山東專升本輔導(dǎo)--中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用總要求考生應(yīng)了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。歷年考點(diǎn)章考察點(diǎn)年份2005200620072008200920101極限與連續(xù)定義域（注意反三角函數(shù)）1111極限與連續(xù)又要極限（

2、兩個(gè)）11121極限與連續(xù)連續(xù)定義11極限與連續(xù)分段函數(shù)連續(xù)性11極限與連續(xù)間斷點(diǎn)類型（小分類）211極限與連續(xù)數(shù)列極限11極限與連續(xù)分段函數(shù)分段點(diǎn)處極限11極限與連續(xù)復(fù)合函數(shù)求值11極限與連續(xù)函數(shù)極限（通分約零因子）111極限與連續(xù)有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小11極限與連續(xù)求反函數(shù)11極限與連續(xù)高階、低階、同階無窮小111極限與連續(xù)兩已知函數(shù)復(fù)合，求復(fù)合后函數(shù)11極限與連續(xù)分段函數(shù)分段點(diǎn)處連續(xù)，求a值11極限與連續(xù)y=eA（-1/x）為無窮大，求x趨向12導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)定義11112導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)微分112導(dǎo)數(shù)與微分微導(dǎo)存在與可微關(guān)系112導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)求導(dǎo)（定點(diǎn)）12導(dǎo)數(shù)與微分得指函

3、數(shù)求導(dǎo)、微分112導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)全微分12導(dǎo)數(shù)與微分參數(shù)方程求導(dǎo)12導(dǎo)數(shù)與微分判斷函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)性（絕對(duì)值函數(shù)）12導(dǎo)數(shù)與微分對(duì)應(yīng)法則不具體函數(shù)求微分12導(dǎo)數(shù)與微分f'(xA2)=1/x,則f(x)=12導(dǎo)數(shù)與微分兩函數(shù)商的微分公式12導(dǎo)數(shù)與微分求函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)f（x）=x（xA2-1）|x|12導(dǎo)數(shù)與微分f(x)可導(dǎo)，已知f'(x),求(f(g(x)12導(dǎo)數(shù)與微分f(x)=x(x-1)(x-2)(x-99),求f'(x)12導(dǎo)數(shù)與微分y=lnx,求y的n階導(dǎo)數(shù)，y=1/（xA2-2x-3）,求y的n階導(dǎo)數(shù)22導(dǎo)數(shù)與微分d(sinx)/d(xA2)=13中值定理與

4、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用法線方程13中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用切線1113中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性113中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求函數(shù)極限（L法則）11113中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用應(yīng)用-最優(yōu)化（用料最省，面積最大）1113中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用證明：微分中值定理1113中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用駐點(diǎn)13中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用最值點(diǎn)11/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用證明：導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性證明不等式13中值定埋與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用求斜率13中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜令：來函數(shù)隼調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)12113中值定埋與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用蓼數(shù)方程中過定點(diǎn)切線方程計(jì)算13中洎定埋與導(dǎo)數(shù)也用求切點(diǎn)13中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)

5、用判斷國(guó)數(shù)隼調(diào)性、凹凸性13中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用來函數(shù)極限（通分后L法則）14不定枳分不定枳分（概念）計(jì)算1114不定枳分不定枳分（分部枳分、換兀）114不定積分不定積分（換元法）14不定積分綜合：不定枳分定義（原函數(shù)已知）求不定積分14不定枳分sf(x)dx=xA2+C,求sxf(1-xA2)dx14不定積分slnsinxdtanx=14不足枳分不定枳分計(jì)算s1/（2+cosx）dx15定積分及其應(yīng)用變上限積分求導(dǎo)115定枳分及其應(yīng)用定枳分求卸枳115定積分及其應(yīng)用對(duì)稱區(qū)間定積分15定積分及其應(yīng)用定積分計(jì)算（換元）1115定積分及其應(yīng)用定積分換元法115定積分及其應(yīng)用定積分計(jì)算（分部積分法）1

6、15定積分及其應(yīng)用無窮限的廣義積分（湊微分法）15定積分及其應(yīng)用利用變上限積分求導(dǎo)，求函數(shù)極限25定枳分及其應(yīng)用已知分段函數(shù)，求變上限定枳分表達(dá)式15定枳分及其應(yīng)用s(0-1)eA(x+eAx)dx15定積分及其應(yīng)用定積分計(jì)算奇函數(shù)對(duì)稱區(qū)間P15定積分及其應(yīng)用定積分(帶絕對(duì)值)s(pi/2-(-pi/2)|sinx|/(4-cosA2*x)dx15定積分及其應(yīng)用含變上限定積分的分段函數(shù)連續(xù)求a,求f'（x）15定積分及其應(yīng)用含變上限定積分的函數(shù)求切線和極限：16向量代數(shù)與空間解析幾何向量位置關(guān)系16向量代數(shù)與空間解析幾何求平面方程1216向量代數(shù)與空間解析幾何直線與平面位置關(guān)系1116

7、向量代數(shù)與空間解析幾何水平、鉛直漸近線16向量代數(shù)與空間解析幾何向量|a+bF2=(a+b).(a+b)求模16向量代數(shù)與空間解析幾何點(diǎn)到平面距離17多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分計(jì)算211117多元函數(shù)微積分學(xué)二元顯函數(shù)全微分111117多元函數(shù)微積分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算17多元函數(shù)微積分學(xué)利用二重積分概念計(jì)算（幾何法）17多元函數(shù)微積分學(xué)對(duì)應(yīng)法則不具體多元函數(shù)求偏導(dǎo)17多元函數(shù)微積分學(xué)兩次積分交換積分次序17多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分求面積18無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂必要條件18無窮級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù)收斂區(qū)間、收斂半徑、收斂域118無窮級(jí)數(shù)收斂半徑18無窮級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷（比較法etc）1118無窮級(jí)數(shù)函數(shù)展開成嘉

8、級(jí)數(shù)（按x-x0）118無窮級(jí)數(shù)求收斂區(qū)間、和函數(shù)18無窮級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù)在定點(diǎn)處斂散性18無窮級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù)sigma(-1)An*(x-1)An/n收斂區(qū)間19微分方程微分方程通解（二階齊次）1119微分方程常數(shù)變易法解微分方程1119微分方程微分方程一階初值特解（分離變量）1129微分方程一階微分方程，化dx/dy型19微分方程微分方程通解（二階非齊次y''-2y'-12/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3y=x)9微分方程y*y''-y'A2=0通解1學(xué)時(shí)分配早個(gè)數(shù)|學(xué)時(shí)12522353296410：25214611I?71638

9、1229131316032第三部分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考試大綱(學(xué)時(shí)6)(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。(2)熟練掌握洛必達(dá)法則求"0/0”、"8/OO"、"0?0°"、"oo-00”、“18”、“00”和“80”型未定式的極限方法。(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。(4)理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大(小)值的方法，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。(5)會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。(6)會(huì)求曲線的水平漸近線與垂直漸近線

10、。重要知識(shí)點(diǎn)一、中值定理(證明題)1.(2006)(0,1)xx1設(shè)函數(shù)f(x)在0,1連續(xù)，且f(x)>0,試證明ff(t)dt+01f(t)內(nèi)有且僅有一個(gè)根。dt=0在2.(2008中值定理)函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日公式中的等于3/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3 .(2010零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在0,1連續(xù)，且對(duì)于0,1上的任意x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)均為0Ef(x)<1,試證明在(0,1)上至少存在一點(diǎn)之，使得f伐)=£。4 .證明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一個(gè)正根，并且它不超過a+

11、b。5 .驗(yàn)證y=x3-2x2+x-1在區(qū)間0,1上的正確性。6 .驗(yàn)證f(x)=jx_1在區(qū)間1,4上滿足拉格朗日中值定理的條件，并求出定理結(jié)論中的洛必達(dá)法則求極限1.(2007)求極限lim(1xQx六)2.(2006)求極限.,11、limcotx(-)x,Dsinxx3.(2008)求極限sin2xlimxcos(r-x)4.(2009)求極限1lim(x11x5.(2009)求極限xe一elim1sinx3)-x6.(2010)tanx-x求極限lim3xQx37.用洛必達(dá)法則求下列極限:1一。InsinX吧E口孫v1口(1+h)IIE；r>Hsinxsinahmlim口(7)

12、rIncan7H型而E(8)limL*tan工tan3r'(9)(1Q)limisecx-cos_rrlh(1+7lim丁+garccotx4/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間與極值、最值、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)1 .(2009)函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x+1在區(qū)間0,2上的最大值點(diǎn)是2 .(2009)函數(shù)y=f(x)滿足f<xo)=0,則x=x°必為f(x)的A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)3 .(2010)函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x的單調(diào)減區(qū)間是4 .(2005)函數(shù)y=xe"的凸區(qū)間5 .(2

13、006)函數(shù)y=x3-x2-x+1的單調(diào)區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間、拐點(diǎn).6 .(2007)若在區(qū)間(a,b)內(nèi)，導(dǎo)數(shù)f'(x)A0,二階導(dǎo)數(shù)f"(x)<0,則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)A.單調(diào)增加，曲線為凸的B.單調(diào)增加，曲線為凹的C.單調(diào)減少，曲線為凸的D.單調(diào)減少，曲線為凹的7 .(2008)求函數(shù)y=3x2x3的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。8 .只(2)y=Zr+X(4)(6)確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(1)y=64一18一7q小_y4V+(5)工一1尸;9.求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間:C1)5/+3工+5+er(產(chǎn)鏟F(2)¥=工。1、(4)+(6)

14、j=(121nx-7).10.5/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求下列函數(shù)的極值；(1)y=2/6/-181T+7；(3)y=-x44-2j2?/a、_1+3hy=y4+5x2(7)j=ercosxi(9)y=3-2Cr+l3t11.(2),yJr-ln(1+j>；(6)y-3M+4&+4h*+h+1求下列函數(shù)的最大值.最小值:（）y=2與-37,1&(2) 一8/+2,141<31(3) hZ1一大，-L12.5 .同函數(shù)y=2V-6>18一？在何處取得最大值？并求出它的最大值.解函數(shù)在口,仃上可導(dǎo)，且爐=6/一】力一18=6（，+1&g

15、t;（上一3）.令4=0.將駐點(diǎn)不=一1（舍去）*小=3.比較9|一=-2901,”3=一61.川7一仃,得函數(shù)在1=】處取得最大值，且jg大值為田/二一2"6 .問函數(shù)了=三一日（HV。在何處取得城小值？d解函數(shù)在（一8,0）內(nèi)可導(dǎo),且，=2+號(hào)=在嚀經(jīng)4=2-里.w4-ii<JL令爐=0,得駐點(diǎn)父=一3,由yT3=6>0知k=-3為極小值點(diǎn).又函數(shù)在g,0）內(nèi)的駐點(diǎn)惟一故極小值點(diǎn)就是最小值點(diǎn),即1二一3為最小值點(diǎn)，且最小值為j|>t=27,7 .問函數(shù)了才等不上?。）在何處取得最大值？解函數(shù)在0,+8）上可導(dǎo)，且，-+Ln1-三y一一申3"-77rTT

16、?，j2r（3-）y汗十1尸.令了'=0,得駐點(diǎn)#=一】（畬去）,1=1.由91m=二=一/<0知h=1O06/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為極大值點(diǎn)，又函數(shù)在d+8)上的駐點(diǎn)惟一，故極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn).即1=1為最大值點(diǎn)，且最大值為引&四、參數(shù)方程中過定點(diǎn)切線方程計(jì)算2.2,X=t，.1.(2007)曲線在t=1處的切線萬程為y=4t五、導(dǎo)數(shù)部分證明題1.(2009)當(dāng)x>0,0<a<1時(shí)，xa-ax<1-a232.證明：當(dāng)x>0時(shí),xln(1x)233 .證明：當(dāng)x>0時(shí)，in(1+x)>arctanx

17、1x4 .證明：當(dāng)x>1時(shí)，xlnx>x-13x5 .證明：當(dāng)x>0時(shí)，x>sinx>x-66 .證明：當(dāng)x>1時(shí)，ex>ex7.證明下列不等式;(i)當(dāng)£>o時(shí)£t(2)當(dāng)h>0時(shí).l+rln(x4'7T+7r)>/T+xr；8.7/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用設(shè)函數(shù)FG)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(工)的圖形如圖3-1所示.則導(dǎo)函數(shù),的圖形為圖3-2中所示的四個(gè)圖形中的哪一個(gè)？圖3-2六、應(yīng)用題(最優(yōu)化)1.(2007)在周長(zhǎng)為定值l的所有扇形中，當(dāng)扇形的半徑取何值時(shí)所得扇形的面積最大

18、?2.(2009)某工廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁其他三邊需要砌新的墻壁，問堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，才能使砌墻所用的材料最??？3.(2010)現(xiàn)有邊長(zhǎng)為96厘米的正方形紙板，將其四角各剪去一個(gè)大小相同的小正方形，折做成無蓋紙箱，問剪區(qū)的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)做成的無蓋紙箱容積最大？蓋紙箱一定存在，故當(dāng)剪區(qū)的小正方形連長(zhǎng)為16厘米時(shí)，做成的無蓋紙箱容積最大。4.8/11山東省專升本輔導(dǎo)-第三章-中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用某車間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小屋，現(xiàn)有存神只夠砌20m長(zhǎng)的墻壁,問應(yīng)國(guó)成怎樣的長(zhǎng)方形才能使工這間小屋的面積最大？J解如圖3-3,設(shè)這間小屋的寬為，長(zhǎng)

19、為小則小5屋的面積為S=h*圖37已知本+力=20.即y=202工.故S=h(202x)=2。l2/(0JQ).S'=204.t.ST=一蟲令VhQ,得融點(diǎn)h=5.由<0知h=5為極大值點(diǎn)又駐點(diǎn)惟一,故極大值點(diǎn)就是最大值點(diǎn)，即當(dāng)寬為3m長(zhǎng)為10m時(shí)這間小屋的面積最大.5.要造一網(wǎng)柱形油轆，體樹為匕問底半徑干和高人等于多少時(shí),才能使表面積最??？這時(shí)底直徑局高的比是多少？解已知北戶外=1/,即A=奈.制柱形油攤的表而積A=2n產(chǎn)+2亦力=2?(/+2北廠=2兀產(chǎn)+型,rW(0.+co).F/V=4"一絲.A"=4tt+4*廣r令A(yù)'=0,得廣不,由A”小+87r=12n>0,知r'屋為極小值戶寒點(diǎn)，又駐點(diǎn)惟一，故極小值點(diǎn)就是展小值點(diǎn).此時(shí)八=5=2良=2廠,即2r：=1,所以當(dāng)?shù)装霃綖楹透呷藭r(shí)，才能使表面積最小,這時(shí)底直徑與高的比為】L6.某地區(qū)防空洞的徜而擬建成期形加半圓f圖3-4).赦面的面積為5mL同底寬工為多少時(shí)才能使截面的周長(zhǎng)最小,從而使建造時(shí)所用的材料最?。拷庠O(shè)截面的周長(zhǎng)為人已知f=i+2y+等及工7+.£號(hào)住)”=5