變化線段和最大、差最小問題

1、初中數(shù)學專題復習：最短最長距離問題分析最值問題主要考察學生對平時所學的內(nèi)容的綜合運用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結論(如兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)或利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質求最值。一、“最值”問題大都歸于兩類基本模型：I、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值n、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：(1)歸于“兩點之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時，大都應用這一模型。(2)歸于"三角

2、形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最大值”時，大都應用這一模型。(1)歸于“兩點之間的連線中，線段最短”幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關于直線l的對稱點A',連結AB交l于點P,則PA+PB=AB的值最小.求線段的長，以歸入“解直角三角形”和相似三角為重要選擇。不管在什么背景下，有關線段之和最短問題，總是化歸到“兩點之間的所有連線中，線段最短”，而轉化的方法大都是借助于“軸對稱點”模型應用：1 .如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連結BD,由正方形對稱性

3、可知,B與D關于直線AC對稱.連結ED交AC于P,則PB+PE的最小值是；2 .如圖2,00的半徑為2,點A、B、C在。0上，OA_LOB,/AOC=60°,P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；3 .如圖3,/AOB=45°,P是/AOB內(nèi)一點，PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點，求4PQR周長的最小值.4 .如圖，(1),在&ABC中，AC=BC=2，/ACB=901P為BC邊上一定點，(不與點B,C重合)，Q為AB最小值，并說明理由。邊上一動點，設BP的長為a(0<a<2),請寫出CQ+PQ(2)歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”幾何模型：

4、條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P,使|PAPB|的值最大.方法：作過點A與點B的直線，直線AB與交l于點P,則|PAPB|的值最大.若A、B是直線l異旁的兩個定點.則先做對稱點，再連接對稱點與A(或B)。模型應用:1拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A,B兩點，交y軸于點C,已知拋物線的對稱軸為x=1,B(3,0),C(0,-3).求(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使點P到B,C兩點的距離之差最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。2已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中,沿x軸的負方向平移OC的長度后得到

5、ADAO.(1)直接寫出點D的坐標；OC=3,BC=2，取AB的中點M，連結MC，把AMBC(2)已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQ_Lx軸于點Q,連結OP.試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T,使得TO-TB的值最大.o(3)、利用平移確定最短路徑選址通過平移，除去固定部分的長，使其余幾段的和正好為兩定點之間的距離。選址問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上.如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常

6、根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決.解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱?，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題.在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上,從而作出最短路徑的方法來解決問題.例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋(假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)解：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E,2.連接AE交河對岸與點M,則點M為建橋的位置，M財所建的橋。MN橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNBt短?BA.2逐B(yǎng).276C.

7、3D.76練習1 .如圖所示，正方形ABCD的面積為12,AABE一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為(2 ,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標原點，設OAAB的中點分別為C、D,求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標.y=-x-x23 .如圖，拋物線4的頂點為A,與(1)求點A、點B的坐標；(2)若點P是x軸上任意一點，求證：PA-PBwAB;y軸交于點B.A(2,0),B(P為OB上一動點是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有)當PA-PB最大時，求點P的坐標.4 .如圖，在矩形0ABe中，已知A、C兩點的

8、坐標分別為A(4,0)C(°,2),D為°A的中點.設點p是NAOC平分線上的一個動點(不與點0重合).(1)試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；(2)當點p運動到與點B的距離最小時，試確定過°、P、D三點的拋物線的解析式；(3)設點E是(2)中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，PDE的周長最??？求出此時點P的坐標和PDE的周長;測試1.已知：拋物線的對稱軸為x=-1,與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,其中A(-3，0)、C(0，-2卜(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式.(2)已知在對稱軸上存在一點P,使得PBC的周長最小.請求出點P的坐標.(3)

9、若點D是線段0c上的一個動點(不與點。點C重合).過點D作DE/PC交X軸于點E.連接PD、PE.設CD的長為m,APDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關系式.試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.2一一2 .如圖，拋物線y=ax+bx+c的頂點P的坐標為【3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，J3）.（1）求拋物線的表達式.（2）把ABC繞AB的中點E旋轉180°,得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBCW形狀，并說明理由.（3）試問在線段AC上是否存在一點F,使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.3 .恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和Si=PA+PB,圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A',連接BA'交直線X于點P）,P到A、B的距離之和S=PA+PB.（1）求&#