第二章點線面投影

1、 第二章第二章 點、線、面的投影點、線、面的投影v本章內(nèi)容本章內(nèi)容:2-1投影法的基本知識投影法的基本知識2-2點的投影點的投影2-3直線的投影直線的投影2-4平面平面的投影的投影 2-5直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置 2-6換面法換面法PSABCac投影條件及標注：投影條件及標注： 投射線投射線（s） 空間幾何元素空間幾何元素（大寫大寫 A、B、C） 投影面投影面（大寫大寫 P、V、H、W） 投影投影（小寫小寫a、b 、c ）sb投影面投影面空間幾何元素空間幾何元素投射線投射線投影投影投射中心投射中心一一. . 基本概念基本概念2-1投影法的基本知識投影法的基本知識

2、 投射線交于一點的投影方法，投射線交于一點的投影方法，稱做中心投影法。稱做中心投影法。 2 2缺點缺點一般情況下，投影不反映物體的真一般情況下，投影不反映物體的真 實大小，度量性不好，無等比性，無平行性。實大小，度量性不好，無等比性，無平行性。DEdePSABCacsb 1 1優(yōu)點優(yōu)點實體感強、逼真；實體感強、逼真；二中心投影二中心投影deacbSs若將投射中心若將投射中心“S”向左移至無窮遠處向左移至無窮遠處s三平行投影法平行投影法投射線相互平行的投影方法稱做平行投影法。投射線相互平行的投影方法稱做平行投影法。優(yōu)點：具有平行性、等比性、優(yōu)點：具有平行性、等比性、實形性（當空間的面、線與實形性

3、（當空間的面、線與投影面平行時）。投影面平行時）。abcde 空間空間ABDE,ABDE,投影投影abdeabde AD/DC = ad/dcAD/DC = ad/dcPDEABC按投射線與投影面的相對位置，平行投影可分為：按投射線與投影面的相對位置，平行投影可分為：斜角投影斜角投影投射線投射線不垂直于不垂直于投影面投影面直角投影直角投影投射線投射線垂直于垂直于投影面投影面v在本書中，我們只介紹平行投影法，其中正在本書中，我們只介紹平行投影法，其中正投影法被廣泛用于繪制各種工程圖樣，如無投影法被廣泛用于繪制各種工程圖樣，如無特別說明，書中所稱的特別說明，書中所稱的“投影投影”，均指正投，均指正

4、投影。影。v斜投影法僅用于畫軸測圖。斜投影法僅用于畫軸測圖。1.1.點在一個投影面的投影點在一個投影面的投影A AaAaA1A2 反過來，就無法實現(xiàn)反過來，就無法實現(xiàn) a aA A ！P 因此，因此，工程上一般工程上一般需采用多個相互正交的投影需采用多個相互正交的投影面組成投影面體系，用多個投影來表示空間幾何元面組成投影面體系，用多個投影來表示空間幾何元素的位置和形狀。素的位置和形狀。一點的投影圖一點的投影圖 2.2 點的投影點的投影2.2.點的三面投影點的三面投影V H X Z Y W O A a”aaax aY az .水平投影面水平投影面正立投影正立投影面面?zhèn)攘⑼队懊鎮(zhèn)攘⑼队懊鍻ZOZ軸

5、軸OYOY軸軸空間空間“點點”側(cè)面投影側(cè)面投影正面投影正面投影 細實線細實線 字號：字號：3.5 圓點：圓點：直徑直徑1 mm注意：注意： V V 或或V V 的長度均按的長度均按1 1：1 1 度量度量OXOX軸軸水平投影水平投影H H繞繞OXOX旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)W W繞繞OZOZ旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)直觀圖展平方式直觀圖展平方式直觀圖直觀圖V H W X Z O a”aaax aY az YH YW 最后擦去邊框，最后擦去邊框，這樣的圖就是投影圖這樣的圖就是投影圖。直觀圖展平直觀圖展平 V V面與畫面重合面與畫面重合 H H面繞面繞OXOX軸向下軸向下旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)9090 W W面繞面繞OZOZ軸向右軸向右旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)

6、9090aYWH3 3投影特性：投影特性： aax = Aa ( (點與點與H的距離的距離) ) aax = Aa ( (點與點與V的距離的距離) ) aaz = Aa” ( (點與點與W的距離的距離) ) aax=a”azX Z O a”aaax aYW az YH YW aa OX，aa” OZ aYH 4.4.點的二求三點的二求三 已知點的兩個投影，可利用點的三面投影特性已知點的兩個投影，可利用點的三面投影特性求其第三個投影。求其第三個投影。 a”O(jiān) X Z aa YH YW a”二二. .點的坐標與投影的關(guān)系點的坐標與投影的關(guān)系 如果將投影軸當作坐標如果將投影軸當作坐標軸，將投影面當作

7、坐標面軸，將投影面當作坐標面, ,點的坐標與投影的關(guān)系為：點的坐標與投影的關(guān)系為：aa X O Z YH YWa”axazaYH aYW 點的點的X X坐標值坐標值= =點與點與 面的距離面的距離 點的點的Y Y坐標值坐標值= =點與點與 面的距離面的距離 點的點的Z Z坐標值坐標值= =點與點與 面的距離面的距離 W W H H V V三兩點間的相對位置三兩點間的相對位置X X、Y Y、Z Z值大者值大者: : 為左、前、上方為左、前、上方點點B B在點在點A A的左、前、下方。的左、前、下方。aa X O Z YH YWa”bbb”x xy yz zaa X O Z YH YWa”axaz

8、aYH aYW例：例：已知點已知點 A A（1212，8 8，1010），），點點 B B在點在點 A A 的下方的下方 5 mm5 mm、左左 0 mm0 mm、前、前 0 mm0 mm，試完，試完成成點點 B B 的投影。的投影。bb b”5 分析：分析： 點點 B B在點在點 A A 的正下方的正下方 5 mm5 mm， 即即點點 B B（1212，8 8，5 5）。）。四重影點及可見性四重影點及可見性 b aa X O Z YH YWa”axazaYHaYWbb” 在投影圖中，在投影圖中， H H面的重影點的面的重影點的H H面投影，上者為可見點；面投影，上者為可見點； V V面的重影

9、點的面的重影點的V V面投影，前者為可見點；面投影，前者為可見點； W W面的重影點的面的重影點的W W面投影，左者為可見點。面投影，左者為可見點。表示方法表示方法 不可見點的重合投影加圓括號表示。不可見點的重合投影加圓括號表示。 若兩個點的同名投若兩個點的同名投影重合，則稱這兩個點影重合，則稱這兩個點為該投影面的重影點。為該投影面的重影點。點點A A、B B為為H H面的重影點。面的重影點。(b)可見性可見性兩點確定一條直線，將兩點的兩點確定一條直線，將兩點的同名投影同名投影用直線連接，就得到用直線連接，就得到直線的同名投影。直線的同名投影。一、直線的投影特性一、直線的投影特性 直線對一個投

10、影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性1.直線垂直于投影面：投影重合為一點直線垂直于投影面：投影重合為一點（積聚性積聚性）2.2.直線平行于投影面：投影反映線段實長直線平行于投影面：投影反映線段實長ab=ABAB3.3.直線傾斜于投影面：投影比空間線段短直線傾斜于投影面：投影比空間線段短 ab=ABAB cos 。 2.3 直線的投影（重點）直線的投影（重點） 投影面平行線投影面平行線 直線與投影面夾角的表示法：直線與投影面夾角的表示法： 與與H面的夾角面的夾角: : 與與V面的夾角面的夾角: 與與W面的夾角面的夾角:1.1.在其平行的那個投影面的投影反映實長，并反映在其平行的那個投影面的投

11、影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。直線與另兩投影面傾角的實大。2.2.另兩個投影面上的投影另兩個投影面上的投影, ,平行于相應(yīng)的投影軸，其平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離。間的距離。投影面平行線的投影特性：投影面平行線的投影特性： 投影面垂直線投影面垂直線投影特性投影特性: :在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上，投影有積聚性。投影有積聚性。 另外兩個投影，另外兩個投影，反映反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。1. 在所垂直的投影面上的投影積聚成一點；在所垂直的

12、投影面上的投影積聚成一點；2. 其余投影反映實長，且分別垂直構(gòu)成該投其余投影反映實長，且分別垂直構(gòu)成該投 影面的兩根投影軸影面的兩根投影軸投影面垂直線的投影特性：投影面垂直線的投影特性：（3）一般位置直線的投影：）一般位置直線的投影：投影特性：投影特性： 一般位置直線，其三面投影均小于實長，一般位置直線，其三面投影均小于實長，且傾斜于投影軸。且傾斜于投影軸。一般位置線段的實長求法一般位置線段的實長求法二、直線與點的相對位置二、直線與點的相對位置若點在直線上若點在直線上, 則點的投影必在直線的則點的投影必在直線的同名投影同名投影上。上。 點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比點的投影將

13、線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：例。即： AK:KB=ak:kb=a k :k b =a k k :k b （定比定理定比定理）屬于直線的點，其投影必在該直線的同名投影上，屬于直線的點，其投影必在該直線的同名投影上，且分割該直線的各投影成比例。（用圖解法）且分割該直線的各投影成比例。（用圖解法）X O YWZ YH X O a”b”c”對于側(cè)平線，有兩種判斷方法：對于側(cè)平線，有兩種判斷方法：利用側(cè)投影；利用比例法。利用側(cè)投影；利用比例法。abab llaabbcck k例：判斷例：判斷ABAB與與CDCD是否平行。是否平行。dZ YH YW cab方法二方法二： 若若 ABCDA

14、BCD，則有：則有：abcd，abcd，圖中圖中：abcd，abdc，所以所以 ABAB與與CDCD是不平行是不平行。ccXOadbabd方法一方法一： 利用側(cè)投影判斷利用側(cè)投影判斷求得結(jié)果：求得結(jié)果： a”b” 不平行于不平行于c”d” ，所以所以ABAB與與CDCD不平行不平行。例：例：判斷兩直線是否相交。判斷兩直線是否相交。abcdabcdX O X O abcd不相交不相交相交相交kkabcdkk1k24、兩直線垂直相交、兩直線垂直相交若直角有一邊平行于投影面，則它在該面上的投影仍為直角。若直角有一邊平行于投影面，則它在該面上的投影仍為直角。例：例：已知已知CDCD及及A A，求做，求

15、做ABAB與與CDCD垂直相交。垂直相交。cdc d b.b aa分析：分析：CDV CDV ： abab與與cdcd 垂直相垂直相交。交。解題步驟：解題步驟： 過過aa 做做abcdabcd，交，交cdcd 于于bb 求線求線 CDCD上點上點 B B 的水平投影的水平投影 b b 連連abab ，則則 AB AB 為所求為所求2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法：一、平面的表示法：二、平面的投影特性二、平面的投影特性投影面平行面的投影投影面平行面的投影正平面的投影特性：正平面的投影特性： 平行于平行于V V：在：在V V上投影反映實形；上投影反映實形； 垂直于垂直于H H、W W：

16、在：在H H、W W上投影積聚成直線，且平上投影積聚成直線，且平行于投影軸。行于投影軸。 XZYH YW Oabcabca”b”c”例：例： 平面平行于平面平行于V V正平面正平面 平面平行于平面平行于H H水平面水平面 平面平行于平面平行于W W側(cè)平面?zhèn)绕矫嫫叫杏谀骋粋€投影面的平面平行于某一個投影面的平面 投影面平行面。投影面平行面。投影面平行面：投影面平行面：投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影垂直于某一個投影面、與另兩個投影面傾斜的垂直于某一個投影面、與另兩個投影面傾斜的平面平面 投影面垂直面：投影面垂直面： XZYH YWOabcabca”b”c”鉛垂面的投影特性：鉛垂面的投影特性：

17、垂直于垂直于H H ：在：在H H上投影投影積聚成直線，且與投上投影投影積聚成直線，且與投影軸傾斜；影軸傾斜； 傾斜于傾斜于V V、W W：在：在 V V 、W W上投影類似于空間的面。上投影類似于空間的面。例：例： 平面垂直于平面垂直于V V正垂面正垂面 平面垂直于平面垂直于H H鉛垂面鉛垂面 平面垂直于平面垂直于W W側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队懊娲怪泵嫱队懊娲怪泵妫阂话阄恢闷矫娴耐队耙话阄恢闷矫娴耐队?與三個投影面均傾斜的平面與三個投影面均傾斜的平面一般位置平面。一般位置平面。 XZYH YWOaabba”b”c”cc一般位置面的投影特性：一般位置面的投影特性： 與三個投影面均傾斜，所以三個投影都具

18、類似性。與三個投影面均傾斜，所以三個投影都具類似性。例：例： 完成完成ABCABC的側(cè)面投影。的側(cè)面投影。直線直線DIDI在面上！在面上！d1d1ee距距H H面面2020de=10 DEDE為所求為所求 20XOacbabc定理定理：若直線通過屬于平面的兩個點，則直線必在面上。若直線通過屬于平面的兩個點，則直線必在面上。例：例： 在已知面上作在已知面上作一水平線，距一水平線，距H H面面2020，長度，長度1010。20201010三三. . 平面上的直線和點平面上的直線和點1.1.屬于平面的直線屬于平面的直線XO定理定理：若直線通過屬于平面的一個點，且平行于屬于該若直線通過屬于平面的一個點

19、，且平行于屬于該平面的一條已知直線，則該直線必在面上。平面的一條已知直線，則該直線必在面上。adbabd例：例： 試完成平行四試完成平行四邊形邊形ABCDABCD的投影。的投影。ccDC ABDC AB，且過面上點，且過面上點D,D,DCDC在在AB AB AD AD平面上平面上BC ADBC AD，且過面上點，且過面上點B,B,BCBC在在(AB (AB AD) AD)平面上平面上四邊形四邊形ABCDABCD即為所求即為所求2.2.屬于平面的點屬于平面的點定理：若點在屬于平面的直線上，則點必在該面上。定理：若點在屬于平面的直線上，則點必在該面上。XOacbabckk11例：例：求屬于求屬于的

20、點的點K K的水平投影；的水平投影；求屬于求屬于的距的距V V面面10,10,距距H H面面 1515的點的點L L。1015XOacbabc15 10 ll121234例：例：試完成四邊形試完成四邊形ABCDABCD的投影。的投影。XOacbabcd11d線上找點線上找點面上畫線面上畫線 相對位置包括相對位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直一、平行問題一、平行問題 包括：包括：直線與平面平行直線與平面平行 、平面與平面平行平面與平面平行 直線與平面平行直線與平面平行 若平面外的一直線平行若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行直線與該平面平行mn

21、ad, mn ad,則則MN平行與平面平行與平面2.5 直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置ee 過點過點K K作一水平線平行于面（作一水平線平行于面（ABABCD)CD)。 解題步驟：解題步驟： 作作 KEAB,KEAB, 即即KE(ABKE(ABCD)CD)。 11X O abcdkkabcdff 解題步驟：解題步驟： 先作面上任一水平線先作面上任一水平線 BIBI 再作再作 KFIB, KFIB, 則則水平線水平線 KF (ABKF (ABCD)CD)。例：例： 過點過點K K作一直線平行于面（作一直線平行于面（ABABCD)CD)。例：判斷圖中的直線與例：判斷圖中的

22、直線與平面（平面（a a）平行否。）平行否。(a) (b) (c) (d) (e)(a) (b) (c) (d) (e)答：答：b b、c c、d d、e e例例:(KE:(KEKF)(ABKF)(ABCD) ?CD) ?11O eeX abcdkk ab c dff 又又KEBAKEBA作作 k k f f 11 b b (KE(KEKF)(ABKF)(ABCD)CD) kfkf1b1b KFIBKFIB例：判斷下列直線、平面與平面例：判斷下列直線、平面與平面 P P 平行否。平行否。PVPH(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)(a) (b) (c) (d)

23、 (e) (f) (g) (h) (i) QVQHRVRHPbPb、c c、e e、f f、g g、i iacbab c X O DEV: DEV: d d e e k k 判斷可見性判斷可見性( (利用重點利用重點) )， 交點交點是可見點。是可見點。d edekk1212 33( ) 面上找點面上找點X O dedeacbabck k1 212( )H H: : 水平投影的交點水平投影的交點 即交點即交點 線上找點線上找點 判斷可見性判斷可見性例：例：例：例：1 1直線與平面相交直線與平面相交二二. . 直線與平面、平面與平面相交直線與平面、平面與平面相交（有一個幾何元素垂直于投影面的情況

24、）（有一個幾何元素垂直于投影面的情況）相交的核相交的核心問題是心問題是求求公有點公有點2 2平面與平面相交平面與平面相交X O klklabcabc XOacbacb 小結(jié)：小結(jié)：例：例：例：例： 從有積聚性的投影出發(fā)從有積聚性的投影出發(fā) 利用利用面上找點或線上找點的方法面上找點或線上找點的方法 在需判斷可見性的投影上找重影點，來判斷可見性在需判斷可見性的投影上找重影點，來判斷可見性三、垂直問題三、垂直問題包括：直線與平面垂直包括：直線與平面垂直 平面與平面垂直平面與平面垂直 直線與平面垂直直線與平面垂直定理：若一直線垂直于平面，則該直線的水平投影一定垂直于定理：若一直線垂直于平面，則該直線的

25、水平投影一定垂直于該平面上水平線的水平投影；而直線的正面投影一定垂直于該該平面上水平線的水平投影；而直線的正面投影一定垂直于該平面上正平線的正面投影。平面上正平線的正面投影。 若平面是特殊位置，則直線一定垂直于平面有積聚性的投影。若平面是特殊位置，則直線一定垂直于平面有積聚性的投影。 .作線作線線線作面作面線線作線作線面面作面作面面面多解，多解，水平投影垂直水平投影垂直于已知線投影于已知線投影的所有線的所有線多解，多解，通過鉛垂線通過鉛垂線的所有平面的所有平面鉛垂面鉛垂面鉛垂線鉛垂線 一幾何元素處于平行位置一幾何元素處于平行位置 作線作線 線線多解，多解，水平線水平線作面作面 線線作線作線 面

26、面 作線作線 面面作線作線 面面作面作面 面面 均平行于該投影面均平行于該投影面 多解，多解，過垂直于面過垂直于面的正平線的的正平線的所有面所有面水平面水平面垂直于面垂直于面的水平線的水平線垂直于面垂直于面的水平線的水平線垂直于面垂直于面的正平線的正平線 直線垂直于平面直線垂直于平面 直線的投影垂直于平面的積聚線直線的投影垂直于平面的積聚線 結(jié)論結(jié)論: : 投影面垂直線的垂線投影面垂直線的垂線 投影面垂直線的垂面投影面垂直線的垂面 投影面垂直面的垂線投影面垂直面的垂線一幾何元素處于垂直位置一幾何元素處于垂直位置定理：定理：若直線垂直于平面上兩條相交直線，則該直線與若直線垂直于平面上兩條相交直線，則該直線與 該平面垂直。該平面垂直。推論：推論：若直線垂直于平面若直線垂直于平面, ,則：則： 該直線的水平投