1324命題與證明(三角形外角和定理)

1、13.2.4命題與證明 （三角形的外角）張集中學(xué)張集中學(xué) 魏俊廷魏俊廷2、在、在ABC中，中，（1）C=90，A=30 ，則，則B=；（2）A=50 ，B=C，則，則B=.1、三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于多少度？、三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于多少度？3、在中，、在中， ：則：則， 4060806560本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.什么是三角形的外角？ 2.掌握三角形內(nèi)角和定理的推論3 與推論4，并學(xué)會(huì)應(yīng)用. 3.知道三角形的外角和等于360. 自學(xué)內(nèi)容：自學(xué)內(nèi)容：課本課本82頁(yè)頁(yè)83頁(yè)頁(yè)觀察觀察： BCA1DACB1DACB1D三個(gè)特征三個(gè)特征:1. 1的的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上; 2.

2、1的的一條邊是三角形的一條邊一條邊是三角形的一條邊; 3. 1的的另一條邊是三角形的某條邊的另一條邊是三角形的某條邊的延長(zhǎng)線延長(zhǎng)線 下面一組圖形中下面一組圖形中 1在各個(gè)圖形中的位置你能在各個(gè)圖形中的位置你能找出它們共同特征嗎？找出它們共同特征嗎？ABCD明確：三角形的外角明確：三角形的外角： 三角形的一邊與另一三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的叫做三角形的外角外角想一想想一想:1、每一個(gè)三角形有幾個(gè)外角？、每一個(gè)三角形有幾個(gè)外角？2、每一個(gè)頂點(diǎn)處相對(duì)應(yīng)的外角、每一個(gè)頂點(diǎn)處相對(duì)應(yīng)的外角有幾個(gè)？有幾個(gè)？3、這些外角中有幾個(gè)外角相等？、這些外角中有幾個(gè)外角相等？

3、4、三角形的每一個(gè)外角與三角、三角形的每一個(gè)外角與三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么位置關(guān)系形的三個(gè)內(nèi)角有什么位置關(guān)系畫一個(gè)三角形，再畫出它所有的外角畫一個(gè)三角形，再畫出它所有的外角。ABDEFC外外角角ABDEFC外外角角歸納：歸納：1、每一個(gè)三角形都有每一個(gè)三角形都有個(gè)個(gè)外角外角;2、每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有、每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有個(gè)個(gè); 4、一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對(duì)應(yīng)、一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對(duì)應(yīng)一個(gè)一個(gè)相鄰的內(nèi)角和兩個(gè)不相鄰的內(nèi)相鄰的內(nèi)角和兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角。角。3、這、這6個(gè)外角中有個(gè)外角中有3個(gè)外角相等。個(gè)外角相等。1 2 4 三角形的外角與三角形的內(nèi)三角形的外角與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)

4、量關(guān)系角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系? ?外角A 3B CD相鄰內(nèi)角不相鄰 內(nèi) 角1：相鄰的內(nèi)角：相鄰的內(nèi)角：2：不相鄰的兩內(nèi)角：不相鄰的兩內(nèi)角：ABCDE看一看：看一看：算一算：算一算：若若 A55， B=60,試求試求 ACB, ACD, CAE的度數(shù)并說出你的理由的度數(shù)并說出你的理由圖中哪些角是三角形的內(nèi)角，圖中哪些角是三角形的內(nèi)角，哪些角是三角形的外角？哪些角是三角形的外角？115606555125 ACB=180- A- B=65；ACD=180- ACB= B+ BAC=55+60=115;CAE=180- BAC= ACB+ B=125想一想：想一想：三角形的一個(gè)外角與其相鄰內(nèi)角三角形的

5、一個(gè)外角與其相鄰內(nèi)角之間有何關(guān)系？之間有何關(guān)系？已知如圖已知如圖:ACD是是ABC的外角，的外角， 則則 ACD與與ACB有何關(guān)系？并說明理由有何關(guān)系？并說明理由? ACD是是ABC的外角，的外角，(已知已知) ACD+ACB=180(鄰補(bǔ)角性質(zhì)鄰補(bǔ)角性質(zhì))解:三角形的一個(gè)外角與它三角形的一個(gè)外角與它相鄰內(nèi)角相鄰內(nèi)角的和是的和是180 ABCD答答: ACD與與ACB互補(bǔ)。互補(bǔ)。理由如下：理由如下：即：即： ACD與與ACB互補(bǔ)。互補(bǔ)。即：三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角即：三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角探究探究:你能用推理的方法來論證你能用推理的方法來論證ACD= ACD= B+

6、B+ A A嗎？嗎？你你能用幾種方法呢？相信你一定能行！能用幾種方法呢？相信你一定能行！DABCD ACD+ ACB=180又又A+ B+ ACB=180 A+ B= ACD 解：解：ABCACD =180 ACB A+ B =180 ACB（鄰補(bǔ)角的定義）（鄰補(bǔ)角的定義）（三角形內(nèi)角和（三角形內(nèi)角和180 ）(等量代換等量代換)方法一方法一:1（CE/BA）AE方法二：方法二：擅長(zhǎng)畫平行線的小麗用另一種方法解釋了這個(gè)性擅長(zhǎng)畫平行線的小麗用另一種方法解釋了這個(gè)性質(zhì)，看動(dòng)畫，你知道他是怎么解釋的嗎？哪位同質(zhì)，看動(dòng)畫，你知道他是怎么解釋的嗎？哪位同學(xué)證明一下。學(xué)證明一下。CBD三角形的一個(gè)外角等于

7、與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和角的和三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的任三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角有怎樣的大小關(guān)系意一個(gè)內(nèi)角有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)與同組的伙伴們交流一下請(qǐng)與同組的伙伴們交流一下ACD A ()；ACD B ()結(jié)論：三角形的一個(gè)外角大于任何一結(jié)論：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。ACBDACD= A+ B三角形的一個(gè)外角與三角形三個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系？三角形的一個(gè)外角與三角形三個(gè)內(nèi)角之間有何關(guān)系？ABCD三角形的一個(gè)外角等于與它三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。的和。三角形的一個(gè)外

8、角與任何一個(gè)與它三角形的一個(gè)外角與任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？不相鄰的內(nèi)角之間又有什么關(guān)系呢？三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。ACD BACD= A+ B ACD+ ACB=180ACD A歸結(jié)歸結(jié)1 1、說出下列各圖中、說出下列各圖中11的度數(shù)。的度數(shù)。30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 11=901=951=85鞏固訓(xùn)練：12606001=80, 2=40 3 32 21ABC564結(jié)論：三角形的結(jié)論：三角形的外角和等于外角和等于360360 解法一 1+4=180, 2+5=180, 3+6=1801

9、+4+2+5+3+6=540 4+5+6=180 1+2+3=3602 2例例5 5如圖，在ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角11、22 、33 ，你能求出1122 33 的度數(shù)嗎?通常把一個(gè)三角形每一個(gè)頂通常把一個(gè)三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處的點(diǎn)處的一個(gè)一個(gè)外角的和叫做外角的和叫做三三角形的外角和角形的外角和。BC1234AD 3 4方法方法2三角形的外角和三角形的外角和 對(duì)于三角形的每個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的對(duì)于三角形的每個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的三個(gè)外角兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的三個(gè)外角相加所得的和，叫做相加所得的和，叫做三角形的外角和三角形的外角和。結(jié)論：結(jié)論： 三角形的外角和等

10、于三角形的外角和等于360 判斷題：判斷題：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）2 2、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的2 2倍。（倍。（ ）3 3、三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和。（、三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和。（ ）4 4、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（ ）5 5、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。（、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。（ ）6 6、三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角。、三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰

11、的外角。（ ）基礎(chǔ)練習(xí)：4. （1）如圖，）如圖，ABC= _，ABD= _（2）直角三角形中，與直角相鄰的外角的度數(shù)是）直角三角形中，與直角相鄰的外角的度數(shù)是_ABCDE605.如下圖，點(diǎn)如下圖，點(diǎn)P是是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，內(nèi)任一點(diǎn)，連接連接BP并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)于點(diǎn)D，連接，連接CP，用不等號(hào)表示，用不等號(hào)表示A， BPC， PDC的大小關(guān)系，并說的大小關(guān)系，并說明理由。明理由。CABPD1105013090PDC是是ABD的一個(gè)外角的一個(gè)外角PDCABPC是是PDC的一個(gè)外角的一個(gè)外角BPCPDC BPC PDCA練習(xí)：已知練習(xí)：已知:如圖如圖6-14,在在ABC中中, 1是它的一個(gè)外

12、角是它的一個(gè)外角, E為邊為邊AC上一點(diǎn)上一點(diǎn),延延長(zhǎng)長(zhǎng)BC到到D,連接連接DE.求證求證: 12.w證明: 1是ABC的一個(gè)外角(已知),w 13(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和 它不相鄰的內(nèi)角).w 3是CDE的一個(gè)外角 (外角定義).w 32(三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和 它不相鄰的內(nèi)角).w 12(不等式的性質(zhì)).CABF1345ED2ABCDEFG + 180180A 想一想想一想用牛皮筋拉成如下形狀，你能用牛皮筋拉成如下形狀，你能夠求出夠求出 ABCDE123ADECFBNPM2 2、如圖、如圖, ,ABBDEF的度數(shù).A+B=1，C+D=2，E+F=3A+B+C+D+ E+F=1+2+3 1+2+3=360 A+B+C+D+ E+F= 3601 三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角性質(zhì)： 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。2 三角形的外角和等于三角形的外角和等于360 3 在求角的度數(shù)時(shí)，常可利用三角形的內(nèi)角和及外角在求角的度數(shù)時(shí)，?？衫萌切蔚膬?nèi)角和及外角的性質(zhì)來找數(shù)量關(guān)系；涉及圖形時(shí)，可先把已知條件的性質(zhì)來找數(shù)量關(guān)系；涉及圖