征值。的特征值。 | A- E| 是一個(gè)是一個(gè)n次多項(xiàng)式，它的全部根就次多項(xiàng)式，它的全部根就是是n階方陣階方陣A的全部特征值，這些根有可能相的全部特征值，這些根有可能相重復(fù)，也有可能是復(fù)數(shù)重復(fù)，也有可能是復(fù)數(shù)(A- iE)xi=0i=1,2,n第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-68 如果如果n階矩陣階矩陣A的全部特征值為的全部特征值為 1 2 . n，則

36、，則 |A|= 1 2 . n 對(duì)矩陣對(duì)矩陣A的本征方程的本征方程: (A- iE)Xi=0 有如下定理有如下定理定理定理1：如果：如果A是是厄米矩陣厄米矩陣(A=A*)， 一定是實(shí)數(shù)！一定是實(shí)數(shù)！定理定理2：不同本征值對(duì)應(yīng)于不同的本征向量，而不同：不同本征值對(duì)應(yīng)于不同的本征向量，而不同本征值對(duì)應(yīng)的本征向量本征值對(duì)應(yīng)的本征向量正交歸一正交歸一！例例9、求解下列方程的求解下列方程的本征值本征值及其及其歸一化本征向量歸一化本征向量。（1） （2）第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-6911112 28 81 11 10 00 00 0CosCosSinSin0 0SinSinCosCos

37、 【解【解】第一步第一步：依據(jù)本征方程依據(jù)本征方程(A- E)X=0，求解出求解出 。第二步第二步：將：將 依次代入依次代入本征方程本征方程(A- E)X=0，求解本征求解本征向量向量；第三步第三步：使各本征向量歸一化?。菏垢鞅菊飨蛄繗w一化！對(duì)對(duì)11112 28 81 1第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-70第一步：欲使第一步：欲使(A- E)X=0，則，則det(A- E)=00 011112 28 81 11 10 00 01 111112 28 81 1) )det(det( EA從而有：從而有： 2-12 +270; 解得：解得： 1=3; 2=9; 第二步：第二步：將將

38、1=3代入方程代入方程00212111iixx1 1i i1 1i i11112 28 81 1第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-71得到：得到：0082111xx2 28 82 21(歸一化條件)1(歸一化條件)0 08 82 20 08 82 22 221212 211112121111121211111xxxxxx;17/1;17/421211111xx1 1( (歸歸一一化化條條件件) )0 08 82 20 0- -2 22 22 22 21 12 22 22 21 12 22 22 21 12 2xxxxxx88解得：解得：將將 2=9代入代入：002222121iixx2 28 88 8;/;/212122221212xx解得：解得：于是有：于是有：2 21/1/17171/1/2 21/1/17174/4/2222212112121111xxxxX對(duì)方程：對(duì)方程：第2講 第2章 化學(xué)計(jì)量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí) 2-72第一步：欲使第一步：欲使