大連高等數(shù)學(xué)競賽試題B答案

1、大連市第二十三屆高等數(shù)學(xué)競賽試卷答案(B)閱卷人、填空題(本大題共5小題，每小題2分，總計(jì)10分)n,n11. lim=eA2nn1tanxsinx2. lim3=1/2.x0x33. limxx=1.x0xcost2dt4. lim0=1.x0x25. 右limxya-b2,則(a,b)(4,5).x1x2x2閱卷人.3.1，c、得分一m八5xsin(x0),行力I一、(本題10分)設(shè)f(x)x求f(x).1(x0),解當(dāng)x0時(shí)，f(x)3.1,、一、，xsin為一初等函數(shù)，這時(shí)x21f(x)3xsinxQ2.13xsin一x1cosx112x(6分)xcos;x當(dāng)x0時(shí)，由于xim0f(x

2、)Msin10xf(0),(8分)所以f(x)在x0處不連續(xù)，由此可知f(x)在x0處不可導(dǎo)。(10分)題號(hào)一二三四五六七八九十總分分?jǐn)?shù)、(本題8分)求函數(shù)f(x)1口的間斷點(diǎn)，并判斷類型2xxx21閱卷人得分解：x0,x1,x1為間斷點(diǎn)。(3分)當(dāng)x0時(shí)，一x1x2由于limf(x)lim1,x0x0x1|x|x.1x2.而limf(x)lim1,x0x0x1|x|所以x0是跳躍間斷點(diǎn)。(5分)當(dāng)x1時(shí)，一.x1x2由于limf(x)lim1,x1x1x1|x|所以x1是可去間斷點(diǎn)。(7分)當(dāng)x1時(shí)，而limf(x),x1所以x1是無窮間斷點(diǎn)。(8分)共四頁第1頁考生注意：考試時(shí)間150分鐘

3、試卷總分100分閱卷人得分16，四、(本題10分)曲線y-x(x0)上哪一點(diǎn)處的法線在y軸上的截距最小31解設(shè)ygx在(x因?yàn)閥2x5,所以kX整理后為Yy二y2x5法線在y軸上的截距為求此函數(shù)的極值：令bb1010x4,b(1):x,y）處的法線方程為Yy1，,法線方程為Yy2x51,X_1_162x42x52x43X,116b4-x。（6分）2x430,解得x11,x21（舍去）00,k（Xx）,1八（Xx）,（4分）2x5（8分）故b(1)為極小值。由于駐點(diǎn)唯一，知它即是最小值，因此曲線在點(diǎn)11,一處的法線在y軸上3截距最小。(10分)閱卷人得分.4sinx42cosx(sinx五、(本

4、題6分)求ysin4xcos4x的n階導(dǎo)數(shù).222、，2、,cosx)2sinxcosx1sin22x121cos4x(2分)1cos4x,410-(sin4x)44cos(4x)(3分)4cos(4x22)(4分)所以y(n)4n1cos(4xn).(6分)閱卷人六、(本題10分)討論方程lnxax(其中a0)有幾個(gè)實(shí)根得分解：設(shè)f(x)lnx-1當(dāng)x時(shí)，f(x)a，一，1、八當(dāng)f(一)0時(shí)，即a2分)。1.1ax,x(0,)，則f(x)a,故x為f(x)的駐點(diǎn)(xa0,當(dāng)x1時(shí)，f(x)0,所以f(1)為最大值。(4分)aa1,.Ina10,即0a一時(shí)，由于elimf(x),limf(x)

5、x0x1所以當(dāng)0a一時(shí)，此時(shí)萬程有兩個(gè)根。(8分)e當(dāng)f(l)0時(shí)，即a1時(shí)，此時(shí)方程有一個(gè)根。(9分)ae當(dāng)f(l)0時(shí)，即a1時(shí)，方程無根.(10分)ae共四頁第2頁閱卷人得分七、（本大題共3小題，每小題6分，總計(jì)18分）,、1(1) dx.1 tanx-1解dx1tanxcosx,dxsinxcosxcosxsinxcosxsinxcosxsinx,/c八、dx(2分)1/cosxsinx,1一1dx-x2sinxcosx21d(sinxcosx)sinxcosx(4分)2(xln|cosxsinx|)C.(6分)(2)sin(lnx)dx解:sin(lnx)dxxsin(lnx)xco

6、s(lnx)1.,八-dx(2分)xxsin(lnx)xcos(lnx)1一xsin(lnx)-dxx(4分)xsin(lnx)xcos(lnx)sin(lnx)dx所以2sin(lnx)dxxsin(lnx)cos(lnx)C.(5分)xsin(lnx)dx-sin(lnx)cos(lnx)C.(6分)解由于而f(x)所以(3)24sinxdx.aaf(x)dxa0f(x)f(x)dx,(2分)f(x)2sinx2sinxx.x1esin2xex11exsin2x(4分)4sin2x43dx“e07sin2xdxcos2x,dx2閱卷人xf(t)dta兩式相減,b/出得2f(x)所以2|f(

7、x)|f(x)f(b)1.sin4（本題f(a)f(x)xaf(t)dtaxf(t)dtax|f(t)|dta2x,1|f(x)|210分)f(x),2,一.(68分）設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0,1|f(x)|2f(x),(3分)(t)dt,(5分)(t)dt(7分)bx|f(t)|dtb|f(t)|dtab|f(x)|dx.(10分)a證明:b|f(x)|dx(axb).a(9分)共四頁第3頁閱卷人得分九、(本題8分)已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且1而四x0X0,f(1)0,證明:存在點(diǎn)(0,1),使得f()0.(2分)證明：由limfx)1,得f(0)0,f(0)0,函數(shù)f(x)在0,1連續(xù)，(0,1)可導(dǎo)，f(0)Xf(1)0,由羅爾定理，至少存在X0(0,1)使f(x0)0(6分)函數(shù)f(x)在0,x0連續(xù)，(0,x°)可導(dǎo)，f(0)f(x0)0,由羅爾定理，至少存在(0,x0)(0,1)使(10分)閱卷人得分十、(本題10分)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)e2xx0(xt)fdt,求f(x).x解將上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f(x)2eof(t)dt,(2分)再對(duì)上式求導(dǎo)，得2x2xf(x)4ef(x),即f(x)f(x)4e。(4分)由已知條件，可知f(0)1,f(0)2。(6分)因此