高中全程復(fù)習(xí)方略配套空間幾何體的表面積與體積 (2)ppt課件

1、第二節(jié) 空間幾何體的外表積與體積三年三年2525考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式( (不要求記不要求記憶公式憶公式) )1.1.從近幾年的高考來看，本節(jié)內(nèi)容成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，主要從近幾年的高考來看，本節(jié)內(nèi)容成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，主要調(diào)查：調(diào)查：(1)(1)常見幾何體的側(cè)面積、外表積與體積；常見幾何體的側(cè)面積、外表積與體積；(2)(2)幾何體中幾何體中有關(guān)截面的問題；有關(guān)截面的問題；(3)(3)結(jié)合三視圖求空間幾何體或簡單組合體的結(jié)合三視圖求空間幾何體或簡單組合體的外表積或體積外表積或體積2.2.從調(diào)查方式上

2、看，多以選擇題、填空題的方式出現(xiàn)，有時(shí)也從調(diào)查方式上看，多以選擇題、填空題的方式出現(xiàn)，有時(shí)也以解答題的方式出現(xiàn)，難度不大，屬容易題以解答題的方式出現(xiàn)，難度不大，屬容易題3.3.本部分內(nèi)容的難點(diǎn)是與球有關(guān)的組合體問題本部分內(nèi)容的難點(diǎn)是與球有關(guān)的組合體問題1.1.空間幾何體的側(cè)面積和外表積空間幾何體的側(cè)面積和外表積(1)(1)簡單幾何體的側(cè)面展開圖的外形簡單幾何體的側(cè)面展開圖的外形稱號(hào)稱號(hào) 側(cè)面展開圖外形側(cè)面展開圖外形 側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖圓柱圓柱 矩形矩形圓錐圓錐 扇形扇形lcrlcr圓臺(tái)圓臺(tái) 扇環(huán)扇環(huán)直棱柱直棱柱 矩形矩形ccrrlhc 正正n n棱錐棱錐 n n個(gè)全等的個(gè)全等的等腰三角形等腰

3、三角形正正n n棱臺(tái)棱臺(tái) n n個(gè)全等的個(gè)全等的等腰梯形等腰梯形chh側(cè)面展開側(cè)面展開hhcc側(cè)面展開側(cè)面展開(2)(2)多面體的側(cè)面積和外表積多面體的側(cè)面積和外表積由于多面體的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面由于多面體的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，外表積是側(cè)面積與底面積的和展開圖的面積，外表積是側(cè)面積與底面積的和(3)(3)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和外表積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和外表積假設(shè)圓柱的底面半徑為假設(shè)圓柱的底面半徑為r r，母線長為，母線長為l l，那么，那么S S側(cè)側(cè)=_,S=_,S表表=_=_.=_=_.2rl2rl2r2+2rl2r2+2rl2r(r+l)2

4、r(r+l)假設(shè)圓錐的底面半徑為假設(shè)圓錐的底面半徑為r r，母線長為，母線長為l l，那么，那么S S側(cè)側(cè)=_,S=_,S表表=_=_.=_=_.假設(shè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為假設(shè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為r,rr,r，那么，那么S S側(cè)側(cè)=_,S=_,S表表=_.=_.假設(shè)球的半徑為假設(shè)球的半徑為R R，那么它的外表積，那么它的外表積S=_.S=_.rlrlr2+rlr2+rl r(r+l)r(r+l)(r+r)l(r+r)l(r2+r2+rl+rl)(r2+r2+rl+rl)4R24R2【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】(1)(1)思索：四棱柱、四棱錐、四棱臺(tái)是由多少個(gè)平面圖形圍成思索：四棱柱、四棱錐、

5、四棱臺(tái)是由多少個(gè)平面圖形圍成的多面體，它們的展開圖是什么？的多面體，它們的展開圖是什么？提示：四棱柱是由提示：四棱柱是由6 6個(gè)平面圖形圍成的多面體，它的展開圖是個(gè)平面圖形圍成的多面體，它的展開圖是4 4個(gè)平行四邊形及兩個(gè)全等的四邊形；四棱錐是由個(gè)平行四邊形及兩個(gè)全等的四邊形；四棱錐是由5 5個(gè)平面圖形個(gè)平面圖形圍成的多面體，它的展開圖是圍成的多面體，它的展開圖是4 4個(gè)共頂點(diǎn)的三角形及一個(gè)四邊個(gè)共頂點(diǎn)的三角形及一個(gè)四邊形；四棱臺(tái)是由形；四棱臺(tái)是由6 6個(gè)平面圖形圍成的多面體，它的展開圖是個(gè)平面圖形圍成的多面體，它的展開圖是4 4個(gè)個(gè)梯形及兩個(gè)類似的四邊形梯形及兩個(gè)類似的四邊形. .(2)(2

6、)棱長為棱長為2 2的正四面體的外表積為的正四面體的外表積為_【解析】正四面體的外表積為【解析】正四面體的外表積為答案：答案： 234 (2 )4 3.44 3(3)(3)假設(shè)某幾何體的三視圖假設(shè)某幾何體的三視圖( (單位：單位：cm)cm)如下圖，那么此幾何體如下圖，那么此幾何體的側(cè)面積的側(cè)面積=_cm2. =_cm2. 【解析】由三視圖可知該幾何體是圓錐，其底面半徑為【解析】由三視圖可知該幾何體是圓錐，其底面半徑為3 3，母，母線長線長l=5,Sl=5,S側(cè)側(cè)= = 223 35=15 (cm2).5=15 (cm2).答案：答案：1515122.2.幾何體的體積公式幾何體的體積公式幾何體

7、稱號(hào)幾何體稱號(hào) 體積體積棱圓柱棱圓柱 V=_,V=_,S S為底面面積，為底面面積，h h為高為高棱圓錐棱圓錐 V=_V=_，S S為底面面積，為底面面積，h h為高為高 棱圓臺(tái)棱圓臺(tái) V=_,V=_,(S,S(S,S為上、下底面面積，為上、下底面面積，h h為高為高) )球球 V=_V=_，R R為球半徑為球半徑1Sh31SSSSh3 （）34R3ShSh【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】(1)(1)知正方體外接球的體積是知正方體外接球的體積是 ，那么正方體的棱長為，那么正方體的棱長為_._.(2)(2)知某個(gè)幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸知某個(gè)幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸( (

8、單位：單位：cm)cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是，可得這個(gè)幾何體的體積是_. _. 323【解析】【解析】(1)(1)設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為a,a,外接球的半徑為外接球的半徑為R R，那么那么 由題意知由題意知V V球球= =R=2R=2，32R3a,Ra,23432R33，34 3a2,a.23 (2)(2)由三視圖知該幾何體是如下圖的四棱由三視圖知該幾何體是如下圖的四棱錐錐P-ABCDP-ABCD，其中側(cè)面，其中側(cè)面PBCPBC底面底面ABCDABCD，且頂，且頂點(diǎn)點(diǎn)P P在底面的射影是在底面的射影是BCBC邊的中點(diǎn)，四棱錐的邊的中點(diǎn)，四棱錐的高為高為2020，底面，底面ABCD

9、ABCD是邊長為是邊長為2020的正方形的正方形. .答案：答案：23P ABCD18 000V2020cm.33 34 38 00012cm33幾何體的外表積幾何體的外表積【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】 1.1.幾何體外表積的求法幾何體外表積的求法(1)(1)假設(shè)所給的幾何體是規(guī)那么的柱體、錐體或臺(tái)體，那么可假設(shè)所給的幾何體是規(guī)那么的柱體、錐體或臺(tái)體，那么可直接利用公式進(jìn)展求解；直接利用公式進(jìn)展求解；(2)(2)假設(shè)以三視圖的方式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖假設(shè)以三視圖的方式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進(jìn)展分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，進(jìn)展分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素

10、間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解；得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解；(3)(3)多面體的外表積是各個(gè)面的面積之和；旋轉(zhuǎn)體的外表積等多面體的外表積是各個(gè)面的面積之和；旋轉(zhuǎn)體的外表積等于側(cè)面面積與底面面積的和于側(cè)面面積與底面面積的和2.2.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積的求法旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積的求法計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，普通采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)展，即將側(cè)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，普通采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)展，即將側(cè)面展開化為平面圖形來處理，因此要熟習(xí)常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展面展開化為平面圖形來處理，因此要熟習(xí)常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的外形及平面圖形面積的求法開圖的外形及平面圖形面積的求法【提示】解題中要注不

11、測表積與側(cè)面積的區(qū)別，對于組合體的【提示】解題中要注不測表積與側(cè)面積的區(qū)別，對于組合體的外表積還應(yīng)留意重合部分的處置外表積還應(yīng)留意重合部分的處置. . 【例【例1 1】(1)(2021(1)(2021北京高考北京高考) )某四棱錐的三視圖如下圖，某四棱錐的三視圖如下圖，該四棱錐的外表積是該四棱錐的外表積是( )( )(A)32(A)32(B)16+16(B)16+16(C)48(C)48(D)16+32 (D)16+32 22(2)(2)一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為_._.【解題指南】【解題指南】(1)(1)由三視圖得到幾何體

12、的外形，然后根據(jù)圖中由三視圖得到幾何體的外形，然后根據(jù)圖中數(shù)據(jù)及面積公式計(jì)算外表積即可數(shù)據(jù)及面積公式計(jì)算外表積即可(2)(2)先將三視圖復(fù)原為實(shí)物圖，并畫出直觀圖，然后將三視圖先將三視圖復(fù)原為實(shí)物圖，并畫出直觀圖，然后將三視圖中的條件轉(zhuǎn)化到直觀圖中求解中的條件轉(zhuǎn)化到直觀圖中求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.畫出該幾何體的直觀圖如下圖可得畫出該幾何體的直觀圖如下圖可得斜高為斜高為 ，外表積為，外表積為22222 2214 (4 2 2)416 16 2.2 (2)(2)由三視圖知，該幾何體由上、下兩個(gè)長方體組合而成由三視圖知，該幾何體由上、下兩個(gè)長方體組合而成. .下面下

13、面長方體的長、寬、高分別為長方體的長、寬、高分別為8 8，1010，2 2；上面長方體的長、寬、；上面長方體的長、寬、高分別為高分別為6 6，2 2，8 8，如圖，如圖，SS表表=2=210108+28+2(8+10)(8+10)2+22+2(2+6)(2+6)8=360.8=360.答案：答案：360360【互動(dòng)探求】本例【互動(dòng)探求】本例(2)(2)中的條件不變，如何求該幾何體的體積中的條件不變，如何求該幾何體的體積. .【解析】由【解析】由(2)(2)的解析知該幾何體的外形的解析知該幾何體的外形. .V=2V=26 68+28+28 810=256.10=256.【反思【反思感悟】感悟】1

14、.1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需求將曲面展為平面圖形計(jì)算，而外表積是側(cè)面積與底面積時(shí)需求將曲面展為平面圖形計(jì)算，而外表積是側(cè)面積與底面圓的面積之和圓的面積之和2.2.留意對面積公式的討論都是利用展開圖進(jìn)展的留意對面積公式的討論都是利用展開圖進(jìn)展的, ,解題中要留解題中要留意將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形這一方法的運(yùn)用；意將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形這一方法的運(yùn)用；3.3.扇形和扇環(huán)的面積扇形和扇環(huán)的面積類比三角形的面積公式得：弧長為類比三角形的面積公式得：弧長為l l，半徑為，半徑為r r的扇形的面積為的扇形的面積為 類比梯形的面積公式得：內(nèi)弧長為

15、類比梯形的面積公式得：內(nèi)弧長為l l ，外弧長為，外弧長為l l，外半徑減內(nèi)半徑為外半徑減內(nèi)半徑為r r的扇環(huán)面積為的扇環(huán)面積為1Sr2；l1Sr2ll【變式備選】【變式備選】(1)(1)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該幾何體的外表積為可得該幾何體的外表積為( )( )(A)18 (B)30 (C)33 (D)40(A)18 (B)30 (C)33 (D)40【解析】選【解析】選C.C.由三視圖知該幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組由三視圖知該幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成球半徑和圓錐底面半徑都等于成球半徑和圓錐底面半徑都等于3 3，圓錐的母線長

16、等于，圓錐的母線長等于5 5，所，所以該幾何體的外表積以該幾何體的外表積S S2232323 35 533.33.(2)(2)如下圖，以圓柱的下底面為底面，如下圖，以圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，那么該圓錐與圓柱等底等高假設(shè)圓錐的軸那么該圓錐與圓柱等底等高假設(shè)圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，那么圓柱的側(cè)面積截面是一個(gè)正三角形，那么圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為與圓錐的側(cè)面積之比為_._.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r r，那么母線長為，那么母線長為2r2r，高為，高為圓柱的底面半徑為圓柱的底面半徑為r r，高為，高

17、為 答案：答案： 3r，S2r3r3.Sr 2r圓柱側(cè)圓錐側(cè)3r，3幾何體的體積幾何體的體積【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.求幾何體體積的思緒求幾何體體積的思緒(1)(1)假設(shè)所給定的幾何體是規(guī)那么的柱體、錐體或臺(tái)體，那么可假設(shè)所給定的幾何體是規(guī)那么的柱體、錐體或臺(tái)體，那么可直接利用公式進(jìn)展求解直接利用公式進(jìn)展求解. .(2)(2)假設(shè)所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，那么常假設(shè)所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，那么常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)展求解用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)展求解. .(3)(3)假設(shè)以三視圖的方式給出幾何體，那么應(yīng)先根據(jù)三視圖得到假設(shè)以三視圖的方

18、式給出幾何體，那么應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解2.2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系, ,可表示為可表示為【提示】在立體幾何的計(jì)算問題中，不要忘記必要的推理過【提示】在立體幾何的計(jì)算問題中，不要忘記必要的推理過程程 【例【例2 2】(1)(2021(1)(2021新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷) )知兩個(gè)圓錐有公共底面，且知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，假設(shè)圓錐底面面兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，假設(shè)圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的積是這個(gè)球面面積的 ，那么這

19、兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與，那么這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為體積較大者的高的比值為_._.316(2)(2021(2)(2021福州模擬福州模擬) )知某幾何體的俯視圖是如下圖的矩知某幾何體的俯視圖是如下圖的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長為形，正視圖是一個(gè)底邊長為8 8，高為，高為4 4的等腰三角形，側(cè)視圖是的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為一個(gè)底邊長為6 6，高為，高為4 4的等腰三角形的等腰三角形求該幾何體的體積求該幾何體的體積V V；求該幾何體的側(cè)面積求該幾何體的側(cè)面積S S【解題指南】【解題指南】(1)(1)畫出組合體的截面圖，利用直角三角形中的邊畫出組合體的截面圖

20、，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求圓錐底面圓的圓心與球心的間隔即可角關(guān)系求圓錐底面圓的圓心與球心的間隔即可. .(2)(2)根據(jù)三視圖可得到幾何體的直觀圖，結(jié)合相應(yīng)數(shù)據(jù)及公式求根據(jù)三視圖可得到幾何體的直觀圖，結(jié)合相應(yīng)數(shù)據(jù)及公式求解即可解即可【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)如圖，設(shè)球的半徑為如圖，設(shè)球的半徑為R R，圓錐底面圓的半徑為，圓錐底面圓的半徑為r,r,那么依題意得那么依題意得r2= r2= 4R2,4R2,即即OCO=30OCO=30,OO= R,OO= R,AO=R- R,BO=R+ R,AO=R- R,BO=R+ R,答案：答案： 316r3cos OCO,R2 1212121RA

21、O12.3BO3R213(2)(2)由知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為由知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4 4，頂點(diǎn)在底面，頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐的射影是矩形中心的四棱錐P-ABCDP-ABCDV= V= (8(86)6)4=64.4=64.該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面PADPAD、PBCPBC是全等的等腰三角形，且是全等的等腰三角形，且BCBC邊上邊上的高為的高為 另兩個(gè)側(cè)面另兩個(gè)側(cè)面PABPAB、PCDPCD也是全等的等腰也是全等的等腰三角形，三角形，ABAB邊上的高為邊上的高為因此因此132218h4( )4 22，2226h4( )52 ，11S2 (6 4

22、 28 5)40 24 222 【互動(dòng)探求】本例第【互動(dòng)探求】本例第(2)(2)題條件不變，畫出該幾何體的直觀圖題條件不變，畫出該幾何體的直觀圖. .【解析】直觀圖如下圖【解析】直觀圖如下圖【反思【反思感悟】割補(bǔ)法與補(bǔ)形法感悟】割補(bǔ)法與補(bǔ)形法求一個(gè)幾何體的體積時(shí)，可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)可用公求一個(gè)幾何體的體積時(shí)，可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)可用公式求體積的幾何體，從而得出幾何體的體積；有時(shí)也可將幾何式求體積的幾何體，從而得出幾何體的體積；有時(shí)也可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體，然后求兩個(gè)或體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體，然后求兩個(gè)或幾個(gè)幾何體的體積的差幾個(gè)幾何體的體

23、積的差【變式備選】如圖，在多面體【變式備選】如圖，在多面體ABCDEFABCDEF中，知四邊形中，知四邊形ABCDABCD是邊長是邊長為為1 1的正方形，且的正方形，且ADEADE、BCFBCF均為正三角形，均為正三角形，EFABEFAB，EF=2EF=2，那么該多面體的體積為那么該多面體的體積為( )( ) 2343ABCD3332【解析】選【解析】選A A如下圖，過如下圖，過A A、B B兩點(diǎn)分別兩點(diǎn)分別作作AMAM、BNBN垂直于垂直于EFEF，垂足分別為，垂足分別為M M、N N，銜接，銜接DMDM、CNCN，可得，可得DMEFDMEF、CNEFCNEF，多面體可分，多面體可分為三部分

24、，故多面體的體積為為三部分，故多面體的體積為VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNCVABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC，13NFBF1BN22，作作NHBCNHBC于點(diǎn)于點(diǎn)H H，那么，那么H H為為BCBC的中點(diǎn)，那么的中點(diǎn)，那么NH= NH= 22BNC1122SBC NH12224 AMD BNCBNC2VSMN4，F(xiàn) BNCBNC12VSNF324，E AMDF BNCABCDEF22VV.V243 幾何體的展開與折疊幾何體的展開與折疊【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.求解幾何體外表上兩點(diǎn)間的最短間隔的方法求解幾何體外表上兩點(diǎn)間的最短間隔的方

25、法常用方法是選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱將幾何體展開，轉(zhuǎn)化為平面上常用方法是選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱將幾何體展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短間隔來解，是將空間幾何體展開成平面圖形的運(yùn)兩點(diǎn)間的最短間隔來解，是將空間幾何體展開成平面圖形的運(yùn)用用2.2.處理折疊問題的技巧處理折疊問題的技巧處理折疊問題時(shí)，要分清折疊前后兩圖形處理折疊問題時(shí)，要分清折疊前后兩圖形( (折疊前的平面圖形和折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形折疊后的空間圖形) )的各元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些發(fā)生的各元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化了變化，哪些沒有發(fā)生變化【提示】對折疊問題中的前后兩個(gè)圖形，在折線同側(cè)的元素的【提

26、示】對折疊問題中的前后兩個(gè)圖形，在折線同側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化；在折線異側(cè)的元素的位置關(guān)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化；在折線異側(cè)的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化 【例】【例】(1)(1)如圖，知正三棱柱如圖，知正三棱柱ABCABCA1B1C1A1B1C1的底面邊長為的底面邊長為2 cm2 cm，高為，高為5 cm5 cm，那么一質(zhì)點(diǎn)自，那么一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)點(diǎn)A A出發(fā)，沿著正三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)出發(fā)，沿著正三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)點(diǎn)A1A1的最短道路的長為的最短道路的長為_cm._cm.(2)(2)如圖，知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長為如圖，知一個(gè)多面

27、體的平面展開圖由一個(gè)邊長為1 1的正方形的正方形和和4 4個(gè)邊長為個(gè)邊長為1 1的正三角形組成，那么該多面體的體積是的正三角形組成，那么該多面體的體積是_._.【解題指南】【解題指南】(1)(1)將正三棱柱的側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面問題來處理；將正三棱柱的側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面問題來處理；(2)(2)將平面圖形折疊后得到一個(gè)四棱錐，用相關(guān)公式可求得體將平面圖形折疊后得到一個(gè)四棱錐，用相關(guān)公式可求得體積積【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)將正三棱柱沿棱將正三棱柱沿棱AA1AA1兩次展開，得到如下圖的兩次展開，得到如下圖的矩形，可知最短道路長為矩形的對角線長，從而所求最短道路的矩形，可知最短道路長為矩形的

28、對角線長，從而所求最短道路的長為長為 =13(cm)=13(cm)22512(2)(2)由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1 1，側(cè)棱長為，側(cè)棱長為1 1，斜，斜高為高為 ，銜接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可得高為，銜接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可得高為 ，所以體，所以體積為積為答案：答案：(1)13 (2) (1)13 (2) 3222122V1 1.326 26【互動(dòng)探求】本例【互動(dòng)探求】本例(2)(2)中條件不變，求該多面體的外表積中條件不變，求該多面體的外表積【解析】由題意知，該四棱錐的側(cè)面為邊長為【解析】由題意知，該四棱錐的側(cè)面為邊長為1 1的等邊三角形，

29、的等邊三角形，底面為邊長為底面為邊長為1 1的正方形，故其外表積為的正方形，故其外表積為223S4 (1 )131.4【反思【反思感悟】感悟】1.1.求幾何體外表上兩點(diǎn)間的最短間隔是常見題求幾何體外表上兩點(diǎn)間的最短間隔是常見題型之一，這類問題的特點(diǎn)是：圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立型之一，這類問題的特點(diǎn)是：圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖體圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，需將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，需將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到處理一平面上

30、，或者將曲面展開為平面，使問題得到處理2.2.折疊問題是立體幾何中常見的題型，幾何體的展開與平面圖折疊問題是立體幾何中常見的題型，幾何體的展開與平面圖形的折疊，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的思想，也是處理立體幾何問題時(shí)常用形的折疊，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的思想，也是處理立體幾何問題時(shí)常用的方法的方法【變式備選】如圖，在三棱柱【變式備選】如圖，在三棱柱ABC-ABCABC-ABC中，中，ABCABC為等邊三角形，為等邊三角形，AAAA平面平面ABCABC，AB=3,AA=4AB=3,AA=4，M M為為AAAA的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，P P是是BCBC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，且由且由P P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CCCC到到M M的

31、最短道路的最短道路長為長為 ，設(shè)這條道路與，設(shè)這條道路與CCCC的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為N N(1)(1)求該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；求該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)(2)求求PCPC與與NCNC的長的長29【解析】【解析】(1)(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為該三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為4 4和和9 9的矩形，的矩形，故對角線長為故對角線長為(2)(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱將該三棱柱的側(cè)面沿棱BBBB展開，如下圖展開，如下圖設(shè)設(shè)PC=x,PC=x,那么那么MP2=MA2+(AC+x)2.MP2=MA2+(AC+x)2.MP= MP= ，MA=2MA=2，AC=3AC=3，x=

32、2,x=2,即即PC=2.PC=2.又又NCAMNCAM，224997.29PCNC2NC4NC.PAAM525，即，【易錯(cuò)誤區(qū)】球的組合體中求體積時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)【易錯(cuò)誤區(qū)】球的組合體中求體積時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】【典例】(2021(2021遼寧高考遼寧高考) )知球的直徑知球的直徑SC=4SC=4，A A、B B是該球是該球球面上的兩點(diǎn)，球面上的兩點(diǎn)，AB=2,ASC=BSC=45AB=2,ASC=BSC=45，那么棱錐，那么棱錐S-ABCS-ABC的體的體積為積為( )( ) 32 34 35 3ABCD3333【解題指南】根據(jù)所給條件畫出圖形，將三棱錐【解題指南】根據(jù)所給條件畫出圖形，將三棱錐

33、S-ABCS-ABC分為兩部分為兩部分，結(jié)合三棱錐的體積公式求解分，結(jié)合三棱錐的體積公式求解. .【規(guī)范解答】選【規(guī)范解答】選C.C.如圖，由題意可知，在三如圖，由題意可知，在三棱錐棱錐S-ABCS-ABC中，中，SACSAC和和SBCSBC都是等腰直角都是等腰直角三角形，其中三角形，其中AB=2AB=2，SC=4SC=4，SA=SB=AC=BC=2 .SA=SB=AC=BC=2 .取取SCSC的中點(diǎn)的中點(diǎn)D D，易得，易得SCSC平面平面ABD.ABD.故所求棱錐故所求棱錐S-ABCS-ABC的體積等于以的體積等于以ABDABD為底的兩個(gè)小三棱錐的體積的和，其高的和即為球的直徑為底的兩個(gè)小三

34、棱錐的體積的和，其高的和即為球的直徑SCSC，故，故2S ABC14 3V43.33 【閱卷人點(diǎn)撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以【閱卷人點(diǎn)撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤誤區(qū)區(qū)警警示示在解答本題時(shí)容易出錯(cuò)的主要原因有：在解答本題時(shí)容易出錯(cuò)的主要原因有：(1)(1)不能合理地畫出圖形、不能將所給條件轉(zhuǎn)化到三棱錐中；不能合理地畫出圖形、不能將所給條件轉(zhuǎn)化到三棱錐中；(2)(2)不能將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三棱錐的體積之和來處不能將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三棱錐的體積之和來處理理. .備備考考建建議議由于近幾年的高考加強(qiáng)

35、了對幾何體體積、面積的考查，在由于近幾年的高考加強(qiáng)了對幾何體體積、面積的考查，在備考中要注意：備考中要注意：(1)(1)加強(qiáng)對常見幾何體的有關(guān)計(jì)算的訓(xùn)練，熟練掌握常見加強(qiáng)對常見幾何體的有關(guān)計(jì)算的訓(xùn)練，熟練掌握常見幾何體的面積及體積的求法；幾何體的面積及體積的求法；(2)(2)對于一些復(fù)雜的幾何體，要善于將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾對于一些復(fù)雜的幾何體，要善于將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體進(jìn)行求解；何體進(jìn)行求解；(3)(3)要重視對計(jì)算能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)，以適應(yīng)高考的需要要重視對計(jì)算能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)，以適應(yīng)高考的需要. .1.(20211.(2021湖南高考湖南高考) )如圖是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的如圖是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的體積為體積為( )( )(A) +12 (B) +18(A) +12 (B) +18(C)9+42 (D)36+18(C)9+42 (D)36+189292【解析】選【解析】