2021年九年級(jí)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)訓(xùn)練——幾何專題：《四邊形綜合》(四)及答案

1、備戰(zhàn)2021年九年級(jí)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)訓(xùn)練幾何專題：四邊形綜合（四）1已知四邊形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB4，BC3（1）如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD、PC為邊作PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC能否互相垂直，為什么？（2）如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD、PC為邊作PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？（3）如圖1，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由（4）如圖2，若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DEnPD（n為常數(shù)），再以PE、PC為邊作PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線

2、PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，直接寫出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由2如圖1，菱形ABCD中，ABC120°，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PAPE，PE交CD于F，連接CE（1）證明：ADPCDP；（2）判斷CEP的形狀，并說明理由；（3）如圖2，把菱形ABCD改為正方形ABCD，其他條件不變，直接寫出線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系3四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)連結(jié)DE、CF（1）若四邊形ABCD是矩形，AD12，CD10，如圖（1）請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng)度；當(dāng)DECF時(shí)，試求出CF長(zhǎng)度（2）如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形，

3、DE與CF相交于點(diǎn)P探究：當(dāng)B與EPC滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論4如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為2和，對(duì)角線BD、FH都在直線L上，O1、O2分別是正方形的中心，線段O1O2的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距當(dāng)中心O2在直線L上平移時(shí)，正方形EFGH也隨平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有改變（1）計(jì)算：O1D ，O2F （2）當(dāng)中心O2在直線L上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距O1O2 （3）隨著中心O2在直線L上的平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化？并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍（不必寫出計(jì)算過程）5如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的

4、一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)G，連接DF，DG（1）依題意補(bǔ)全圖形，并證明FDGCDG；（2）過點(diǎn)E作EMDE于點(diǎn)E，交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接BM直接寫出圖中和DE相等的線段；用等式表示線段AE，BM的數(shù)量關(guān)系，并證明6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABOC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b滿足b+18；一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

5、間為t（秒）（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQO是矩形？并求出此時(shí)P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并判斷其是否可以成為菱形？7如圖2，將（1）中的條件改為：在ABC中，ABAC，D、A、E三點(diǎn)都在l上，并且有BDAAECBAC，其中為任意銳角或鈍角請(qǐng)問結(jié)論DEBD+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）如圖3，過ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I，求證：I是EG的中點(diǎn)8如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)作正方形D

6、EFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG（1）請(qǐng)寫出線段BG和AE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度（0°90°）時(shí)（圖），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若BCDE4，正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度（0360°）過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出AF的值9如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB8cm，BC6cm，點(diǎn)E是CD邊上的一點(diǎn)，且DE2cm，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿ABCE運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）請(qǐng)以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為

7、x軸，1cm為單位長(zhǎng)度，建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，并用t表示出點(diǎn)P在不同線段上的坐標(biāo)（2）在（1）相同條件得到的結(jié)論下，是否存在P點(diǎn)使APE的面積等于20cm2時(shí)，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由10同學(xué)們：八年級(jí)下冊(cè)第9章我們學(xué)習(xí)了一種新的圖形變換旋轉(zhuǎn)，圖形旋轉(zhuǎn)過程中蘊(yùn)含著眾多數(shù)學(xué)規(guī)律，以圖形旋轉(zhuǎn)為依托構(gòu)建的解題方法是解決各類幾何問題的常用方法【問題提出】如圖，在正方形ABCD中，MAN45°，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上求證：MNBM+DN證明思路如下：第一步：如圖，將ADN繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ABE，再證明E、B、M三點(diǎn)在一條直線上第二步：證明A

8、EMANM請(qǐng)你按照證明思路寫出完整的證明過程【初步思考】如圖，四邊形ABCD和CEFG為正方形，連接DG、BE，得到DCG和BCE下列關(guān)于這兩個(gè)三角形的結(jié)論：周長(zhǎng)相等； 面積相等； CBECDG其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 【深入研究】如圖，分別以ABCD的四條邊為邊向外作正方形，連接EF，GH，IJ，KL若ABCD的面積為8，則圖中陰影部分（四個(gè)三角形）的面積之和為 參考答案1解：（1）當(dāng)對(duì)角線PQ，DC互相垂直，則PCQD是菱形，故PDPC，當(dāng)PDPC時(shí)，此時(shí)APBC3，ADBP1，即當(dāng)APBC3，ADBP1時(shí)，對(duì)角線PQ，DC互相垂直；（2）過點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E，梯形ABCD，ADBC，A

9、BBC四邊形ABED是矩形，DEAB4，BEAD1，CEBCBE2，DC2，四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，設(shè)PBx，則AP4x，在RtDPC中，PD2+PC2DC2，即x2+32+（4x）2+1（2）2，化簡(jiǎn)得x24x+30，（4）24×1×340，解得：x11，x23，即對(duì)角線PQ與DC可能相等，此時(shí)AP1或3；（3）如圖2，作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，APQHQP，APD+DPQPQC+CQH，PDQC，DPQCQP，APDCQH，在ADP和HCQ中，ADPHCQ（AAS），ADCH1，BHBC+CH3+24，當(dāng)PQAB

10、時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4（4）如圖3，作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，ABQH，APD+DPQPQC+CQH以PE，PC 為邊作PCQE，PECQ，DPQPQC，APDCQH，RtADPRtQHC，即，DEnPD，AD1，HCn+1，BC3，BH3+n+1n+4由圖知，當(dāng)PQAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小值為n+4，2解：（1）在菱形ABCD中，ADCD，ADPCDP，在ABP和CBP中，ADPCDP（SAS），（2）由（1）得：ADPCDPPAPC，DAPDCP，PAPE，PCPE，DAPE，DCPE，CFPEFD，CPFCDFABCADC120°，CPFEDF180°ADC60&

11、#176;，CPE是等邊三角形，（3）CE，證明如下：如前同理可證：PCPE，EPCCDE，在正方形ABCD中，ADC90°，EPCCDE90°，CPE是等腰直角三角形三角形，CE3解：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，AADC90°AD12，CD10，BC12，AB10點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AEAB5DECF，DPCDPF90°，DFC+DCF90°，DFC+FDP90°，DCFFDPAADC，CFDDEA，在RtAED中，由勾股定理，得ED13，CF答：CF的長(zhǎng)度為；（2）當(dāng)B+EPC180°時(shí)，成立證明：四邊

12、形ABCD是平行四邊形，BADC，ADBC，B+A180°，B+EPC180°，AEPCFPD，F(xiàn)DPEDA，DFPDEA，BADC，B+EPC180°，EPC+DPC180°，CPDCDF，PCDDCF，CPDCDF，即當(dāng)B+EPC180°時(shí)，成立4解：（1）O1D2×÷22；O2F×÷21故答案為：2，1；（2）點(diǎn)D、F重合時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，O1O22+13故答案為：3；（3）兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，1O1O23；無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，O1O21；1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，O1O23；無公共點(diǎn)時(shí)，O1O23或0O

13、1O215解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如圖1，證明：四邊形ABCD是正方形，DADC，AC90°，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，ADEFDE，DADFDC，DFEA90°，DFG90°，在RtDFG和RtDCG中，RtDFGRtDCG（HL），F(xiàn)DGCDG；（2）DEEMADEFDE，F(xiàn)DGCDG，EDGADC45°，EMDE，MED90°，EMDEDM45°，DEEM；BMAE證明如下：如圖2，過點(diǎn)M作MNAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接BM，AED+NEM90°，AED+ADE90°，NEMADE，又EADMNE90

14、°，DEEM，DAEENM（AAS），AEMN，ADEN，ADAB，ABENAE+BEBE+BN，AEBNMN，BNM是等腰直角三角形，BMMNAE6解：（1）由題意得，a21，b18，B點(diǎn)坐標(biāo)為（21，12），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（18，0）；（2）由題意得：AP2t，QO18t，AOC90°，當(dāng)APQO時(shí)，四邊形APQO是矩形，2t18t，解得：t6，當(dāng)t6時(shí)，四邊形APQO是矩形，此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，12），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0）；（3）由題意得：212tt，解得：t7，當(dāng)t7時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形，過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E，則BE12，CE3，BCCQ，平行四

15、邊形PQCB不是菱形7（1）證明：BD直線l，CE直線l，BDACEA90°，BAC90°，BAD+CAE90°，BAD+ABD90°，CAEABD；在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AEBD，ADCE，DEAE+ADBD+CE；（2）解：成立：DEBD+CE證明如下：BDABAC，DBA+BADBAD+CAE180°，DBACAE，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AEBD，ADCE，DEAE+ADBD+CE；（3）解：如圖，過E作EMHI于M，GNHI的延長(zhǎng)線于N，EMIGNI90°，由（1）和（2）的結(jié)論可知

16、EMAHGN，EMGN，在EMI和GNI中，EMIGNI（AAS），EIGI，I是EG的中點(diǎn)8解：（1）結(jié)論：BGAE，BGAE理由：如圖1，延長(zhǎng)EA交BG于KABC是等腰直角三角形，BAC90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BDCD，ADBADC90°四邊形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，ADEBDG（SAS），BGAE，BGDAED，GAKDAE，AKGADE90°，EABG（2）結(jié)論成立，BGAEBGAE理由：如圖2，連接AD，延長(zhǎng)EA交BG于K，交DG于O在RtBAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，ADBD，ADBC，ADG+GDB90°四邊

17、形EFGD為正方形，DEDG，且GDE90°，ADG+ADE90°，BDGADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GOKDOE，OKGODE90°，EABG（3）BGAE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時(shí)，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AF2，AF29解：（1）正確畫出直角坐標(biāo)系如下：當(dāng)0t4時(shí) P1（2t，0）當(dāng)4t7時(shí) P2（8，2t8）當(dāng)7t10時(shí)P3（222t，6）；（2）存在，如圖1，當(dāng)0t4時(shí)，SAPE×2t×620，解得

18、t（s）；P（，0）如圖2，當(dāng)4t7時(shí)，SAPE48SADESABPSPCE，2048×6×2×8×（2t8）×6×（142t）解得：t6（s）；P（8，4）如圖3，當(dāng)7t10時(shí)，SAPE×6×（202t）20，解得t（s）7，t（應(yīng)舍去），綜上所述：當(dāng)P（，0）或 P（8，4）時(shí)，APE的面積等于20cm210【問題提出】（1）證明：將ADN繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ABE，在正方形ABCD中，BADABMD90°，由旋轉(zhuǎn)可知ADNABE，DABE90°，DANBAE，ANAE，DNBE，ABE+ABM180°，E、B、M三點(diǎn)在一條直線上，MAN45°，DAN+BAM45°，DANBAE，BAE+BAMEAM45°，EAMMAN，ANAE，AMAM，AEMANM（SAS），MEMN，MEBE+BM，MNDN+BM，【初步思考】解：BEDG，DCG和BCE的周長(zhǎng)不一定相等，故不正確；正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，CBECDG不正確；如圖1，過點(diǎn)E作BC的平行線，過點(diǎn)B作CE的平行線，兩線交于點(diǎn)H，連接CH則四邊形BHEC為平