自動控制原理第四章課后答案

1、- -點不在根軌跡上。3求等超調(diào)線與根軌跡的交點方法一 ，設等超調(diào)線與根軌跡交點坐標實部為，那么，有 令等式兩邊s各次項系數(shù)分別相等，得方法二 由特征方程，按照典型二階系統(tǒng)近似計算得：另外，把代入特征方程也可求得同樣結果。2-4-6單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1試繪制參數(shù)由變化的閉環(huán)根軌跡圖；2求出臨界阻尼比時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。【解】：1系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為： 題2-4-6解圖a由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點。 漸近線與實軸的交點：，漸近線傾角：。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點由 得 解得為起點，為別離點。 根軌跡與虛軸的交點令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-6解圖所

2、示。2時，對應實軸上根軌跡的別離點，。因為，可由開環(huán)極點之和等于閉環(huán)極點之和求得另一實軸上的極點坐標系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為題2-4-7解圖2-4-7單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ：1試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖；2求出使系統(tǒng)產(chǎn)生相重實根和純虛根時的值?！窘狻浚?根軌跡方程為由變化，為根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點和會合點解得為會合點，為別離點。根軌跡與虛軸的交點特征方程為 令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-7解圖所示。2實軸上根軌跡的別離點和會合點即為相重實根，其K值分別為 純虛根時的K值即為根軌跡與虛軸交點的K值，由1所求得之。 1 2題2-4-8圖2-

3、4-8系統(tǒng)方框圖如題2-4-8圖所示，試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。 【解】：1根軌跡方程為由變化為零度根軌跡。 開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-8解1圖所示。2根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點。 漸近線與實軸的交點：，漸近線傾角：。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。題2-4-8解圖 別離點 1 2題2-4-8解圖 復平面上的根軌跡與漸近線重合，如題2-4-8解圖2所示。2-4-9單位負反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖?！窘狻浚旱刃Ц壽E方程為當由時為零度根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。，有一個無窮遠的極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點和會合點解得

4、為別離點，為會合點。題2-4-9解圖 根軌跡與虛軸的交點特征方程為 令，代入特征方程得 復平面上的根軌跡是圓，如題2-4-9解圖所示。2-4-10系統(tǒng)方框圖如題2-4-10圖所示，試求：1當閉環(huán)極點為時的值；2在上面所確定的值下，當由變化的閉環(huán)根軌跡圖。題2-4-10圖【解】：1特征方程為閉環(huán)極點為時的系統(tǒng)特征方程為兩方程聯(lián)立求解得：題2-4-10解圖2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為等效根軌跡方程為： 當由時為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點解得為起點，為會合點，。 復平面上的根軌跡是圓，如題2-4-10解圖所示。2-4-11系統(tǒng)閉環(huán)特征方程分別如下，試概略繪制由變化的閉

5、環(huán)根軌跡圖。1 2題2-4-111解圖【解】：1由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點和會合點解得起點，別離點，會合點，舍去。 根軌跡與虛軸的交點根據(jù)特征方程列勞斯表令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-111解圖所示。2由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 漸近線與實軸的交點 漸近線傾角 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點解得別離點，舍去，舍去。 根軌跡與虛軸的交點根據(jù)特征方程列勞斯表題2-4-112解圖令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-

6、4-112解圖所示。2-4-12單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1試概略繪制由和變化的閉環(huán)根軌跡圖；2求出其單位階躍響應為單調(diào)衰減、振蕩衰減、等幅振蕩、增幅振蕩、單調(diào)增幅時的值。【解】：1特征方程為，等效根軌跡方程為：a由變化時為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點題2-4-12解圖解得舍去，會合點。 出射角 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一局部，如題2-4-12解圖實線局部所示。b由變化為零度根軌跡。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點計算同上。會合點為，。 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的另一局部，如題2-4-12解圖虛線局部所示。2由根軌跡看出，

7、根軌跡與虛軸的交點在原點，。根軌跡在實軸上重合時，。根軌跡在復平面上時。結論：系統(tǒng)無等幅和增幅振蕩。在取值時,為衰減振蕩；時為單調(diào)衰減；時為單調(diào)增幅。2-4-13系統(tǒng)方框圖如題2-3-13圖所示，繪制由的閉環(huán)根軌跡圖，并要求：1求無局部反響時系統(tǒng)單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時間；2討論時局部反響對系統(tǒng)性能的影響；3求臨界阻尼時的值。題2-4-13圖【解】： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為題2-4-13解圖系統(tǒng)特征方程為 等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點 解得舍去，會合點。會合點時的a值復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一局部，如題2

8、-4-13解圖所示。（1） 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，型系統(tǒng)，。阻尼比和調(diào)節(jié)時間方法一：根據(jù)題意，對應根軌跡起點方法二： 對應開環(huán)傳遞函數(shù)有2由根軌跡看出，此時系統(tǒng)特征根為兩個不相等的實根，系統(tǒng)無超調(diào)，穩(wěn)定性變好。但由于其中一個實根更靠近虛軸，使調(diào)節(jié)時間增長。系統(tǒng)仍為型，開環(huán)增益減小，斜坡信號輸入時穩(wěn)態(tài)誤差增大。3系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡在實軸上出現(xiàn)會合點時為臨界阻尼情況，此時。從特征方程上也可以直接看出。2-4-14設單位負反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定值，使根軌跡分別具有：0，1，2個別離點，畫出這三種情況的根軌跡?！窘狻浚焊壽E別離點由下式確定，為原點處重極點的別離點，實軸上其他的別離點和集合點。1 0個別離點只要原點處有兩個極點，無論何種情況，至少有一個別離點，所以令，那么開環(huán)傳遞函數(shù)為當由變化，即零度根軌跡時沒有別離點。其根軌跡如題2-2-14解圖1所示。2 1個別離點對于一般根軌跡，是一個別離點。所以當不存在，即，時，根軌跡具有一個別離點。設漸近線傾角和漸近線與實軸的交點分別為