杭電數(shù)字信號處理劉順蘭版 第4章

1、第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.1 數(shù)字濾波器的結構特點與表示方法數(shù)字濾波器的結構特點與表示方法4.2 IIR濾波器的結構濾波器的結構 4.3 FIR濾波器的結構濾波器的結構 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.1 數(shù)字濾波器的結構特點與表示方法數(shù)字濾波器的結構特點與表示方法 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分。數(shù)字濾波實際上是一種運算過程，其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設備。數(shù)字濾波器一般可以用兩種方法實現(xiàn)：一種是根據描述數(shù)字濾波器的數(shù)學模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設備

2、，構成專用的信號處理機；另一種方法就是直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序讓計算機來執(zhí)行， 這也就是用軟件來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。 一般時域離散系統(tǒng)或網絡可以用差分方程、單位脈沖響應以及系統(tǒng)函數(shù)進行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程 )()()(10inyainxbnyNiiMii(4-1) 則其系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的傳遞函數(shù)為 NiiiMiiizazbzH101)(4-2) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 為了用專用硬件或軟件實現(xiàn)對輸入信號的處理，需要把式（4-1）或式(4-2)變換成一種算法。對于同一個

3、系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對應于一種不同的運算結構（網絡結構）。例如： 11112111211112122311)(zzzzzzzH (4-3) 觀察式(4-3)可知，對應于每一種不同的運算結構，我們都可以用三種基本的運算單元：乘法器、加法器和單位延時器來實現(xiàn)。這三種基本運算單元的常用流圖表示方法如圖4-1 所示。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-1 三種基本運算的流圖 z1x(n)x(n1 )x(n)aax(n)x2(n)x1(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n1 )x(n)x2(n)x1(n)x1(n) x2(n)z1ax(n)a第4章

4、 數(shù)字濾波器的基本結構 4.2 IIR濾波器的結構濾波器的結構 4.2.1 直接型（直接型（型）型） 一個N階的IIR濾波器的輸入輸出關系可以用如式（4-1）所示的N階的差分方程來描述。 把式（4-1）重寫如下： NiiMiiinyanxbny10)() 1()(第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 從這個差分方程表達式可以看出，系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構成：第一部分是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結構，每階延時抽頭后加權相加，構成一個橫向結構網絡。 第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結構網絡，是由輸出到輸入的反饋網絡。 由這兩部分相加構成輸出，取M=N可得其結構圖如圖4-2。從圖上可

5、以看出，直接型結構需要2N個延時器和2N+1個乘法器。 )(0inxbMii)(0inyaNii第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-2 直接型結構 z 1z 1z 1bN 1bNb2b1b0 x(n)x(n 1)x(n 2)x(n N)z 1z 1z 1aN 1aNa2a1y(n)y(n 1)y(n 2)y(n N)第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.2.2 直接直接型型 直接型結構又稱為正準型結構。由圖4-2，直接型結構的系統(tǒng)函數(shù)H(z)也可以看成是兩個獨立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積。輸入信號x(n)先通過系統(tǒng)H1(z)，得到中間輸出變量y1(n)，然后再把y1(n)通過系統(tǒng)H2(z)得到輸出信號y(

6、n)。 即 NiiiMiiizazbzHzHzH10211)()()(第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 式中, MiiizbzH01)(對應的差分方程為:NiiiMiizazHinxbny120111)()()(對應的差分方程為 )()()(11nyinyanyNii第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 假設所討論的IIR數(shù)字濾波器是線性非時變系統(tǒng)，顯然交換H1(z)和H2(z)的級聯(lián)次序不會影響系統(tǒng)的傳輸效果，即 )()()()()(1221zHzHzHzHzH若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子階數(shù)和分母階數(shù)相等，即M=N時，其結構如圖4-3所示。 輸入信號x(n)先經過反饋網絡H2(z)，得到中間輸出變量 )(

7、)()(122nxinyanyNii然后，將y2(n)通過系統(tǒng)H1(z)，得到系統(tǒng)的輸出y(n) )()(02inybnyMii第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 結構圖4-3中有兩條完全相同的對中間變量y2(n)進行延遲的延時鏈，我們可以合并這兩條延時鏈，得到如圖4-4所示的直接型結構（圖中取M=N）。 比較圖4-2和圖4-4可知: 直接型比直接型結構延時單元少，用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接型經濟；若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。但對于高階系統(tǒng)直接型結構都存在調整零、 極點困難，對系數(shù)量化效應敏感度高等缺點。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-3 直接型的變形結構 x(n)y(n)z1z1z

8、1aN1aNa2a1z1z1z1bN1bNb2b1b0y2(n)y2(n1 )y2(n2 )y2(n N)第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-4 直接型結構 x(n)y(n)z1z1z1aN1aNa2a1bN1bNb2b1b0第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.2.3 級聯(lián)型級聯(lián)型 若把式(4-2)描述的N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分別進行因式分解，得到多個因式連乘積的形式 NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(4-4) 式中：A為常數(shù)，ci和di分別表示H(z)的零點和極點。由于H(z)的分子和分母都是實系數(shù)多項式，而實系數(shù)多項

9、式的根只有實根和共軛復根兩種情況。將每一對共軛零點（極點）合并起來構成一個實系數(shù)的二階因子，并把單個的實根因子看成是二次項系數(shù)等于零的二階因子，則可以把H(z)表示成多個實系數(shù)的二階數(shù)字網絡Hj(z)的連乘積形式， 如式(4-5)所示: 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 KjjzHAzH1)()(4-5) 式中：式中： 2211221101)(zzzzzHjjjjjj 若每一個實系數(shù)的二階數(shù)字網絡的系統(tǒng)函數(shù)Hj(z)的網絡結構均采用前面介紹的直接型結構，則可以得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的級聯(lián)型結構，如圖4-5所示。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-5 級聯(lián)型結構 x(n)y(n)z1z111211

10、12101z1z11K2K1K2K0KA第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 在級聯(lián)型結構中，每一個一階網絡只關系到濾波器的一個零點、一個極點；每個二階網絡只關系到濾波器的一對共軛零點和一對共軛極點。調整系數(shù)0j、1j和2j只會影響濾波器的第j對零點，對其他零點并無影響；同樣, 調整分母多項式的系數(shù)1j和2j也只單獨調整了第j對極點。因此，與直接型結構相比， 級聯(lián)型結構便于準確地實現(xiàn)濾波器零、極點的調整。此外，因為在級聯(lián)結構中，后面的網絡的輸出不會流到前面，所以其運算誤差也比直接型小。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.2.4 并聯(lián)型并聯(lián)型 把傳遞函數(shù)H(z)展開成部分分式之和的形式，就可以得到濾波器

11、的并聯(lián)型結構。 當N=M時，展開式為 NiiiiNzdAAzHzHzHAzH102101)()()()( 和級聯(lián)型結構的方法類似，將上式中的共軛復根部分兩兩合并得到實系數(shù)的二階網絡，則有 FiiiiiEiiizzzzpAAzH1221111011011)( (4-6) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 式中, N=E+2F。 由式（4-6）知，濾波器可由E個一階網絡、F個二階網絡和一個常數(shù)支路并聯(lián)構成， 其結構如圖4-6所示。 并聯(lián)型結構也可以單獨調整極點位置，但對于零點的調整卻不如級聯(lián)型方便，而且當濾波器的階數(shù)較高時，部分分式展開比較麻煩。在運算誤差方面，由于各基本網絡間的誤差互不影響， 沒有誤

12、差積累， 因此比直接型和級聯(lián)型誤差稍小一點。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖圖4-6 并聯(lián)型結構并聯(lián)型結構 x(n)11z121z101111Fz12Fz10F1Fz1A1A0p1y(n)第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.3 FIR濾波器的結構濾波器的結構 4.3.1 直接型直接型 設FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)的長度為N，其傳遞函數(shù)和差分方程分別為: 10)()(NnnznhzH(4-7) 10)()()(Nmmnxmhny(4-8) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 根據式（4-7）或式（4-8）可直接畫出如圖4-7所示的FIR濾波器的直接型結構。 由于該結構利用輸入信號x(n)和

13、濾波器單位脈沖響應h(n)的線性卷積來描述輸出信號y(n)，所以FIR濾波器的直接型結構又稱為卷積型結構， 有時也稱為橫截型結構。 圖圖 4-7 FIR的直接型結構的直接型結構 z1x(n)h(0)h(1)z1h(2)h(N3 )z1h(N2 )z1h(N1 )y(n)第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.3.2 級聯(lián)型級聯(lián)型 當需要控制系統(tǒng)傳輸零點時，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實系數(shù)因子的形式： 10122110)()()(NnMiiiinzazaaznhzH圖圖 4-8 FIR的級聯(lián)型結構的級聯(lián)型結構 x(n)y(n)z 1z 1a11a21a01z 1z 1a12a22a02z 1z 1a

14、1Ma2Ma0M第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 4.3.3 頻率采樣型頻率采樣型 由頻域采樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數(shù)N為周期進行周期延拓的結果，當N大于等于原序列h(n)長度M時hN(n)=h(n)，不會發(fā)生信號失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內插得到， 內插公式如下： 1011)(1)1 ()(NkkNNzWkHNzzH(4-10) 式中： kNjezzHkH2)()( k=0, 1, 2, , N-1 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 式(4-10)

15、為實現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結構。H(z)也可以重寫為 10)()(1)(NkkczHzHNzH(4-11) 式中： 11)()(1)(zWkHzHzzHkNkNc顯然，H(z)的第一部分Hc(z)是一個由N階延時單元組成的梳狀濾波器，如圖4-9所示。它在單位圓上有N個等間隔的零點 iNiNjiWez2i=0, 1， 2, , N-1 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-9 梳狀濾波器 x(n)yc(n) z No|Hc(e j)|2 / N第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 第二部分是由N個一階網絡 組成的并聯(lián)結構，每個一階網絡在單位圓上有一個極點 kNjkNkeWH2因此，H(z)的第二部分是

16、一個有N個極點的諧振網絡。這些極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應等于H(k)。把這兩部分級聯(lián)起來就可以構成FIR濾波器的頻率采樣型結構，如圖4-10所示。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 圖 4-10 FIR濾波器的頻率采樣型結構 z1z1H(0)H(1)y(n)1 / Nz1H(N1) z Nx(n)0NW1 NW1 NNW 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 FIR濾波器的頻率采樣型結構的主要優(yōu)點：首先，它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在=2k/N 處的響應值，因此可以直接控制濾波器的響應；此外，只要濾波器的N階數(shù)相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的

17、結構完全相同，N個一階網絡部分的結構也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結構便于標準化、模塊化。但是該結構也有兩個缺點： （1）該濾波器所有的系數(shù)H(k)和WN-k一般為復數(shù)，復數(shù)相乘運算實現(xiàn)起來較麻煩。 （2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，極點就可能移到單位圓外， 造成零極點不能完全對消，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 為了克服上述缺點， 對頻率采樣結構作以下修正。 首先，單位圓上的所有零、極點向內收縮到半徑為r的圓上， 這里r稍小于1。此時H(z)為 1011)(1)1 ()(NkkNrNNzrWkHNzr

18、zH(4-12) 式中，Hr(k)是在r圓上對H(z)的N點等間隔采樣之值。由于r1， 所以，可近似取Hr(k)=H(k)。 因此 1011)(1)1 ()(NkkNNNzrWkHNzrzH(4-13) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 根據DFT的共軛對稱性，如果h(n)是實序列，則其離散傅里葉變換H(k)關于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。又因為 ，為了得到實系數(shù)，我們將Hk(z)和HN-k(z)合并為一個二階網絡， 記為Hk(z)(*)(kNNkNWW2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzaazWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHz

19、HkkkNkNkNNkNk）（12, 2 , 1Nk第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 式中式中: )(Re2)(Re210kNkkWkrHakHa 該二階網絡是一個諧振頻率為k=2k/N的有限Q值的諧振器，其結構如圖4-11 所示。 除了共軛復根外H(z)還有實根。當N為偶數(shù)時，有一對實根z=r， 除二階網絡外尚有兩個對應的一階網絡: 12/101)2/()(1)0()(z rNHzHz rHzHN第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 z1 r2z1a0ka1kkNr2cos2圖 4-11第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 這時的H(z)如式(4-14)，其結構如圖4-12所示。圖中Hk(z), z=1, 2,

20、 , N/2-1 的結構如圖 4.11 所示。 12/12/0)()()(1)1 ()(NkkNNNzHzHzHNzrzH(4-14) 當N為奇數(shù)時，只有一個實根z=r，對應于一個一階網絡H0(z)。這時的H(z)為 2/ )1(10)()(1)1 ()(NkkNNzHzHNzrzH(4-15) 顯然，N等于奇數(shù)時的頻率采樣修正結構由一個一階網絡結構和(N-1)/2個二階網絡結構組成。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結構 一般來說，當采樣點數(shù)N較大時，頻率采樣結構比較復雜， 所需的乘法器和延時器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率采樣結構比較經濟。 （1） 對于窄帶濾波器，其多數(shù)采樣值H(k)為零，諧振器柜中只