自動控制原理第四章課后答案

1、- -點(diǎn)不在根軌跡上。3求等超調(diào)線與根軌跡的交點(diǎn)方法一 ，設(shè)等超調(diào)線與根軌跡交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)部為，那么，有 令等式兩邊s各次項(xiàng)系數(shù)分別相等，得方法二 由特征方程，按照典型二階系統(tǒng)近似計(jì)算得：另外，把代入特征方程也可求得同樣結(jié)果。2-4-6單位負(fù)反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1試?yán)L制參數(shù)由變化的閉環(huán)根軌跡圖；2求出臨界阻尼比時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)?！窘狻浚?系統(tǒng)特征方程為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為： 題2-4-6解圖a由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：，漸近線傾角：。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點(diǎn)由 得 解得為起點(diǎn)，為別離點(diǎn)。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-6解圖所

2、示。2時(shí)，對應(yīng)實(shí)軸上根軌跡的別離點(diǎn)，。因?yàn)?，可由開環(huán)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)極點(diǎn)之和求得另一實(shí)軸上的極點(diǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為題2-4-7解圖2-4-7單位負(fù)反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ：1試?yán)L制由變化的閉環(huán)根軌跡圖；2求出使系統(tǒng)產(chǎn)生相重實(shí)根和純虛根時(shí)的值?！窘狻浚?根軌跡方程為由變化，為根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點(diǎn)和會合點(diǎn)解得為會合點(diǎn)，為別離點(diǎn)。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)特征方程為 令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-7解圖所示。2實(shí)軸上根軌跡的別離點(diǎn)和會合點(diǎn)即為相重實(shí)根，其K值分別為 純虛根時(shí)的K值即為根軌跡與虛軸交點(diǎn)的K值，由1所求得之。 1 2題2-4-8圖2-

3、4-8系統(tǒng)方框圖如題2-4-8圖所示，試?yán)L制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。 【解】：1根軌跡方程為由變化為零度根軌跡。 開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-8解1圖所示。2根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：，漸近線傾角：。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。題2-4-8解圖 別離點(diǎn) 1 2題2-4-8解圖 復(fù)平面上的根軌跡與漸近線重合，如題2-4-8解圖2所示。2-4-9單位負(fù)反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖?！窘狻浚旱刃Ц壽E方程為當(dāng)由時(shí)為零度根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。，有一個無窮遠(yuǎn)的極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點(diǎn)和會合點(diǎn)解得

4、為別離點(diǎn)，為會合點(diǎn)。題2-4-9解圖 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)特征方程為 令，代入特征方程得 復(fù)平面上的根軌跡是圓，如題2-4-9解圖所示。2-4-10系統(tǒng)方框圖如題2-4-10圖所示，試求：1當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的值；2在上面所確定的值下，當(dāng)由變化的閉環(huán)根軌跡圖。題2-4-10圖【解】：1特征方程為閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的系統(tǒng)特征方程為兩方程聯(lián)立求解得：題2-4-10解圖2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為等效根軌跡方程為： 當(dāng)由時(shí)為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點(diǎn)解得為起點(diǎn)，為會合點(diǎn)，。 復(fù)平面上的根軌跡是圓，如題2-4-10解圖所示。2-4-11系統(tǒng)閉環(huán)特征方程分別如下，試概略繪制由變化的閉

5、環(huán)根軌跡圖。1 2題2-4-111解圖【解】：1由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點(diǎn)和會合點(diǎn)解得起點(diǎn)，別離點(diǎn)，會合點(diǎn)，舍去。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根據(jù)特征方程列勞斯表令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-111解圖所示。2由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) 漸近線傾角 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 別離點(diǎn)解得別離點(diǎn)，舍去，舍去。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根據(jù)特征方程列勞斯表題2-4-112解圖令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-

6、4-112解圖所示。2-4-12單位負(fù)反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1試概略繪制由和變化的閉環(huán)根軌跡圖；2求出其單位階躍響應(yīng)為單調(diào)衰減、振蕩衰減、等幅振蕩、增幅振蕩、單調(diào)增幅時(shí)的值?！窘狻浚?特征方程為，等效根軌跡方程為：a由變化時(shí)為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點(diǎn)題2-4-12解圖解得舍去，會合點(diǎn)。 出射角 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一局部，如題2-4-12解圖實(shí)線局部所示。b由變化為零度根軌跡。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點(diǎn)計(jì)算同上。會合點(diǎn)為，。 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的另一局部，如題2-4-12解圖虛線局部所示。2由根軌跡看出，

7、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)，。根軌跡在實(shí)軸上重合時(shí)，。根軌跡在復(fù)平面上時(shí)。結(jié)論：系統(tǒng)無等幅和增幅振蕩。在取值時(shí),為衰減振蕩；時(shí)為單調(diào)衰減；時(shí)為單調(diào)增幅。2-4-13系統(tǒng)方框圖如題2-3-13圖所示，繪制由的閉環(huán)根軌跡圖，并要求：1求無局部反響時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時(shí)間；2討論時(shí)局部反響對系統(tǒng)性能的影響；3求臨界阻尼時(shí)的值。題2-4-13圖【解】： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為題2-4-13解圖系統(tǒng)特征方程為 等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點(diǎn) 解得舍去，會合點(diǎn)。會合點(diǎn)時(shí)的a值復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一局部，如題2

8、-4-13解圖所示。（1） 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，型系統(tǒng)，。阻尼比和調(diào)節(jié)時(shí)間方法一：根據(jù)題意，對應(yīng)根軌跡起點(diǎn)方法二： 對應(yīng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2由根軌跡看出，此時(shí)系統(tǒng)特征根為兩個不相等的實(shí)根，系統(tǒng)無超調(diào)，穩(wěn)定性變好。但由于其中一個實(shí)根更靠近虛軸，使調(diào)節(jié)時(shí)間增長。系統(tǒng)仍為型，開環(huán)增益減小，斜坡信號輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差增大。3系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡在實(shí)軸上出現(xiàn)會合點(diǎn)時(shí)為臨界阻尼情況，此時(shí)。從特征方程上也可以直接看出。2-4-14設(shè)單位負(fù)反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定值，使根軌跡分別具有：0，1，2個別離點(diǎn)，畫出這三種情況的根軌跡?！窘狻浚焊壽E別離點(diǎn)由下式確定，為原點(diǎn)處重極點(diǎn)的別離點(diǎn)，實(shí)軸上其他的別離點(diǎn)和集合點(diǎn)。1 0個別離點(diǎn)只要原點(diǎn)處有兩個極點(diǎn)，無論何種情況，至少有一個別離點(diǎn)，所以令，那么開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)由變化，即零度根軌跡時(shí)沒有別離點(diǎn)。其根軌跡如題2-2-14解圖1所示。2 1個別離點(diǎn)對于一般根軌跡，是一個別離點(diǎn)。所以當(dāng)不存在，即，時(shí)，根軌跡具有一個別離點(diǎn)。設(shè)漸近線傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)分別為