高等數(shù)學(xué) 上、下冊2_5 高階導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 如如果果函函數(shù)數(shù)( )yf x的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)( )yfx仍仍是是x的的可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，那那么么就就稱稱( )fx的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為( )f x的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，相相應(yīng)應(yīng)地地，這這時時稱稱( )fx為為( )f x的的一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)記記為為： 22d,( ),dyyfxx或或22ddfx 類類似似地地，可可以以定定義義( )f x的的三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，四四階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，一一般般地地，( )f x的的 n-1 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為( )f x的的 n 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的記記號號是是33d,( ),dyyfxx或或

2、33d.dfx4n 時時的的 n 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的記記號號是是( )( )d,( ),dnnnnyyfxx或或d.dnnfx二二階階或或二二階階以以上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 例例如如，自自由由落落體體的的位位置置函函數(shù)數(shù)21( )2s tgt，一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)( )( )v ts tgt是是瞬瞬時時速速度度，( )()s tgtg是是加加速速度度 . 解解 因因為為4( )583,fxxx 則則 43( )(583)208fxxxx 所所以以31(1)(208)|12.xfx 例例 1 設(shè)設(shè)52( )43 ,f xxxx 求求( )fx及及(1)f . 例例 2 證證明明

3、：e sinxyx滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式220.yyy 證明證明 因為因為 e sine cosxxyxx e (sincos ),xxx esincosecossin2e sinxxxyxxxxx 0 所以所以 22yyy 2e cos2esincos2e sinxxxxxxx 0 故故e sinxyx滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式 220.yyy 例例3 求求正正弦弦函函數(shù)數(shù)sinyx的的n 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 解解 (sin )cosyxxsin()2x, sin()cos()22yxx sin(2),2x cos(2)2yx sin(3 ),2x 由此類推，可以得到由此類推，可以得到 ( )( )(s

4、in )sin()(1,2,3,.)2nnyxxnn 用類似的方法，可得用類似的方法，可得 ( )(cos )cos()(1,2,3,.)2nxxnn 例例 4 求求對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)ln(1)(1)yxx的的 n 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 解解 11(1) ,1yxx 2(1) ,yx ( 3)( 1)( 2)(1),yx (4)( 4)( 1)( 2)( 3)(1).yx 由此類推，可得由此類推，可得 ( )( )(1)( )(1)!(ln(1)( 1)(1)nnnnnyxx (1)(1,2,.).xn 注注 0! 1,因因此此，這這個個結(jié)結(jié)果果1n 時時也也成成立立. 例例5 求求函函數(shù)數(shù)21( )(1,5)65f xxxx的的n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)的求法作業(yè)作業(yè)P98 2(3), (4), 3(2), 4, 5(2)(1)