一維亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)抗反射特性研究

1、畢畢業(yè)業(yè)論論文文 院系名稱院系名稱 電子科學與應用物理學院電子科學與應用物理學院 2015 年年 06 月月 09 日日設(shè)計題目設(shè)計題目 一維亞波長介質(zhì)光柵結(jié)一維亞波長介質(zhì)光柵結(jié) 構(gòu)抗反射特性研究構(gòu)抗反射特性研究 學生姓名學生姓名 單心鈺單心鈺 學學 號號 20114842 專業(yè)班級專業(yè)班級 應用物理應用物理 11-1 班班 指導教師指導教師 胡繼剛胡繼剛 目 錄中文摘要.1英文摘要.2緒論.31.1 研究背景.31.2 研究意義.31.3 本文主要內(nèi)容.32 理論基礎(chǔ).52.1 薄膜的特性矩陣理論.52.2 零級光柵及等效介理論(EMT).82.2.1 零級光柵.82.2.2 等效介質(zhì)理論(

2、EMT) .93 一維亞波長結(jié)構(gòu)的光反射特性研究.143.1 一維矩形亞波長光柵結(jié)構(gòu).143.1.1 基于等效介質(zhì)理論(EMT)的計算 .153.1.2 基于有限元法(FEM)的分析.173.2 一維三角形亞波長光柵結(jié)構(gòu).213.2.1 基于等效介質(zhì)理論(EMT)的計算 .233.2.2 基于有限元法(FEM)的分析.243.2.3 斜入射時的反射特性分析.27結(jié)論.32致謝.33參考文獻.341一維亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)抗反射特性研究摘要:本文利用等效介質(zhì)理論及有限元算法研究了一維矩形和三角形亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)的反射特性，并分析了等效介質(zhì)理論的適用范圍和一維亞波長結(jié)構(gòu)的抗反射特性。通過分析發(fā)現(xiàn)，

3、TE 波正入射下，在光柵周期與波長比小于0.125 時，可以利用等效介質(zhì)理論計算出較為精確的反射率；對于 TM 波，等效介質(zhì)理論的計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果有較大差別。此外，研究發(fā)現(xiàn)，一維矩形光柵表現(xiàn)出了與單層光學薄膜相似的光學特性，利用這一特性設(shè)計并模擬得到了 1000nm 處的一維矩形零反射光柵。一維三角形光柵結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)寬帶的的抗反射效果，且發(fā)現(xiàn)反射率隨光柵深度增加而下降。對 TE 和TM 波，入射角小于 45條件下，一維三角形光柵均可在 350nm-850nm 的寬光譜區(qū)域內(nèi)獲得1% 的反射率。上述研究結(jié)果將為太陽能電池、光電探測器的功能結(jié)構(gòu)表面的設(shè)計與優(yōu)化提供重要的理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：等

4、效介質(zhì)理論 亞波長光柵結(jié)構(gòu) 有限元 抗反射2Abstract: In this paper, we have systemativally analyzed the reflection properties for one-dimension rectangular and triangle subwavelength dielectric grating structure by using effective medium theory (EMT) and finite element method (FEM), and found the condition of EMT being

5、applicable. Calculation results shows that for vertical illumination of TE wave, EMT can accurately give the reflectance of dielectric grating structure when grating period divided the wavelength less than 0.125. However, in case of TM wave, it exists great errors by EMT compared with FEM simulation

6、. In addition, we find a one-dimensional rectangular grating has a similar optical properties just like single optical film. Based on it, we designed and realized a zero-reflectance one-dimensional rectangular grating at wavelength of 1000nm. Calculation also demonstrates that when incident angle le

7、ss than 450, using one-dimensional triangular grating, reflectance less than 1% can be achieved for both TE and TM waves. The research results obtained will hold great potential in many applications such as solar cell, photodetector, etc.Keywords: Effective medium Theory (EMT); subwavelength dilectr

8、ic grating structure; finite element method (FEM); anti-reflectanceComment j1: 所有段落均設(shè)置成兩端對齊。3第一章 緒 論1.1 研究背景在光學技術(shù)的發(fā)展過程中，特別是在光電器件的研制中，如何提高光能的吸收效率同時最大程度地減小表面反射一直是一個重要的研究課題。傳統(tǒng)的方法是通過在光學元件表面鍍膜來達到減少反射的目的，主要分為單層鍍膜和多層鍍膜兩種，單層鍍膜可以在特定波長上達到極高的抗反射效果，多層鍍膜可以在一定寬波段得到較好的抗反射效果。而另一種方法則是構(gòu)造元件表面微結(jié)構(gòu)來達到抗反射效果。元件表面微結(jié)構(gòu)的抗反射特性最

9、早是 Bernhard 研究飛蛾角膜1時發(fā)現(xiàn)的，隨著這一現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，表面結(jié)構(gòu)的抗反射特性受到了廣泛的關(guān)注。對于表面光柵結(jié)構(gòu)，當它的特征尺寸小于波長時，也可以稱為亞波長結(jié)構(gòu)（Subwavelength structure, SWS），這種結(jié)構(gòu)擁有人工折射率、雙折射、共振效應等光學特性2。在長波區(qū)域，亞波長結(jié)構(gòu)可以通過改變其占空比來調(diào)整人工折射率，從而可以形成漸變折射率區(qū)域，達到降低反射率3-6的目的；當入射光波長接近光柵周期時，亞波長光柵結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生共振效應，由于這一特殊的光學特性，亞波長光柵可以應用在光學濾波器7上，達到過濾特定頻率光波的目的。這些特性也使得亞波長結(jié)構(gòu)成為了一個研究的熱點。1.2

10、 研究意義在降低元件表面反射率的應用上，與多層鍍膜相比，亞波長結(jié)構(gòu)有很大的優(yōu)勢，由于亞波長結(jié)構(gòu)和襯底是一體的，因此比多層鍍膜有更好的抗損傷能力，并且有更高的激光損傷閾值8。另一方面，由于亞波長結(jié)構(gòu)可以自由變化其占空比來調(diào)整折射率分布，從而獲得理想的光學性能，對于鍍膜而言這會是一個更加復雜的過程。從制作方法上講，由于納米技術(shù)的發(fā)展，納米壓印技術(shù)9得到了廣泛的應用，利用這種技術(shù)可以實現(xiàn)亞波長結(jié)構(gòu)低成本、大批量的生產(chǎn)，與鍍膜相比工藝簡單、成本更低。由于亞波長結(jié)構(gòu)在抗反射方面具有眾多優(yōu)秀性能，故其在提高光學傳感器、激光系統(tǒng)、太陽能電池、光電探測器等光學系統(tǒng)對光信號的吸收效率方面有重要的應4用。1.3

11、本文主要內(nèi)容本文通過等效介質(zhì)理論，計算了一維矩形亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)、一維三角形亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)的反射譜及其對結(jié)構(gòu)參數(shù)的依賴關(guān)系，并通過與有限元方法數(shù)值仿真方法所得結(jié)果進行比對，得到了一維光柵結(jié)構(gòu)等效介質(zhì)理論的適用范圍與條件。 該論文全文分為四章：第 1 章，介紹了研究背景及研究意義，簡述了亞波長結(jié)構(gòu)的優(yōu)點及其應用前；第 2 章，闡述了論文的電動力學理論基礎(chǔ)，介紹了薄膜的矩陣理論、零級光柵、等效介質(zhì)理論； 第三章，通過等效介質(zhì)理論和有限元法分析了一維矩形光柵結(jié)構(gòu)和一維三角形光柵結(jié)構(gòu)的反射特性，并分析了等效介質(zhì)理論的適用范圍； 第四章，對本文內(nèi)容及結(jié)論進行總結(jié)，展望了二維亞波長光柵結(jié)構(gòu)的應用前景

12、。5第二章 理論基礎(chǔ) 在研究亞波長結(jié)構(gòu)時，主要的分析方法有以下三種：標量衍射理論、矢量衍射理論和等效介質(zhì)理論。在光柵周期很小時，標量衍射理論不再適用；嚴格的矢量理論適用于光柵周期任意大小的情況，但計算過于復雜；等效介質(zhì)理論適用于光柵周期與波長比較小的情況，是一種較為簡便的近似計算方式。本章主要介紹等效介質(zhì)理論及薄膜的矩陣理論。2.1 薄膜的特性矩陣理論10 這一節(jié)主要介紹薄膜的矩陣理論，利用薄膜矩陣可將矩陣與薄膜區(qū)域 Maxwell方程的解聯(lián)系起來，易于研究電磁波在薄膜中的傳輸特性。假設(shè)平面波入射角為，入射區(qū)域折射率為，薄膜折射率為、厚度為，1 i0n1n1h薄膜下的襯底折射率為。一般而言，這

13、里給出 TE 波的轉(zhuǎn)移矩陣公式的推導過程，GnTM 波的情況同理可得。如圖 2.1 所示，設(shè)入射的電場和磁場分別為。通過兩個界面的反射，在11,iiHE入射區(qū)域內(nèi)，有總反射場。在薄膜區(qū)域，界面 1 處，透射場為，另11,rrHE11,ttHE外界面 1 處還有從界面 2 處傳播到界面 1 處的反射場。在界面 2 處，入射22,rrHE場為，由界面 1 處的透射場傳播得到，反射場為。在襯底區(qū)域內(nèi)，22,iiHE22,rrHE只有透射場。22,ttHE圖 2.1 單層薄膜邊界條件示意圖6根據(jù)電磁場邊界條件，可以得出界面 1 和界面 2 兩側(cè)的電場、磁場關(guān)系，在界面 1 處有下列關(guān)系式， (2.1)

14、21111rtriEEEEE， (2.2)222111111coscoscoscosiritiriiHHHHH由電場和磁場的關(guān)系可以將式（2.2）表示為下式, (2.3)2121001011001cos)(cos)(irtirinEEnEEH對于界面 2 處，根據(jù)邊界條件，有以下關(guān)系式, (2.4)2222triEEEE, (2,5)222222coscos)(ttiriHHHH同理，有下式, (2.6)22002122002coscos)(tGtirinEnEEH如不考慮光學薄膜對光的吸收，薄膜區(qū)域內(nèi)有以下的關(guān)系式, (2.7)112212,irritieEEeEE,（位相變化） (2.8)

15、2111cos2ihn將式（2.7）帶入式（2.4）和式（2.5），可以的到如下兩個關(guān)系式， (2.9)11212iriteEeEE, (2.10)2121002cos)(11iiritneEeEH解上述兩式（2.9）和（2.10），可以得到和關(guān)于和的關(guān)系式，具體如1tE2rE2E2H下, (2.11)(2)(21222122111HEeEHEeEirit21001cosin將式（2.11）帶入式（2.1）和式（2.2），可以得到下式7, (2.12)121121112121cossinsincosHiEHiHEE將式（2.12）寫成矩陣形式，可得到下式, ( 2.13)2211111111c

16、ossinsincosHEiiHE右邊第一個矩陣為薄膜的特性矩陣，記為。M 對于多層薄膜系統(tǒng)，薄膜的總的特性矩陣可以寫成各層薄膜特性矩陣相乘，, (2.14)NMMMMM321對于 TM 波而言，同理可以得到光學薄膜的特性矩陣，會發(fā)現(xiàn)只需要將 TE 波情況下的參數(shù)改為下式m, , (2.15)1(00cos1mimmnNm, 3 , 2 , 1得到了光學薄膜的特性矩陣，下面將利用特性矩陣來計算 N 層光學薄膜的反射率，設(shè)光學薄膜總的特性矩陣為, (2.16)DCBAM故有下式, (2.17)1111NNHEMHE對于襯底區(qū)域，有下述的電場與磁場的關(guān)系式, , (2.18)1(1NtGNEH)1

17、(00cosNiGGn在入射區(qū)域內(nèi)，有下述的電場與磁場的關(guān)系式, , (2.19)(1101riEEH10000cosin將式（2.18）和式（2.19）帶入式（2.17）可以的到下式8, (2.20)GNtNtririEEDCBAEEEE)1()1(01111)(解式（2.20）所示的矩陣，可以得到光學薄膜的反射系數(shù)，關(guān)系式如下, (2.21)GGGGirDCBADCBAEEr000011由式（2.21）可以得到光學薄膜對入射光能量的反射比：, (2.22)2rR 2.2 零級光柵及等效介理論(EMT)對于亞波長結(jié)構(gòu)的光柵，當周期足夠小時，只有零級衍射級次，這種光柵結(jié)構(gòu)與光學薄膜的性質(zhì)類似，

18、可以將這種亞波長結(jié)構(gòu)等效為特殊的光學薄膜處理。Rytov 用嚴格的電磁波理論得到了等效折射率的高階近似解析解，運用這種等效介質(zhì)理論，可以通過解析方法求解亞波長結(jié)構(gòu)的反射透射特性，計算更加方便快捷。2.2.1 零級光柵亞波長結(jié)構(gòu)只會產(chǎn)生零級衍射光。圖 2.2 為一維周期矩形光柵，周期為，占空比為，入射角為，光柵深度為，fH圖 2.2 一維矩形光柵對于透射區(qū)有如下的光柵方程9 ， (2.23)sinsin(21mnnm , 3, 2, 1m為衍射級數(shù)，為透射光的級衍射角，為入射介質(zhì)折射率，為透射介質(zhì)mm m1n2n折射率，為真空中的光波長。對于反射的區(qū)域內(nèi)有如下公式 ， (2.24)sin(sin

19、1ini, 3, 2, 1i為衍射級數(shù)，為反射區(qū)的 級衍射角。由式（2.1）和式（2.2 ）可以得到和iiim 的關(guān)系式i ， 212sinsinnnnmm （2.25） ， sinsin1nii（2.26）由式(2.25)和(2.26)可已看出，當兩式的右邊的絕對值大于 1 時只有零級衍射產(chǎn)生，即 ， 1sin212nnnm（2.27） ， 1sin1ni（2.28）這是零級光柵的條件公式，可以看出零級光柵的條件和入射光波長、入射角、兩介質(zhì)折射率有直接關(guān)系。而對于垂直入射而言，由于入射角為零，零級光柵的條件為 ， 1),max(/21nn（2.29）2.2.2 等效介質(zhì)理論(EMT)要得到亞

20、波長介質(zhì)光柵精確的反射率、透射率與吸收率，需要用嚴格的電磁波理論來求解。但對于亞波長結(jié)構(gòu)，有更加簡便的近似求解方法，由于零級光柵的性10質(zhì)，亞波長結(jié)構(gòu)可以等效成一個各向異性的介質(zhì)膜，這就是等效介質(zhì)理論。自 20世紀以來，人們對等效介質(zhì)理論進行了許多研究11-15，本節(jié)主要介紹 Rytov 的研究成果11。既然要將亞波長結(jié)構(gòu)等效為介質(zhì)膜結(jié)構(gòu)來求解的其反射、透射率，獲得亞波長結(jié)構(gòu)的等效折射率分布是求解的前提。一維矩形光柵（如圖 2.2 所示），TE 波正入射在光柵表面的情況，假定入射光波波長滿足零級光柵條件，此時只會發(fā)生零級衍射。在光柵區(qū)域內(nèi)，電場滿足亥姆霍茲方程， ， 022EkE（2.30）為

21、介電常數(shù)，為周期性分布，即 (2.31)2221)()(nnxx) 1(nxfnfnxn, 3 , 2 , 1 , 0n由于入射波為 TE 波，電場只有分量，并且且只與和有關(guān)，故將分離變EzxyE量， (2.32)()(),(yExEyxEzzz可得到一下兩個方程， (2.33)0)()()(2222xEkxkxEdxdzyz， (2.34)0)()(222yEkyEdydzyz（2.34）式的通解形式為：， (2.35)yikyikzyyreteyE)(現(xiàn)在考慮方向，由于此方向上折射率周期變化，可以將其當做周期介質(zhì)層處理16。x11圖 2.3 周期介質(zhì)層示意圖在第個區(qū)域內(nèi)的通解可寫為n)(x

22、Ez (2.36)()()()(2211)(nxiknnxiknnxiknnxiknzxxxxedecebeaxE) 1()1 ()1 (nxfnfnxn, (2.37)2211)(yxkcnk2222)(yxkcnk為真空中光速，為入射光的角頻率。c根據(jù)和()在和處的邊界條件可以得到下EHxExH/)( nx)1 (fnx列關(guān)系式， (2.38)nnniknikbadecexx1122， (2.39)(211122nnxxniknikbakkdecexx， (2.40)1()1()1()1(2211fiknfiknnfiknfikxxxxedecbeae， (2.41)()1()1(12)1

23、()1(2211fiknfiknxxnfiknfikxxxxedeckkbeae以上的四個關(guān)系式可以寫成矩陣形式， (2.42)nnxxxxnnikikikikbakkkkdceeeexxxx21211111222212,nnfikxxfikxxfikfiknnfikfikfikfikdcekkekkeebaeeeexxxxxxxx)1(12)1(12)1()1()1()1()1()1(22221111 (2.43)將式（2.42）和式（2.43）合并可以得到下式， (2.44)nnnndcDCBAdc11, (2.45)1 (sin)(21)1 (cos1122112fkkkkkifkeAx

24、xxxxxfikx, (2.46)1 (sin)(2112112)2(2fkkkkkieBxxxxxfikx, (2.47)1 (sin)(2111221)2(2fkkkkkieCxxxxxfikx, (2.48)1 (sin)(21)1 (cos1122112fkkkkkifkeDxxxxxxfikx由于方向上為周期性分布，因此周期介質(zhì)層與一維晶體等效，故可以表x)(xEz示為， (2.49)iKnzzexEnxE)()(, 3 , 2 , 1 , 0n為 Bloch 波數(shù)，由式（2.49）可以得到K， (2.50)nnnniKnndcDCBAdcedc11式（2.50）中，為矩陣的本征值，

25、和有不全為 0 的解的條件如iKe),;,(DCBAncnd下, (2.51)0iKiKeDCBeA通過解上述行列式，可以得到下式, (2.52)sin()1 (sin)(21)cos()1 (coscos21211221fkfkkkkkfkfkKxxxxxxxx對于 TM13 ，)sin()1 (sin)(21)cos()1 (coscos2122212112122221fkfkknknknknfkfkKxxxxxxxx(2.53) 對于一維周期光柵結(jié)構(gòu)為入射波波矢的方向分量。Kx通過式(2.37)和(2.52)可以得到和、光柵周期、占空比、介質(zhì)折射率、Kykf21,nn入射波長的關(guān)系式，由

26、于與無關(guān)，在把亞波長結(jié)構(gòu)等效為光學薄膜的過程中，ykx定義這種結(jié)構(gòu)的等效折射率為， (2.54)yyeffkckkn可以看出通過式（2.52）可以數(shù)值求解出，但并不能的得到的解析解，effneffnRytov 通過將式（2.52）進行泰勒展開，得到第一項，即零級近似等效折射率11,17， (2.55)2122),0()1 (nffnnTE保留到第二項可得到二級近似等效折射率11， (2.56)221222222),0(),2()()1 (3nnffnnTETE同理可以得到 TM 波下的等效折射率, (2.57)222121),0()1 (nffnnnnTM, (2.58)26),0(2),0(

27、21222222),0(),2()()11()1 (3TMTETMTMnnnnffnn通過解出亞波長光柵的等效折射率，結(jié)合薄膜特性矩陣理論，可以初步計算一維亞波長光柵結(jié)構(gòu)的光反射特性與透射特性。通過效折射率公式，可以發(fā)現(xiàn)，它的等效折射率與入射光的偏振方向有很大關(guān)系，舉個例子，取，11n4 . 32n5 . 0f以零級等效折射率為例，折射率相差 1.1492，可以506. 2),0(TEn3567. 1),0(TMn看出，一維光柵結(jié)構(gòu)有很強的類似雙折射的效應，因此入射光的偏振狀態(tài)對一維亞波長結(jié)構(gòu)的反射特性有較大影。對于二維周期陣列光柵結(jié)構(gòu)，入射光的偏振對這種亞波長結(jié)構(gòu)的反射與透射特性影響較小5，

28、但是對于二維亞波長結(jié)構(gòu)，即使在周期遠小于波長的情況下，也不能的到等效折射率近似解析解13，因此對于二維亞波長結(jié)構(gòu)，等效介質(zhì)理論并不14能很好的研究其光學特性，對于二維光柵結(jié)構(gòu)，更多采用嚴格的耦合波理論進行研究，算法上這里不做討論。 15第三章 一維亞波長結(jié)構(gòu)的光反射特性研究由于界面的存在，會在折射率存在差異的兩種介質(zhì)分界面上發(fā)生菲涅爾反射，極大降低了光能的利用率。以硅（）與空氣界面為例，由菲涅爾公式可以3.4Sin計算得垂直入射條件下硅表面對入射光能量的反射率為 0.2975，即有接近 30%的R反射損耗。因此，設(shè)計適當?shù)谋砻娼Y(jié)構(gòu)降低介質(zhì)表面的反射率顯得非常重要，且具有眾多應用。由等效介質(zhì)理論

29、，亞波長結(jié)構(gòu)能實現(xiàn)界面兩側(cè)折射率的漸變，從而有效降低反射損耗。在本章中，將分別利用等效介質(zhì)理論和基于嚴格求解麥克斯韋方程的有限元法分析一維矩形硅光柵結(jié)構(gòu)和一維三角形硅光柵結(jié)構(gòu)的反射特性，對比其計算結(jié)果的差異，得出二階等效折射率的適用范圍。本章中，亞波長結(jié)構(gòu)光柵區(qū)域和襯底的材料選取硅材料，折射率，入3.4Sin射區(qū)域為空氣，折射率，固定硅光柵周期為 100nm。在垂直入射情況下，1an由零級光柵條件可以得到，能應用等效介質(zhì)理論的條件為：入射波長大于340nm。因此，在利用等效介質(zhì)理論研究時，波長的范圍取 350nm1250nm，有限元法研究時的波長范圍為 300nm1200nm。3.1 一維矩形

30、亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)圖 3.1 為一維矩形光柵結(jié)構(gòu)模型，光柵周期為，占空比為，光柵深度為。fH在第一小節(jié)中，將利用二階等效折射率計算一維矩形光柵的反射率，分析在等效介質(zhì)理論下，一維矩形光柵的反射特性；將與第二節(jié)中利用有限元法計算一維矩形光柵的反射率并將兩者進行比較。圖 3.1 一維矩形光柵結(jié)構(gòu)163.1.1 基于等效介質(zhì)理論(EMT)的反射特性計算對于一維矩形光柵，可以通過等效折射率公式（2.56）和式（2.58）計算不同占空比、不同波長下的等效折射率。并利用薄膜的傳輸矩陣理論，將一維矩形光柵結(jié)構(gòu)等效為單層膜（折射率隨波長、占空比變化）研究。這里主要研究垂直入射時，占空比、光柵深度對一維矩形亞波

31、長光柵結(jié)構(gòu)的反射特性的影響。 首先研究 TE 波正入射時的情況。對于 TE 波，應用式（2.56）作為等效折射率公式，研究在不同光柵深度、不同占空比下一維矩形光柵結(jié)構(gòu)的反射特性，通過數(shù)值計算可以得到不同光柵深度、不同占空比的一維矩形光柵在波長在350nm1250nm 的光波正入射下的反射比，如圖 3.2 所示。圖 3.2 (a) TE 波正入射，光柵深度，光柵周期，占空比為nmH200nm100f0.3,0.5,0.7,0.9 時，一維矩形光柵基于等效介質(zhì)理論計算的反射率隨波長的變化。(b) TE 波正入射，光柵周期，占空比，光柵深度分別為 100nm,150nm,200nm,250nmnm1

32、005 . 0fH時，一維矩形光柵基于等效介質(zhì)理論計算的反射率隨波長的變化。由于可以將一維矩形光柵結(jié)構(gòu)等效為單層薄膜進行處理，根據(jù)等效介質(zhì)理論得出的一維矩形光柵的反射特性與單層薄膜的反射特性相似。根據(jù)單層薄膜的反射特性，當薄膜厚度滿足下式 (2.61), 3 , 2 , 1 , 0,4) 12(mnmHeff17時，薄膜具有最小的反射率，即對于固定的光柵深度,波長滿足 (2.62), 3 , 2 , 1 , 0,) 12(4mmHneff時，有最小的反射率，這與圖 3.2 所示的一致。另外，根據(jù)薄膜的反射特性，對于特定入射光波長，當滿足0， (2.63)saeffnnneffnH40時，理論上

33、可以在波長上得到零反射，因此可以根據(jù)式（2.57）和式（2.63），0可以求出，TE 波正入射情況下，在波長處產(chǎn)生零反射的一維矩形光柵的光柵參0數(shù)。作為應用，下面將通過等效介質(zhì)理論設(shè)計波長為 1000nm 處的零反射一維矩形光柵。由式（2.57）和式（2.63）可以解出占空比的值，解為 0.21722，再解出光f柵深度為 135.5822nm，通過數(shù)值計算得出圖 3.3 所示的入射波長與反射率圖，H可一發(fā)現(xiàn)波長為 1000nm 處的反射率趨近 0，與理論預期完全吻合。圖 3.3 TE 波正入射，光柵周期為 100nm 時，1000nm 光波處零反射的矩形光柵反射率圖。因此，利用等效介質(zhì)理論和薄

34、膜理論，通過設(shè)計一維矩形光柵的參數(shù)，可以實現(xiàn)對特定光波長的零反射。18對于 TM 波而言也有相似的反射特性，此時入射波長與反射率關(guān)系如圖 3.4 所示。通過等效介質(zhì)理論的模擬，在二階等效折射率適用的情況下，由計算的結(jié)果可以看出，一維矩形光柵結(jié)構(gòu)和單層薄膜具有相似的性質(zhì)。計算結(jié)果表明，和單層光學薄膜一樣，利用矩形介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)特定波長的零反射率，反射率隨波長波動較大，存在震蕩，無法實現(xiàn)寬光譜的抗反射。圖 3.4 (a) TM 波正入射，光柵深度，光柵周期，占空比為nmH200nm100f0.3,0.5,0.7,0.9 時，一維矩形光柵基于等效介質(zhì)理論計算的反射率隨波長的變化。(b) TM

35、波正入射，光柵周期，占空比，光柵深度為分別為nm1005 . 0fH100nm,150nm,200nm,250nm 時，一維矩形光柵基于等效介質(zhì)理論計算的反射率隨波長的變化。3.1.2 基于有限元法(FEM)的分析有限元（FEM）方法是一種通過求解偏微分方程邊值問題的全矢量數(shù)值電磁計算方法。在求解過程中，將所求區(qū)域離散為若干微小區(qū)域，根據(jù)計算域所要滿足的條件，建立多維的線型方程組，最后通過求解線型方程得到整個計算區(qū)域內(nèi)的電磁場。有限元可以得到較高精確度的解，而且適用于分析復雜形狀物體的電磁行為，這使得有限元法成為一種應用廣泛的電磁數(shù)值分析方法。本小節(jié)，將利用有限元法精確分析一維矩形亞波長光柵結(jié)

36、構(gòu)的反射特性，并和等效介質(zhì)理論的計算結(jié)果進行比較，分析光垂直入射時等效介質(zhì)理論的適用范圍。這里，有限元計算使用的結(jié)構(gòu)參數(shù)與等效介質(zhì)理論分析一致。19通過數(shù)值計算和對比可以得到圖 3.5 所示的反射率圖圖 3.5 一維矩形光柵反射率隨波長變化圖。(a) TE 波正入射情況下，光柵深度，nmH200光柵周期，占空比為 0.3,0.5,0.7,0.9 時，一維矩形光柵基于有限元法計算的反射nm100f率隨波長的變化；(b) TM 波正入射情況下，光柵深度，光柵周期，占nmH200nm100空比0.3,0.5,0.7,0.9 時，一維矩形光柵基于有限元法計算的反射率隨波長的變化； (c) TE 波f正

37、入射，光柵周期，占空比，光柵深度分別為nm1005 . 0fH100nm,150nm,200nm,250nm 時，一維矩形光柵基于有限元法計算的反射率隨波長的變化； (d) TM 波正入射情況下，光柵周期，占空比，光柵深度為分別為nm1005 . 0fH100nm,150nm,200nm,250nm 時，一維矩形光柵基于有限元法計算的反射率隨波長的變化。20從 FEM 所計算的結(jié)果可以看出，一維矩形光柵的反射率與 EMT 計算的結(jié)果都表現(xiàn)出隨波長的震蕩，因此一維矩形亞波長光柵在長波區(qū)域內(nèi)有和單層光學薄膜有相似的性質(zhì)。 為了對比 EMT 和 FEM 所計算的反射比的區(qū)別，定義在波長為處誤差函數(shù)，

38、 (3.1)()()()(FEMEMTFEMRRRE并定義誤差小于 1%時，兩反射率值近似相等，可應用等效介質(zhì)理論直接計算反射比，誤差小于 10%時，可以用等效介質(zhì)理論定性分析。通過公式（3.1），可以得到波長在 300nm1200nm 范圍內(nèi)的誤差函數(shù)，這里選擇光柵周期，占空nm100比為 0.5，光柵深度分別為 100nm,150nm,200nm,250nm 的一維矩形光柵結(jié)構(gòu)，fH計算其誤差函數(shù)，對于 TE 波，可以得到如圖（3.6）所示的誤差函數(shù)圖。由于300nm 340nm 內(nèi)，存在次級衍射波，故等效介質(zhì)理論不再適用，存在較大的誤差； 圖 3.6 TE 波正入射下的誤差函數(shù)圖波長大于

39、 340nm 時，誤差函數(shù)隨著波長的增加而逐漸下降，這是由于 EMT 中等效折射率為對的泰勒展開的二階近似，當較大時，二級近似等效折射率與/準確的等效折射率有較大差距，使得計算出的反射率與實際值有較大差距，而隨著的減小，這種誤差逐漸降低。計算表明，TE 波正入射時，波長在/Comment j2: 長波長區(qū)域定義太模糊。似乎好像從 EMT 的二階展開的折射率與 FEM 反推得到的等效折射率的差別可以清晰看出 EMT 的使用范圍。21622nm1200nm 內(nèi)，誤差函數(shù)值小于 0.01，此時 EMT 完全適用。對于本節(jié)所使用的計算參數(shù)，當波長與光柵周期比， (3.2)1608. 0時，利用二階等效

40、折射率計算出的反射率曲線和有限元計算的實際近似反射率近似相等。故對于 TE 波正入射情況，在光柵周期為 100nm 時，在波長為622nm1200nm 內(nèi)，利用二階等效折射率理論可以精確地計算一維矩形光柵的反射率。下面驗證 3.1.1 節(jié)中利用等效介質(zhì)理論設(shè)計的一維矩形光柵在 1000nm 處零反射的理論假設(shè)。將占空比設(shè)為 0.217，光柵深度設(shè)為 135.6nm，我們利用有限元方法計算了 900nm1100nm 內(nèi)的反射率，如圖 3.7 所示圖 3.7 有限元計算的 1000nm 光波處零反射的一維矩形光柵反射率圖由計算數(shù)據(jù)得出 1000nm 處的反射率趨近與 0，說明對于 TE 波正入射的

41、情況，可以利用等效介質(zhì)理論在長波區(qū)域內(nèi)設(shè)計零反射一維矩形光柵。對于 TM 波而言，也可以得到相應的誤差函數(shù)，如圖 3.8 所示，由誤差函數(shù)值可以發(fā)現(xiàn)，與 TE 波相比，對于 TM 波情況，等效介質(zhì)理論有較大的誤差，對于光柵深度為 100nm 時的情況，300nm1200nm 全波長段誤差都大于 100%，對于光柵深度大于 150nm 的情況而言，只有波長大于 978nm 時，誤差函數(shù)才小于 10%。另外，可以看出，隨著光柵深度的增加，誤差函數(shù)在長波區(qū)域趨于減小，隨著波長的Comment A3: 算了下較低折射率下的反射系數(shù)，TM 波模擬的結(jié)果和等效介質(zhì)理論的結(jié)果吻合得較好。對于600nm 的入

42、射光，折射小于 2.88 時，誤差小于 5%。Comment j4: 光柵厚度很小時（小于 10nm），EMT 的近似公式是否適用本身還是問題。答：TE 波的情況可行。對于 TM 波，折射率較?。?.5左右）時，光柵厚度 200nm 時，矩形光柵情況下等效介質(zhì)理論適用，但在三角形光柵下，誤差也比較大，說明厚度較小時，TM 波情況下不適用。22增加，誤差函數(shù)逐漸趨于 0。對于 TM 波的情況，對于本節(jié)所計算的內(nèi)容而言，等效介質(zhì)理論只可以在光柵深度大于 150nm，波長滿足， （3.3）0.1022的光譜范圍內(nèi)對反射比做定性的分析，而對該光譜范圍之外的情況，要用更加嚴格的電磁波理論進行分析。圖 3

43、.8 TM 波正入射下的誤差函數(shù)圖。（a）波長在 300nm1200nm 內(nèi)，光柵深度為分別為H100nm,150nm,200nm,250nm 時的誤差函數(shù)（b）波長在 400nm1200nm 內(nèi)，光柵深度為分別H為 150nm,200nm,250nm 時的誤差函數(shù)。3.2 一維三角形亞波長介質(zhì)光柵結(jié)構(gòu)根據(jù)等效介質(zhì)理論，等效折射率與一維光柵結(jié)構(gòu)的占空比有關(guān)，對于一維三形光柵結(jié)構(gòu)，可以分為 層占空比依次變化的一維矩形光柵（如圖 3.9），因此一維三l角形光柵結(jié)構(gòu)可以等效為 層等效光學薄膜的疊加，等效的光學薄膜折射率由變lan化到，與梯度折射率薄膜層類似，理論上可以實現(xiàn)寬光譜的超吸收。sin23圖

44、 3.9 (a)一維三角形光柵 (b)三角形光柵區(qū)域分為 層不同占空比的一維矩形光柵l這里利用等效介質(zhì)理論，計算 TE 波垂直入射的情況，取，nmH200，占空比與深度的關(guān)系為，通過等效折射率公式（2.57），計nm100Hyf/算此時波長在 350nm1250nm 區(qū)域內(nèi)的光能量反射比，計算過程中將光柵區(qū)域分為100 層求解，分別求出每層的等效折射率，再通過多層薄膜的矩陣理論將每層的薄膜特性矩陣相乘，最后由總的特性矩陣求出反射率，將其反射比與相同光柵深度、相同光柵周期、占空比的一維矩形光柵結(jié)構(gòu)的反射比的比較，如圖 3.10 所3 . 0f示圖 3.10 TE 波垂直入射情況下，一維三角形光柵

45、結(jié)構(gòu)與一維矩形光柵結(jié)構(gòu)的反射比的比較。24可以看出與一維矩形光柵相比，一維三角形光柵的反射率的變化更加平緩，在較寬光譜的抗反射效果都好于一維矩形光柵結(jié)構(gòu)。下面將分別利用等效介質(zhì)理論和有限元法研究一維三角形光柵的光柵深度對反射率的影響，并進行對比。3.2.1 基于等效介質(zhì)理論(EMT)的計算這選用 TE 波，考慮正入射情況，選定光柵周期，光柵深度分別nm100H選為 100nm,200nm,300nm,400nm，計算各光柵深度下，波長在 350nm1250nm 范圍內(nèi)的光能量的反射比，可得到如圖 3.11 所示的反射率曲線圖 3.11 TE 波正入射情況下，光柵周期，光柵深度為nm100H10

46、0nm,200nm,300nm,400nm 時，一維三角形光柵基于等效介質(zhì)理論計算的反射率隨波長的變化。由圖 3.11 可以看出各波長處的反射率隨光柵深度的上升而下降，對于這種現(xiàn)象，可以理解為，光柵深度越大，等效折射率隨高度的變化更加緩慢，類比于多層膜系統(tǒng)，相當于有更多梯度折射率薄膜疊加，因此可以得到更好降低反射率。特別是當光柵深度為 400nm 的時，可以得到在波長為 350nm801nm 區(qū)域內(nèi)的反射比都低H于 5%，可以看出當光柵深度高于 400nm 后，一維三角形光柵可以在較寬的波帶上達到了較低的反射率。由于對于一維光柵結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的等效折射率受入射光的偏振影響較大，對于 TM 波正

47、入射的情況，設(shè)光柵參數(shù)與 TE 波正入射時相同，選定光柵周期長度25為 100nm，光柵深度分別選為 100nm,200nm,300nm,400nm，計算各光柵深度下H光能量的反射比，可以得到如圖 3.12 所示的反射率曲線圖 3.12 TM 波正入射，光柵周期，光柵深度為 100nm,200nm,300nm,400nm 時，nm100H一維三角形光柵基于等效介質(zhì)理論計算的反射率隨波長的變化。由于 3.1.2 節(jié)中得出 TM 波入射情況下，等效介質(zhì)理論計算誤差較大，故這里只做定性分析，從計算數(shù)據(jù)和圖 3.12 可以得到，和 TE 波入射時相似，隨著光柵深度的增加，反射率有明顯的下降，并且在光柵

48、深度較高時，可以得到良好的抗反射效果。對比 TE 波和 TM 波正入射的情況下的反射率，可以看出，在兩種情況下，當光柵深度逐漸增大時，大部分波段的反射率都有效地降低，并且反射率隨波長的增幅會因光柵深度的增加有所降低。光柵深度較低時，在短波段區(qū)域內(nèi)，與 TE 波正入射相比，TM 波正入射時，一維三角形亞波長光柵結(jié)構(gòu)有較低的反射率；而在長波區(qū)域內(nèi)，此時的光柵在 TE 波正入射下有更低的反射率。光柵深度較高時（大于300nm 時），在大部分波長下，一維三角形亞波長光柵結(jié)構(gòu)的反射率相比于硅平面下降了 2/3 以下。3.2.2 基于有限元法(FEM)的分析利用 FEM 方法計算過程中的結(jié)構(gòu)參數(shù)與 3.2

49、.1 節(jié)等效介質(zhì)理論分析時相同。首26先研究 TE 波入射時的情況，可以得到如圖 3.13 所示的反射曲線，圖 3.13 (a)TE 波正入射，光柵周期，光柵深度為 100nm,200nm,300nm,400nm 時，nm100H一維三角形光柵基于有限元法計算的反射率隨波長的變化。(b) TM 波正入射，光柵周期為100nm，光柵深度為 100nm,200nm,300nm,400nm 時，一維三角形光柵基于有限元法計算的H反射率隨波長的變化?？梢钥闯?，有限元法計算出的反射率隨光柵深度的變化和等效介質(zhì)理論算出的結(jié)果一致，即反射率隨光柵深度的增加而下降。對于 TE 波，光柵深度為 400nm 時，

50、在波長為 340nm798nm 內(nèi)的反射率都小于 5%，得到了與等效介質(zhì)理論相近的結(jié)果。對于 TM 波，光柵深度為 400nm 時，340nm 以上的波段的反射率都小于 2.6%，特別對于波長在 340nm730nm 內(nèi)的光波，反射率都小于 1%。表現(xiàn)出了良好的抗反射特性。對于一維三角形光柵結(jié)構(gòu)，明顯對于波長小于 340nm 的光譜區(qū)域，等效介質(zhì)理論不再適用，這里對波長在 340nm1200nm 內(nèi)的反射率，利用誤差函數(shù)（3.1），計算出等效介質(zhì)理論得出的反射率和有限元法得出的反射率的誤差函數(shù)，對于 TE波正入射的情況，光柵深度取為 100nm,200nm,300nm,400nm，可得如圖 3

51、.14 所示誤差函數(shù)圖27圖 3.14 TE 波正入射下的誤差函數(shù)圖由計算得出對于 TE 波正入射時，當波長在 800nm1200nm 內(nèi)時，誤差函數(shù)值小于1%，波長大于 400nm 時，誤差函數(shù)小于 10%，也就是說，對于本節(jié)所計算的內(nèi)容而言，在 TE 波正入射情況下，在光柵周期為 100nm 時，當波長與光柵周期比, (3.4)2500. 0時，可以利用等效介質(zhì)理論對一維三角形光柵的反射特性做定性分析。當波長與光柵周期比， (3.5)1250. 0時，利用二階等效折射率計算出的反射率曲線和有限元計算的實際近似反射率近似相等，在波長為 800nm1200nm 范圍內(nèi)可利用二階等效折射率理論計

52、算一維三角形光柵的反射率。對于 TM 波而言，也可以得到相應的誤差函數(shù)，如圖 3.15 所示28圖 3.15 TM 波正入射下的誤差函數(shù)圖。（a）波長在 300nm1200nm 內(nèi)，光柵深度為分別H為 100nm,150nm,200nm,250nm 時的誤差函數(shù)（b）波長在 600nm1200nm 內(nèi)，光柵深度為分H別為 100nm,150nm,200nm,250nm 時的誤差函數(shù)?？梢钥闯?，TM 波入射情況下的誤差函數(shù)值較大，對于波長在 340nm 下的范圍，由于等效介質(zhì)理論不再適用，故誤差較大，對于 340nm 以上的波長，TM 波給出的誤差函數(shù)在較大波長范圍內(nèi)任然大于 10%，這說明對于

53、 TM 波入射情況，利用等效介質(zhì)理論并不能很好地研究一維三角形光柵結(jié)構(gòu)的反射特性，需要用更加嚴格的電磁波理論研究。 分析表明，雖然對于 TM 波等效介質(zhì)理論不能精確給出各波長處接近的反射率，但一維三角形光柵結(jié)構(gòu)如等效介質(zhì)理論所預計的一樣，顯示出了良好的抗反射特性。 3.2.3 斜入射條件下的反射特性分析研究表明在垂直入射時，一維三角形亞波長光柵良好的抗反射與增強吸收特性，現(xiàn)在通過嚴格的有限元法進一步研究其在 15、30、45、60斜入射時結(jié)構(gòu)的反射特性。首先研究 TE 波入射的情況，對于硅平面，有菲涅爾公式可得反射率隨入射角度的變化如圖 3.16 所示，反射率隨角度的增加而增加。29圖 3.1

54、6 TE 波入射下平面硅與空氣界面反射率隨入射角度的變化曲線 現(xiàn)在利用有限元法計算一維三角形光柵在波長為 300nm1200nm 內(nèi)的反射率，光柵周期取為 100nm，光柵深度取為 200nm，各個入射角下的反射率如圖 3.17 所示。這里討論滿足零級衍射條件的波長區(qū)域內(nèi)的反射特性，由圖中可以看出，除60的入射情況以外，各個入射角下，大部分波段的反射率都降低了 50%。對于 15的入射情況，在滿足零級衍射條件的波段，反射率在 11%以下；對于 30的情況，在滿足零級衍射條件的波段，反射率在 13%以下；對于 45的情況，在滿足零級衍射條件的波段，反射率在 20%以下；對于 60的情況，在滿足零

55、級衍射條件的波段，反射率在 32%以下；值得注意的是，與介質(zhì)平面一樣，一維三角形光柵的反射率隨入射波長的變化并不明顯，所有角度的都波動在 5%以內(nèi)，并且在 30以內(nèi)，一維三角形光柵的反射率隨入射角的變化并不大，變化在 3%以內(nèi)，這使一維三角形光柵在 TE 波入射下相當于一個折射率較低的介質(zhì)平面，由菲涅爾公式可知，透射區(qū)域介質(zhì)折射率越接近入射區(qū)域折射率，則會在越寬的入射視角內(nèi)得到越低的反射率，由之前的結(jié)論可知，一維三角形光柵的反射率會隨光柵深度的增加下降，也就是說，三角形光柵深度越大，將會在更寬的入射角內(nèi)得到越低的反射率。因此，在 TE 波入射情況下，提高光柵深度可以使一維三角形光柵結(jié)構(gòu)在更廣的

56、入射角下得到更低的反射率。30圖 3.17 一維三角形光柵反射率波長變化。 (a)15 (b)30 (c)45 (d)60 對于 TM 波，對于硅平面，有菲涅爾公式可得反射率隨入射角度的變化如圖3.18 所示。同樣可以現(xiàn)在利用有限元法計算一維三角形光柵在波長為300nm1200nm 內(nèi)的反射率，光柵周期取為 100nm，光柵深度取為 200nm，各個入射角下的反射率如圖 3.19 所示。Comment j5: 為什么 75入射時反射率為 0？這個結(jié)果是不是有問題？答：根據(jù)菲涅爾公式算出來的，并且comsol 也模擬過。Comment j6: 結(jié)果是不是有問題？答：又算了一遍，結(jié)果一樣。31圖

57、3.18 TM 波入射下平面硅與空氣界面反射率隨入射角度的變化曲線從圖 3.18 可以看出，TM 波入射下硅平面的反射率隨入射角的增大先減小后上升。然而對于一維三角形光柵結(jié)構(gòu)而言，隨著工作波長的增加，反射率并沒有明顯的下降，反而在長波段有所上升，特別是對于入射角為 60時的情況，只有一小波段的反射率低于硅表面反射，其余波段盡大于硅表面 60入射時的反射率。雖然對于 TM 波斜入射情況，在較寬的入射角上，一維三角形光柵結(jié)構(gòu)沒能在較寬譜帶上表現(xiàn)出良好的抗反射特性，但計算表明，對于 TM 波入射情況，一維三角形光柵結(jié)構(gòu)在 300nm-800nm 光譜區(qū)域內(nèi)，在入射角小于 45時，均可以實現(xiàn)反射率小于

58、 1%的超吸收。32圖 3.19 一維三角形光柵反射率波長變化。 (a)15 (b)30 (c)45 (d)60 33論文小結(jié)本文通過等效介質(zhì)理論和有限元法分析了一維矩形光柵亞波長結(jié)構(gòu)和一維三角形光柵亞波長結(jié)構(gòu)的光反射特性。發(fā)現(xiàn)對于 TE 波正入射情況下，在滿足零級光柵條件的波長段，可以應用等效介質(zhì)理論對兩種光柵結(jié)構(gòu)的反射特性進行定性研究。對于文中所研究的硅光柵而言，當波長滿足小于 0.125 且 TE 波入射時，可以/利用等效介質(zhì)理論較為精確的計算兩種光柵的反射系數(shù)。對于 TM 入射的情況，等效介質(zhì)理論得到的反射率與有限元計算結(jié)果相差較大，但隨著光柵深度和入射波長的增加，等效介質(zhì)理論得到的反

59、射率和有限元法得到的反射率的差距將會逐漸減小，雖然 TM 入射條件下，等效介質(zhì)理論在一維光柵傳輸特性計算上存在較大誤差，但可以在特定譜段對一維光柵結(jié)構(gòu)的反射特性進行大體上的估計。通過研究發(fā)現(xiàn)，一維矩形亞波長介質(zhì)光柵與單層光學薄膜類似，在 TE 波入射下，可以利用等效介質(zhì)理論和光學薄膜理論設(shè)計特定波長下的零反射一維矩形光柵。對于一維三角形光柵，發(fā)現(xiàn)在光垂直入射下，有良好的減反射特性，本文模擬的一維三角形光柵結(jié)構(gòu)，在光柵深度為 400nm 時，TE 正入射情況下，在波長340nm798nm 內(nèi)有小于 5%的反射率；TM 波正入情況下射，在波長340nm1200nm 內(nèi)反射率都小于 2.6%，對于波

60、長在 340nm730nm 內(nèi)的光波，反射率小于 1%。對于光斜入射的情況，TE 入射時，在光柵深度較大時，一維三角形光柵表現(xiàn)出低折射率介質(zhì)表面相似的性質(zhì)，因此一維三角形光柵在寬入射角條件下表現(xiàn)出良好的抗反射特性，而對于 TM 入射情況，一維三角形光柵結(jié)構(gòu)在 300nm-800nm 光譜區(qū)域內(nèi)，在入射角小于 45條件下，均可以實現(xiàn)反射率小于 1%的超吸收。本文對一維亞波長光柵結(jié)構(gòu)的反射特性進行了初步研究，而對于二維亞波長結(jié)構(gòu)，由于其對入射光的偏正不敏感、參數(shù)設(shè)計維度更大，因而在非偏振選擇性寬譜抗反射表明設(shè)計與應用領(lǐng)域具有更高的研究價值。34致 謝 本文是在胡繼剛老師的悉心指導下完成的。從論文題