第四章多維隨機(jī)變量及其分布

1、多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布從本講起，我們開始第四章的學(xué)習(xí)從本講起，我們開始第四章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .它是第三章內(nèi)容的推廣它是第三章內(nèi)容的推廣. 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其及其分布分布. 但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述. 在打靶時(shí)在打靶時(shí),

2、命中點(diǎn)的位置是命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo)兩個(gè)坐標(biāo))來確定的來確定的. 飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v (三三個(gè)坐標(biāo)）來確定的等等個(gè)坐標(biāo)）來確定的等等. 若若 是是定義在同一個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間樣本空間S上的上的n個(gè)隨機(jī)變量，個(gè)隨機(jī)變量，eS,則由它們構(gòu)則由它們構(gòu)成的一個(gè)成的一個(gè)n維向量（維向量（ ）稱為稱為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量，或，或n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為 )(),(),(eXeXeXn21)(),(),(eXeXeXn21).,(nXXX21二維隨機(jī)變量用（二維隨機(jī)變量用（X，Y）表示）表示下面著重討論二維下面著重討論二

3、維r.v(X，Y),多維隨機(jī)變量可類推。多維隨機(jī)變量可類推。二維隨機(jī)變量（二維隨機(jī)變量（X,Y）X和和Y的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)),(),(yYxXPyxFyx, )()(xXPxFxX的分布函數(shù)的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量X兩事件同時(shí)發(fā)生兩事件同時(shí)發(fā)生yYxX 類似一維類似一維r.v的分布函數(shù)，定義二維的分布函數(shù)，定義二維r.v的分布函數(shù)的分布函數(shù)如下：如下：定義：定義：設(shè)（設(shè)（X，Y）二維隨機(jī)變量，）二維隨機(jī)變量，x, y為任意為任意 實(shí)數(shù)，則二元函數(shù)實(shí)數(shù)，則二元函數(shù)),(),(yYxXPyxF 稱為（稱為（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為）的分布函數(shù)，或稱為X和和Y的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)

4、合分布函數(shù)。幾何意義：幾何意義：如將如將( X，Y )看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn) 的坐標(biāo)，則的坐標(biāo)，則F(x, y)就是就是(X，Y)落在落在 以點(diǎn)以點(diǎn)(x, y)為頂點(diǎn)的左下方無窮矩形為頂點(diǎn)的左下方無窮矩形 域內(nèi)的概率。域內(nèi)的概率。 xoy(x,y)利用分布函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)利用分布函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù) 2121yyxx,則則 ),(),(),(),(),(112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxPxoy( x1, y1)( x1, y2 )( x2, y2 )( x2, y1 )分布函數(shù)性質(zhì)：分布函數(shù)性質(zhì)：1.對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y有有0F(x, y)1;即即

5、F(x, y)對(duì)每個(gè)自變量都是單調(diào)不減的；對(duì)每個(gè)自變量都是單調(diào)不減的；,),(),(),(),(21212121yyyxFyxFxxyxFyxF2.3對(duì)任意對(duì)任意x, y有有 ;),(lim),(,),(lim),(,),(lim),(,),(lim),(1000yxFFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx);,(),(),(),(00yxFyxFyxFyxF4 即即F(x,y)對(duì)每個(gè)自變量都是右連續(xù)的。對(duì)每個(gè)自變量都是右連續(xù)的。5對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) ，有，有2121yyxx,.),(),(),(),(011211222yxFyxFyxFyxF 若若F(x ,y) 滿足上述性質(zhì)，則其必為

6、某一滿足上述性質(zhì)，則其必為某一二維二維r.v (X ,Y)的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 如果二維如果二維r.v(X ,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x ,y)已知，已知，可以分別求可以分別求r.v X和和Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) ).(),(yFxFYX即：即： ),(lim),(),()()(yxFxFYxXPxXPxFyX),(lim),(),()()(yxFyFyYXPyYPyFxY稱稱 為分布函數(shù)為分布函數(shù)F(x ,y)的邊緣的邊緣分布函數(shù)分布函數(shù)，或二維，或二維r.v (X, Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊的邊緣分布函數(shù)。緣分布函數(shù)。).(),(yFxFYX定義定義1：若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量

7、( X, Y )所有可能取值是所有可能取值是 有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱稱( X, Y )為為 二維離散型隨機(jī)變量。二維離散型隨機(jī)變量。定義定義2：設(shè)設(shè)( X, Y )為二維離散型隨機(jī)變量，所有為二維離散型隨機(jī)變量，所有 可能取值為可能取值為 ),(jiyxi, j=1,2,令令 ,),(,21jiyYxXPpjiij 則稱則稱 為為( X, Y )的分布列的分布列，或稱為或稱為X和和Y的聯(lián)合分布列。的聯(lián)合分布列。),(21jipij 二維離散型二維離散型聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列,),(ijjipyYxXPi, j =1,2, ijijijpjip1, 2 , 1, 0隨機(jī)

8、變量（隨機(jī)變量（X,Y）,)(kkpxXPk=1,2, 一維離散型一維離散型, 0kpkkp1k=1,2, 分布列分布列 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X分布列的性質(zhì)：分布列的性質(zhì)： ijijijpip.;,.122101 分布列的表示方法：分布列的表示方法：公式法公式法 ,),(,21jiyYxXPpjiij列表法：列表法： 1 p.1 p.2 p.j p.Jp1 .p2 .pi .pi . p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1 x2 X xi Y y1 y2 yj 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而次拋擲

9、中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求(X,Y)的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列.解：解：（ X, Y）可取值）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=0)=1/8列表如下列表如下 二維聯(lián)合分布列全面地反映了二維隨機(jī)二維聯(lián)合分布列全面地反映了二維隨機(jī)變量變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律的取值及其概率規(guī)律. 而單個(gè)隨機(jī)而單個(gè)隨機(jī)變量變量X,Y也具有自己的概率分布列也具有自己的概率分布列

10、. 那么要那么要問問:二者之間有什么關(guān)系呢二者之間有什么關(guān)系呢? 從表中不難求得從表中不難求得:P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意這兩個(gè)分布正好是注意這兩個(gè)分布正好是表表2的行和與列和的行和與列和. 如下表所示如下表所示 我們常將我們常將邊緣分布列邊緣分布列寫在聯(lián)合分布列寫在聯(lián)合分布列表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞詞. 聯(lián)合

11、分布與邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.一般，對(duì)離散型一般，對(duì)離散型 r.v ( X,Y )，則則(X,Y)關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布列為的邊緣分布列為, 2 , 1,)(ippxXPjijii, 2 , 1,)(jppyYPiijji(X,Y)關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣分布列為的邊緣分布列為X和和Y 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量( X, Y )的分布函數(shù)可的分布函數(shù)可表示如下：表示如下：xxyyijx

12、xyyjiijijpyYxXPyYxXPyxF)(),(),(,其中和式是對(duì)所有滿足其中和式是對(duì)所有滿足 的的i, j 求和。求和。yyxxji, 一維連續(xù)型隨機(jī)變量一維連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度的概率密度1)(dxxf0)(xfdtxfxFx)()(二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量X和和Y 的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度0),(yxf 1),(dxdyyxf xydudvvufyxF),(),(一. 概率密度與邊緣概率密度概率密度與邊緣概率密度定義：定義：設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x ,y)， 若存在非負(fù)函數(shù)若存在非負(fù)函數(shù)f(x, y),使得對(duì)任意

13、實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x, y有有 xydudvvufyxF),(),( 則稱則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱稱f(x, y)為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或稱為的概率密度，或稱為X與與Y的聯(lián)合概率密度。的聯(lián)合概率密度。 不難得出，對(duì)連續(xù)型不難得出，對(duì)連續(xù)型r.v(X,Y)，其，其概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系如下：概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系如下：yxyxFyxf),(),(2在在 f (x,y)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) xydudvvufyxF),(),(概率密度性質(zhì)：概率密度性質(zhì)： ;),(),(.;),(.1201 Fdxdyyxfyxf 3.設(shè)設(shè)G是是xO

14、y平面上的一個(gè)區(qū)域，則點(diǎn)平面上的一個(gè)區(qū)域，則點(diǎn)(X,Y) 落在落在G中的概率為：中的概率為： GdxdyyxfGYXP),(),(計(jì)算性質(zhì)計(jì)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1: 表示表示Z=f(x ,y)在在xOy平面上方的曲面；平面上方的曲面；性質(zhì)性質(zhì)2: 表示表示Z=f(x ,y)與與xOy平面所夾空間區(qū)域平面所夾空間區(qū)域 的體積為的體積為1。性質(zhì)性質(zhì)3: 表示表示P(X,Y)G的值等于以曲面的值等于以曲面 Z=f(x ,y)為頂，以平面區(qū)域?yàn)轫敚云矫鎱^(qū)域G為底的曲為底的曲 頂柱體的體積。頂柱體的體積。幾何意義：幾何意義： 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v ( X,Y )，X和和Y的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為

15、則則( X,Y )關(guān)于關(guān)于X的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為( X,Y )關(guān)于關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為),(yxfdyyxfxfX),()(dx)y, x(f)y(fY例例2 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）兩個(gè)邊緣概率密度。）兩個(gè)邊緣概率密度。=5c/24=1,c =24/5 100)2(xdxdyxcy dxdyyxf),(1)dxxxc10222/ )(由由 1),(dxdyyxf確定確定C解：解：例例2 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值

16、; (2) 兩個(gè)邊緣概率密度兩個(gè)邊緣概率密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxfxXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 x注意積分限注意積分限注意取值范圍注意取值范圍xy01y=x例例2 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解: (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 兩個(gè)邊緣概率密度兩個(gè)邊緣概率密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10 y注意積分限注意積分限注意取值范圍注意取值范圍xy01y=x其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY其它, 010)

17、,2(512)(2xxxxfX即即 在求連續(xù)型在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時(shí)，往往要的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分. 當(dāng)聯(lián)合密度當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限特別注意積分限 .下面我們介紹兩個(gè)常見的二維分布下面我們介紹兩個(gè)常見的二維分布. 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（若二維隨機(jī)變量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf則稱則稱（X,Y）在）在G上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向

18、平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與面積成正比，而與B的形狀及位置無關(guān)的形狀及位置無關(guān). 則則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（ X,Y）在在G上服從均勻分布上服從均勻分布.例例均勻分布均勻分布例例3. 二維二維r.v(X,Y)在由在由y=1/x, y=0, x=1和和x=e2所所 形成的區(qū)域形成的區(qū)域D上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求(X,Y)的的 邊緣概率密度。邊緣概率密度。如圖如圖 解：解：xoye211xy1212211eexdxxGS)(ln)(.,),(),(其他其他，021Gyxyx

19、f 其他。 , 0,1,2121),()(210exxdydyyxfxfxX 其他。 , 0, 11),11(2121,10),1(21),()(21122yeydxeyedxyxfyfyY 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念兩事件兩事件A,B獨(dú)立的定義是：獨(dú)立的定義是：若若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件A,B獨(dú)立獨(dú)立 . 設(shè)設(shè) X,Y是兩個(gè)是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的，若對(duì)任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 .兩隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是：兩隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是：)()(),(yFxFyxF

20、YX用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設(shè)設(shè) X,Y是兩個(gè)是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的，若對(duì)任意的x,y,有有則則稱稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 . 它表明，兩個(gè)它表明，兩個(gè)r.v相互相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .),(yxf其中其中是是X,Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度，)()(),(yfxfyxfYX 則稱則稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 .對(duì)任意的對(duì)任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型是連續(xù)型r.v ，則上述獨(dú)立性的，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：定義等價(jià)于：分別是分別是X的的)(),(yfxfYX邊緣密度和邊緣密度

21、和Y 的邊緣密度的邊緣密度 . 若若 (X,Y)是離散型是離散型r.v ，則上述獨(dú)立性的，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：定義等價(jià)于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱則稱X和和Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立.對(duì)對(duì)(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有即即 jiijppp 例例1 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度為的概率密度為其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx問問X和和Y是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？解：解：0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY,xxe,yex0 即：即：其它, 00,)(xxexfxX其它, 00,)(yeyfyY對(duì)一切對(duì)一切x, y, 均有

22、：均有：故故X,Y 獨(dú)立獨(dú)立)()(),(yfxfyxfYXy 0 若若(X,Y)的概率密度為的概率密度為其它,y, yx,)y, x(f01002情況又怎樣？情況又怎樣？解：解：),1 (22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面積不為由于存在面積不為0的區(qū)域，的區(qū)域，)()(),(yfxfyxfYX故故X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立 . 隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念不難推廣到隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念不難推廣到兩個(gè)以上兩個(gè)以上r.v的情形的情形.1. 分布函數(shù)分布函數(shù) 設(shè)設(shè) 為為n維隨機(jī)變量，維隨機(jī)變量， 為任意實(shí)數(shù)，則為任意實(shí)數(shù)，則n元函數(shù)元函數(shù)),(nXXX21nxxx,2

23、1),(),(,nnnxXxXxXPxxxF221121稱為稱為 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 ),(nXXX212. 概率密度概率密度 設(shè)設(shè) 為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù) 對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù) 有有),(nxxxf21),(nXXX21nxxx,21),(nxxxF21 nxnnxxndtdtdttttfxxxF21212112),(),( 則稱則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量， 稱為稱為n維隨機(jī)變量的概率密度。維隨機(jī)變量的概率密度。),(nxxxf21),(nXXX213. n個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 設(shè)設(shè) 為為n維隨機(jī)變量

24、維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，),(nxxxF21),(nXXX21nnXXXXXXxFxFxFn,)(,),(),(212121依依次次為為的分布函數(shù)（一維邊緣分布函數(shù)），若對(duì)任意實(shí)數(shù)的分布函數(shù)（一維邊緣分布函數(shù)），若對(duì)任意實(shí)數(shù)有有nxxx,21)()()(),(nXXXnxFxFxFxxxFN212121則稱則稱 是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。),(nXXX21 在第三章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)在第三章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論二維隨機(jī)變的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論二維隨機(jī)變量函數(shù)量函數(shù)Z=g(X, Y)的分布。的分布。 具體說，已知具體說

25、，已知( X, Y )的分布，求的分布，求Z=g(X, Y)的分布。的分布。 例例1 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的分布列的分布列.解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2, 一. 離散型隨機(jī)變量和的分布離散型隨機(jī)變量和的分布Z=X+Y依題意依題意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊

26、松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由卷積公式由卷積公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 解：解：riirYiXPrZP0),()(由卷積公式由卷積公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1，例例3 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布. 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量回憶第

27、二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋所作的直觀解釋: 我們給出不需要計(jì)算的另一種證法我們給出不需要計(jì)算的另一種證法:同樣，同樣，Y是在是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 若若X B(n1,p),則則X 是在是在n1次獨(dú)立重復(fù)試次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率都為概率都為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)的概率為的概率為p，于是，于是Z是以（是以

28、（n1+n2，p）為參）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p).下面介紹求下面介紹求Z=g( X, Y ) 概率密度的通用方法概率密度的通用方法分布函數(shù)法：分布函數(shù)法：設(shè)設(shè)( X, Y )是二維隨機(jī)變量，其概率是二維隨機(jī)變量，其概率 密度為密度為f(x, y), Z=g(X,Y)。為求。為求Z的的 密度密度 ，設(shè)，設(shè)Z的分布函數(shù)的分布函數(shù) 為，則為，則)(zfZ)(zFZ).()(,)().()(,)(),(),()()(),(zFzfzFzzfddxdyyxfzYXgPzZPzFZZZZzzyxgZ則則的表達(dá)式的表達(dá)式可以計(jì)算出可以計(jì)算出則則變量代換變量代換交

29、換積分次序交換積分次序 二二. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例例4 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的的概率密度概率密度. 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.二二. 連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布Z=X+Y 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分

30、作變量代換對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換, 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序由概率由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概率密度為的概率密度為: 由由X和和Y的對(duì)稱性的對(duì)稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別，特別，當(dāng)當(dāng)X和和Y獨(dú)立獨(dú)立，設(shè)，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的

31、邊緣的邊緣密度分別為密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式稱為這兩個(gè)公式稱為卷積公式卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用下面我們用卷積公式來求卷積公式來求Z=X+Y的概率密度的概率密度為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例5 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式1010 xzx也即也即zxz

32、x110為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示如圖示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(教材上例教材上例4 請(qǐng)自已看請(qǐng)自已看. 注意此例的結(jié)論：注意此例的結(jié)論： 此結(jié)論此結(jié)論可以推廣到可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形和的情形,請(qǐng)自行寫出結(jié)論請(qǐng)自行寫出結(jié)論.),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),(222211NYNX則則 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布

33、服從正態(tài)分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:例例6. 設(shè)設(shè)r,v X，Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X在在0，1上服從均上服從均 勻分布，勻分布，Y 服從參數(shù)服從參數(shù)=1的指數(shù)分布，求的指數(shù)分布，求 Z=2X+Y 的概率密度。的概率密度。 解法解法1： 分布函數(shù)法分布函數(shù)法 其他。 , 0, 10, 1)(xxfX 0.y , 0, 0,)(yeyfyY由獨(dú)立由獨(dú)立 其他。 , 0, 0, 10,)()(),(yxeyfxfyxfyYXx0yz=2x+y122z2z2z zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF2),()2()()(當(dāng)當(dāng)zz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1

34、- - P(Xz)P(Yz) 設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù).)(xFiX(i =0,1，, n) 用與二維時(shí)完全類似的方法，可得用與二維時(shí)完全類似的方法，可得 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1

35、zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX 若若X1,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布函數(shù)后，不難求得函數(shù)后，不難求得M和和N的密度函數(shù)的密度函數(shù).留作課下練習(xí)留作課下練習(xí). 當(dāng)當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)時(shí), 常稱常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值

36、為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值的意義和實(shí)用價(jià)值. 下面我們?cè)倥e一例，說明當(dāng)下面我們?cè)倥e一例，說明當(dāng)X1,X2為離散為離散型型r.v時(shí)，如何求時(shí)，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n-1)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq記記1-p=q例例8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)

37、變量X1,X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立,并且有相同的幾并且有相同的幾何分布何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .n=0,1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)- -P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=1,2, 那么要問，若我們需要求那么要問，若我們需要求Y=min(

38、X1,X2)的分布，應(yīng)如何分析？的分布，應(yīng)如何分析？留作課下思考留作課下思考 這一講，我們介紹了求隨機(jī)向量函數(shù)這一講，我們介紹了求隨機(jī)向量函數(shù)的分布的原理和方法，需重點(diǎn)掌握的是：的分布的原理和方法，需重點(diǎn)掌握的是：請(qǐng)通過練習(xí)熟練掌握請(qǐng)通過練習(xí)熟練掌握. 1、已知兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，會(huì)、已知兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，會(huì)求其函數(shù)的概率分布求其函數(shù)的概率分布；2、會(huì)根據(jù)多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布求、會(huì)根據(jù)多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布其函數(shù)的概率分布 在第二章中，我們介紹了條件概率的概念在第二章中，我們介紹了條件概率的概念 .)()()|(BPABPBAP在事件在事件B發(fā)生的

39、條件下事件發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量推廣到隨機(jī)變量 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)r.v X,Y ， 在給定在給定Y取某個(gè)或某取某個(gè)或某些值的條件下，求些值的條件下，求X的概率分布的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布這個(gè)分布就是條件分布. 例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和和Y 表示其體重和表示其體重和身高身高 . 則則X和和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布的概率分布.體重體重X身高身高Y體重體重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 現(xiàn)在若限制現(xiàn)在若限制1.7Y

40、0，則稱，則稱為在為在Y=yj條件下隨機(jī)變量條件下隨機(jī)變量X的條件分布列的條件分布列.P(X=xi|Y=yj)=)(),(jjiyYPyYxXPjjipp，i=1,2, 類似定義在類似定義在X=xi條件下條件下隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y 的條件分布列的條件分布列. 作為條件的那個(gè)作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一給定的，在此條件下求另一r.v的的概率分布概率分布. 條件分布列是一種概率分布列，它具有條件分布列是一種概率分布列，它具有概率分布列的一切性質(zhì)概率分布列的一切性質(zhì). 正如條件概率是一正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì)種概率，具有概率的一切性質(zhì)., 0)|

41、(jiyYxXP例如：例如：1)|(1ijiyYxXPi=1,2, 例例1 一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 p，(0p1)， 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止止. 以以X 表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)數(shù)，以，以Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù). 試求試求X和和Y的聯(lián)合分布列及條件分布列的聯(lián)合分布列及條件分布列.解：解：依題意，依題意，Y=n 表示在第表示在第n次射擊時(shí)擊中次射擊時(shí)擊中目標(biāo)目標(biāo),且在前且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo)次射擊中有一次擊中目標(biāo).X=m表示首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了表示首次

42、擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次次n次射擊次射擊擊中擊中2nn-11.m擊中擊中22)1 (),(nppnYmXP n=2,3, ; m=1,2, , n-1由此得由此得X和和Y的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 不論不論m(mn)是多少，是多少，P(X=m,Y=n)都應(yīng)等于都應(yīng)等于22)1 (),(nppnYmXPn次射擊次射擊擊中擊中2nn-11.m擊中擊中每次擊中目標(biāo)的概率為每次擊中目標(biāo)的概率為 pP(X=m,Y=n)=？ 為求條件分布，先求邊緣分布為求條件分布，先求邊緣分布.X的的邊緣分布列是：邊緣分布列是：1),(mnnYmXPmXPm=1,2, 122)1 (mnnpp122)1 (mnnpp)1

43、(1)1 (212pppm1)1 (mppY的的邊緣分布列是：邊緣分布列是：11),(nmnYmXPnYPn=2,3, 1122)1 (nmnpp22)1 () 1(nppn于是可求得于是可求得：)|(nYmXP2222)1 () 1()1 (nnppnpp,11n當(dāng)當(dāng)n=2,3, 時(shí)，時(shí)，m=1,2, ,n-1,nYPnYmXP聯(lián)合分布列聯(lián)合分布列邊緣分布列邊緣分布列n=m+1,m+2, 當(dāng)當(dāng)m=1,2, 時(shí)，時(shí)，,mXPnYmXP122)1 ()1 (mnpppp,)1 (1mnpp)|(mXnYP 二、連續(xù)型二、連續(xù)型r.v的條件分布的條件分布 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維是二維連續(xù)型連續(xù)型r.

44、v，由于對(duì)任意由于對(duì)任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以不能直接，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義直接給出條件概率密度的定義.)(),()|(|xfyxfxyfXXY定義定義2 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 f (x,y),邊緣概率密度為邊緣概率密度為 ，則對(duì)一切使，則對(duì)一切使)(),(yfxfYX0)(xfX 的的x , 定義已知定義已知 X=x下，下，Y 的條件的條件密度函數(shù)為密度函數(shù)為同樣，對(duì)一切使同樣，對(duì)一切使 的的 y, 定義定義)(),()|(|yfyxfyxfYYX0)(yfY為已知為已知 Y=y下，下，X的條件密度函數(shù)的條件密度函數(shù) . 我們來解釋