線性代數(shù) 行列式的性質(zhì)與計(jì)算

1、1第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算行列式的性質(zhì)與計(jì)算 三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì)三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì) 二、幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)二、幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì) 四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) 一、行列式的轉(zhuǎn)置一、行列式的轉(zhuǎn)置 五、行列式的計(jì)算五、行列式的計(jì)算2第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 nnaaa22112121nnaaannaaa2112特點(diǎn)特點(diǎn) 一、行列式的轉(zhuǎn)置一、行列式的轉(zhuǎn)置定義定義不妨不妨記為記為設(shè)行列式設(shè)行列式 ,nnaaa22112121nnaaannaaa2112 D TD,i jjiaa .Ti jj

2、iMM 其其轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式為為1. 轉(zhuǎn)置行列式的概念與特點(diǎn)轉(zhuǎn)置行列式的概念與特點(diǎn) P 6 3第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 .DDT 性質(zhì)性質(zhì)一、行列式的轉(zhuǎn)置一、行列式的轉(zhuǎn)置1. 轉(zhuǎn)置行列式的概念與特點(diǎn)轉(zhuǎn)置行列式的概念與特點(diǎn)2. 性質(zhì)及其意義性質(zhì)及其意義行列式中的行列式中的 “行行” 與與 “列列” 具有具有同等的地位同等的地位，意義意義因此凡是對(duì)因此凡是對(duì)“行行”成立的性質(zhì)對(duì)成立的性質(zhì)對(duì)“列列”也也同樣成同樣成立立. 比如，比如， 行列式行列式 D 亦可依行展開(kāi)，亦可依行展開(kāi)，. )1(2211niAaAaAaD

3、niniiiii 即即 P 7 性質(zhì)性質(zhì)1 P 8 推論推論 4第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 證明證明(利用數(shù)學(xué)歸納法證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明) 對(duì)對(duì) 1 階行列式，性質(zhì)顯然成立；階行列式，性質(zhì)顯然成立；假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 階行列式成立，階行列式成立，1 n則對(duì)于則對(duì)于 n 階行列式有階行列式有,)1(1njnijijiAaD ,11 njnijijiAanD nlnklklklkMa11)1( nlnkTkllkklMa11)1( nlnkkllkklMa11)1( nlnkklklAa11,nD nlnklklkTAanD11同理同理.DDT 即性質(zhì)對(duì)于即性質(zhì)對(duì)于 n 階行列式也

4、成立。階行列式也成立。由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)5第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 二、幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)二、幾個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(1) 若行列式中某若行列式中某行行( (列列) )的的元素全為零元素全為零, 則其值為零則其值為零. (2) 若行列式的某若行列式的某列列( (行行) )的元素都是的元素都是兩數(shù)之和，兩數(shù)之和，,)()()(2122222211111211nnininnnniiniiabaaaabaaaabaaa .122211111122211111nninnnininninnniniabaabaabaaaaaaaaaa 行列式等于兩個(gè)行列式之和，行列式等于兩個(gè)行列式之和，則

5、該則該即即P8 P 10 性質(zhì)性質(zhì)4 6第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 (2) 交換第交換第 i, j 兩行兩行( (或列或列) )的的所有元素，所有元素， (1) 將第將第 i 行行( (或列或列) )中所有的元素中所有的元素 k 倍，倍，三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì)三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì)1. 三個(gè)基本操作三個(gè)基本操作為了方便討論，通常用為了方便討論，通常用 ri 表示第表示第 i 行，行，ci 表示第表示第 i 列列. (3) 將第將第 i 行行( (或列或列) )的的各元素的各元素的 k 倍加到第倍加到第 j 行行( (或列或列) )( (或或 ).).irki

6、ck記作記作( (或或 ).).jirr jicc 記作記作對(duì)應(yīng)的元素上，對(duì)應(yīng)的元素上，ijrkr ijckc 記作記作( (或或 ).).補(bǔ)補(bǔ) 7第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì)三、行列式的三個(gè)基本操作及其性質(zhì)1. 三個(gè)基本操作三個(gè)基本操作2. 相應(yīng)的三個(gè)性質(zhì)相應(yīng)的三個(gè)性質(zhì)將行列式的某一行將行列式的某一行( (列列) )中中所有的元素所有的元素 k 倍，倍，nnnnniiinaaakakakaaaa212111211.212111211nnnnniiinaaaaaaaaak 性質(zhì)性質(zhì)1證明證明只需將上式兩邊的行列式按第只需將上式兩邊的行列式按第 i

7、 行展開(kāi)即可證明行展開(kāi)即可證明. 則行列式則行列式的值的值 k 倍倍，即即 P8 性質(zhì)性質(zhì)2 8第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例00021212112nnnnaaaaaa 形如形如試證：奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式等于試證：奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式等于 0。的行列式稱(chēng)為的行列式稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)行列式反對(duì)稱(chēng)行列式。00021212112nnnnaaaaaa 證證TDD Dn)1( 故故 D = 0 0。所以有所以有由于由于 n 為奇數(shù)，為奇數(shù)，,DD 9第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 .825,571例如例如571266853825361567567361266853交換行列式中的兩行交換

8、行列式中的兩行( (列列) )， 行列式的值反號(hào)行列式的值反號(hào). 性質(zhì)性質(zhì)2 P8 性質(zhì)性質(zhì)3 10第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 交換行列式中的兩行交換行列式中的兩行( (列列) )， 行列式的值反號(hào)行列式的值反號(hào). 性質(zhì)性質(zhì)2證明證明 ( (利用數(shù)學(xué)歸納法證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明) ) 對(duì)于對(duì)于 2 階行列式階行列式, 結(jié)論顯然成立；結(jié)論顯然成立；假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 階行列式結(jié)論成立，階行列式結(jié)論成立，1 n下證對(duì)于下證對(duì)于 n 階行列式階行列式結(jié)論也成立。結(jié)論也成立。 ( (注意此時(shí)注意此時(shí) ) )3 n設(shè)設(shè) 是行列式是行列式 D 交換第交換第 i , j 兩行后得到的行列式，兩

9、行后得到的行列式，D,3 n由于由于因此除第因此除第 i , j 兩行外還有一個(gè)第兩行外還有一個(gè)第 k 行。行。令令 和和 分別是行列式分別是行列式 和和 D 的第的第 k 行的代數(shù)行的代數(shù)lkAlkAD由歸納假設(shè)有由歸納假設(shè)有,lklkAA 于是有于是有 nllklkAaD1.1DAanllklk 余子式，余子式，11第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 證明證明設(shè)行列式設(shè)行列式 D 的的第第 i 行與第行與第 j 行的行的元素相同，元素相同，如果行列式中有如果行列式中有兩行兩行( (列列) )的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式元素相同，則行列式推論推論1的值為零的值為零. .0 D即得即

10、得將將 D 的的第第 i 行與第行與第 j 行的元素交換，行的元素交換，,DD 由性質(zhì)由性質(zhì) 2 有有 P9 推論推論1 12第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 若行列式中有若行列式中有兩行兩行( (列列) )的元素對(duì)應(yīng)的元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式成比例，則行列式推論推論2的值為零的值為零. P10 推論推論3 13第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 nnjninnnjinjiaaaaaaaaaaaa122221

11、11111.)()()(1222221111111nninjninnnijinijiakaaaaakaaaaakaaaa k 即即ijckc 將行列式的將行列式的某一列某一列( (行行) )的各元素的各元素 k 倍加到另一列倍加到另一列( (行行) )性質(zhì)性質(zhì)3對(duì)應(yīng)的元素上，行列式的值不變，對(duì)應(yīng)的元素上，行列式的值不變，證明證明只需將上式右端行列式的第只需將上式右端行列式的第 j 列拆開(kāi)即可證明列拆開(kāi)即可證明. P11 性質(zhì)性質(zhì)5 14第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 312111354)1(AAA?問(wèn)問(wèn) 313212111)2(AbAbAb? 313221221112)3(AaAa

12、Aa?四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)引例引例.0 ,333231232221131211313121211111aaaaaaaaaAaAaAa 已知已知;354333223221312aaaaaa;333232322213121aabaabaab333232232222131212aaaaaaaaa15第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 ,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa iniaa1., 02211jiAaAaAajninjiji 證明證明將行列式按第將行列式按第 j 行展開(kāi)，有行展開(kāi)，有四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四

13、、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)行列式任行列式任一行一行( (列列) )的元素與另一行的元素與另一行( (列列) )的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)元素的元素的定理定理代數(shù)余子式乘積之和等于零，代數(shù)余子式乘積之和等于零，即即把把 換成換成,), 1(nkika jka可得可得 P9 推論推論2 16第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 行行第第 j,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ji ).(, 02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 行行第第 i相同相同17第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與

14、計(jì)算 四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四、關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAajinkjkik ;,0,1jijiDDAajinkkjki 綜合綜合 .,0,1jijiji， 其中其中18第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 設(shè)設(shè),9876543287654321 D.847342322212AAAA 求求解解423222128473AAAA 9886544287754331 .0 19第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 利用利用行列式的行列式的性質(zhì)把行列式化為性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式上三角形行列式。五、行列式的計(jì)算五、行列式的計(jì)算基本思路基本思路(2)

15、交換兩行交換兩行( (或列或列) )； (1) 某行某行( (或列或列) ) k 倍；倍；基本操作基本操作(3) 某行某行( (或列或列) )的的 k 倍加到另一行倍加到另一行( (或列或列) )。常用技巧常用技巧(5) 高化高化( (低階化為高階低階化為高階) )。(1) 用某行用某行( (或列或列) )去減其它行去減其它行( (或列或列) )；(4) 遞歸遞歸( (高階化為低階高階化為低階) )； (3) 逐行逐行( (或列或列) )相減相減；(2) 所有行所有行( (或列或列) )全部加到全部加到某一行某一行( (或列或列) )上；上；20第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 05

16、32004140013202527102135 D例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解66027013210 6627)2(10 .1080 53241413252 53204140132021352)1(52 D13rr 12)2(rr 21第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 3315112043512131 例例3351110243152113 D21cc 72160648011202131 72160112064802131 12rr 145rr 32rr 1510001080011202131 234rr 248rr 2/50001080011202131 34)4/5(rr .40

17、 注注 本例的方法適合于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。本例的方法適合于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。22第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解將第將第 3, 4 列都加到第列都加到第 2 列得列得rqpqpspsrsrqsrqpD 11111111)(.0 23第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式.abbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1( D解解將第將第 2 至至 n 列都加到第列都加到第 1 列得列得P 13 例例 724第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 .)()

18、1(1 nbabnababababbbbna 1)1(00abbbabbbabbbbna1111)1( D將第一行將第一行減到其它行減到其它行25第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 計(jì)算計(jì)算cbabaacbabaacbabaadcba 363023200解解D逐行相減逐行相減baabaacbabaadcba 3002000abaacbabaadcba0002000 .4a P 12 例例 526第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式.1111111111111111yyxxD (采用采用“高化高化”方法方法)000011111yyxx 000100

19、010001000111111第一行的第一行的 ( 1) 倍加到其它行倍加到其它行 Dyyxx 1111111111111111解解(1) 當(dāng)當(dāng) x = 0 或或 y = 0 時(shí)，時(shí)，D = 0 ；(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 yx27第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 yyxxD 000100010001000111111yyxxyyxx 0000000000000000111111111.22yx 注意注意“雞爪雞爪”型型行列式行列式的處理的處理28第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式.111111111332313322212312111yxyx

20、yxyxyxyxyxyxyxD 解解(采用采用“高化高化”方法方法).0 0001321yyy第一行分別乘第一行分別乘321,xxx第第 2, 3, 4 行行減到減到按第一行按第一行(列列)展開(kāi)展開(kāi) D332313322212312111111111111yxyxyxyxyxyxyxyxyx 1111111111321321xxxyyy 29第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 1000010001)1(1 xxann111)1()1( nnnnaxD1221100001axaaaxxxDnnn .1nnaxD 按第一列展開(kāi)按第一列展開(kāi)解解例例 計(jì)算計(jì)算1221100000100001a

21、xaaaaxxxDnnnn 30第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 nnnaxaDx 122nnnnnaxaxaxaDx 1222211nnnnnaxaxaxaaxx 1222211)(.1222211nnnnnnaxaxaxaxax 進(jìn)一步，由進(jìn)一步，由 遞推可得：遞推可得：nnnaxDD 1nnnnaaxDxD )(12本題可直接按本題可直接按最后一行最后一行展開(kāi)。展開(kāi)。注注31第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 例例 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式.abbbcabbccabcccaDn abbbbacbabaacbaacba 0000000000000解解nD逐行相減逐行

22、相減,)()1()(111 nnnacbDba32第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 法一法一逐步遞推逐步遞推 11111)()()(nkknkncababDba.)()()(1111 nkknkncabababa法二法二b, c 互換互換nD.)()(11 nncabDba即得即得(A)nD,)()(11 nnbacDca(B)由由 (A), (B) 求解得求解得.)()(cbbaccabDnnn (漸悟漸悟)(頓悟頓悟)nD122)()()()( nnncabcabDbaba33第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 2211)1(2 nnDDnD按第按第 1 列展開(kāi)列展開(kāi)解解

23、例例 計(jì)算計(jì)算 n 階行列式階行列式21122112112 nD00,221 nnDD211 nnnnDDDD 12DD ,1 11 nnDD22 nD )1(1 nD.1 nP17 例例1134第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 考慮一個(gè)一般的兩步遞推式考慮一個(gè)一般的兩步遞推式,21cDbDaDnnn 附：附：如何將兩步遞推轉(zhuǎn)化為一步如何將兩步遞推轉(zhuǎn)化為一步遞推遞推,)()(211cDDDDnnnn 設(shè)設(shè)則有則有,ba 即即 , 是方程是方程 的兩個(gè)根。的兩個(gè)根。02 bxax比如，對(duì)于遞推式比如，對(duì)于遞推式 有有,20921 nnnDDD)5(4)5(211 nnnnDDDD ,

24、)5(4122DDn 進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為. )5(451221DDDDnnn 35第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 證證( (用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明) )21211xxD 12xx , )(12 jijixx例例 證明證明范德蒙德范德蒙德 (Vandermonde) 行列式行列式因此，當(dāng)因此，當(dāng) n = 2 時(shí)結(jié)論成立。時(shí)結(jié)論成立。 P15 例例9 36第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 證證 從從 Dn 的最后一行開(kāi)始，的最后一行開(kāi)始，下面假設(shè)結(jié)論對(duì)下面假設(shè)結(jié)論對(duì) n 1 階成立，要證結(jié)論對(duì)階成立，要證結(jié)論對(duì) n 階也成立。階也成立。的的 x1 倍減到下

25、一行，得倍減到下一行，得由下而上，依次將上一行由下而上，依次將上一行例例 證明證明范德蒙德范德蒙德 (Vandermonde) 行列式行列式 P15 例例9 37第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 ,111)()(223223211312 nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD,)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 按第按第 1 列展開(kāi)，并把每列的公因子提出，就有列展開(kāi)，并把每列的公因子提出，就有38第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 )()()(211312jj

26、ininnxxxxxxxxD . )(1jjinixx ,111)()(223223211312 nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD n 1 階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式由歸納法假設(shè)，即得：由歸納法假設(shè)，即得：39第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 解解將將 D 的第的第 1 行加到第行加到第 3 行得行得cbacbacbacbacbaD 222. )()()(bcacabcba 222111)(cbacbacba 試用范德蒙行列式計(jì)算試用范德蒙行列式計(jì)算.222baaccbcbacbaD 例例 3 階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式40第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)

27、算 行列式中行與列具有同等的地位，行列式中行與列具有同等的地位， 計(jì)算行列式的常用方法：計(jì)算行列式的常用方法：(1) 利用定義利用定義;(2) 利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立。行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立。小結(jié)小結(jié)從而得到行列式的值。從而得到行列式的值。41第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 解解nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn補(bǔ)充題補(bǔ)充題1,00103010021321nnDn 求求.11211nAAA 設(shè)設(shè) n 階行列式階行列式42第一章 行列式 1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 1/1)/1(1/1)/1(1/1)/1(1/1)/1(22222222ddddccccbbbbaaaaD 已知已知 abcd =1，計(jì)算計(jì)算補(bǔ)充題補(bǔ)充題2.0 dddcccbbbaaaabcd/1/11/1/11/1/