函數(shù)的單調(diào)性葉小飛本PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1函數(shù)的單調(diào)性葉小飛本函數(shù)的單調(diào)性葉小飛本第1頁/共38頁二、新知探究二、新知探究解析法圖像法通俗語言：在區(qū)間（0，+）上， 隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大。數(shù)學(xué)語言：在區(qū)間（0，+）上， 任取 ，得 當 時，有 。這時我們就說函數(shù) 在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx )()(21xfxf2)(xxfx 01 2 3 4f(x) 01 4 9 16 列表法如何描述函數(shù)圖像的“上升”“下降”呢？第2頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x)

2、 y=f(x)圖象圖象特征特征數(shù)量數(shù)量特征特征第3頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升數(shù)量數(shù)量特征特征第4頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大第5頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)

3、f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大第6頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大y隨隨x的增大而減小的增大而減小第7頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0

4、yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大當當x1x2時，時， f(x1) f(x2)y隨隨x的增大而減小的增大而減小第8頁/共38頁0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)圖圖象象 y=f(x) y=f(x)圖象圖象特征特征從左至右，圖象上升從左至右，圖象上升從左至右，圖象下降從左至右，圖象下降數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增

5、大的增大而增大當當x1x2時，時， f(x1) f(x2)第9頁/共38頁 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)由此得出單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)的定義的定義. .xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為A,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域A內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間I， x1,x2 I設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為A,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域A內(nèi)內(nèi)某個

6、區(qū)間某個區(qū)間I上上 x1,x2 I 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當當x1x2時，時，都有都有f(x1 ) f(x2 )，當當x1x2時，時，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間第10頁/共38頁看下列函數(shù)圖象看下列函數(shù)圖象,下列各函數(shù)有沒有單調(diào)區(qū)間下列各函數(shù)有沒有單調(diào)區(qū)間,若有寫出其單調(diào)區(qū)間若有寫出其單調(diào)區(qū)間.圖圖1圖圖3圖圖2沒有單調(diào)區(qū)間沒有單調(diào)區(qū)間減區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間增區(qū)間,00,沒有單調(diào)區(qū)間沒有單調(diào)區(qū)間第11頁/共38頁（2 2）函數(shù)單調(diào)性是針對某個）函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間區(qū)

7、間而言的，是而言的，是一個局部一個局部性質(zhì)性質(zhì); ;有些函數(shù)在定義域內(nèi)可能是單調(diào)的如有些函數(shù)在定義域內(nèi)可能是單調(diào)的如 y=x;y=x;有些有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一部分函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一部分區(qū)間上是減函數(shù)，還有的函數(shù)區(qū)間上是減函數(shù)，還有的函數(shù)是非單調(diào)的，如是非單調(diào)的，如y=c,y=2xxy=c,y=2xxN|1x5（1 1）如果函數(shù)）如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間在區(qū)間D D是單調(diào)增函數(shù)或單是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù) y = =f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I I上具有上具有單調(diào)性。單調(diào)性。 區(qū)間區(qū)間D D叫做叫做

8、y =f(x)的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間在單調(diào)區(qū)間上，在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是增函數(shù)的圖象是上升上升的，減函數(shù)的，減函數(shù)的圖象是的圖象是下降下降的。的。判斷判斷1 1：函數(shù)函數(shù) f (x)= x2 在在 是單調(diào)增函數(shù)；是單調(diào)增函數(shù)；, xyo2yx第12頁/共38頁判斷判斷2 2：定義在定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) f ( (x) )滿足滿足 f (2) (2) f(1)(1)，則函數(shù)則函數(shù) f ( (x) )在在R上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；（3 3） a) a) x x 1 1, , x x 2 2 取值的取值的任意任意性性; ;不能以特殊值代替不能以特殊值代替 b) 必須有大小，一般令必須有大小，

9、一般令 c)同屬一個單調(diào)區(qū)間同屬一個單調(diào)區(qū)間yxO12f(1)f(2)12,x x12xx第13頁/共38頁例例1：下圖是定義在區(qū)間：下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)， 根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào)根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào) 區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,-2), 1,3)是減函數(shù)，是減函數(shù)， 在區(qū)間在區(qū)間-2,1), 3,5 上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。第14頁/共38頁例例2. 寫出單調(diào)區(qū)

10、間寫出單調(diào)區(qū)間1(1)(0);yxxx1yxy1yx的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,),討論討論1：1(0)(,0)(0,)yxx能不能說在定義域上是單調(diào)減函數(shù)? ？不能不能數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想要了解某函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進要了解某函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進行觀察是一種常用的方法，但這種方法比較粗略。嚴格地行觀察是一種常用的方法，但這種方法比較粗略。嚴格地 說，它還需要進行證明。說，它還需要進行證明。（4）若函數(shù) f(x)在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減）函數(shù)一般不能簡單認為f(x)在AB上是增（減）函數(shù)第15頁/共38頁yoxoyxyox

11、在(-,+)是減函數(shù)在(-,0)和(0,+)是減函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2abyoxyoxyox在(-,+)是增函數(shù)在(-,0)和(0,+)是增函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2ab(0)ykx b k(0)y kx bk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca第16頁/共38頁 x x1 1,x,x2 2 0 0，+）, ,且且x x1 1 x x2 2， 則：則：2121)()(xxxfxf2121xxxx由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得 021 xx021xx于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 0。即即 f(xf(x1

12、 1) )f(xf(x2 2) )所以函數(shù)所以函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。）上為增函數(shù)。xxf)(證明:例例4 證明函數(shù)證明函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0，+）上為增函數(shù)。）上為增函數(shù)。xxf)(第17頁/共38頁1 取值取值： x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差：f(x1)f(x2)；3 變形變形：通常是因式分解和通分；：通常是因式分解和通分；4 定號定號：即判斷差：即判斷差f(x1)f(x2)的正負；的正負；5 下結(jié)論下結(jié)論：即指出函數(shù)：即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的上的 單調(diào)性單調(diào)性第18頁/共38頁成果運用成果運用變式變式1請你說出一個單調(diào)減區(qū)間是請你說出一個

13、單調(diào)減區(qū)間是 的二次函數(shù)的二次函數(shù), 1 變式變式2請你說出一個在請你說出一個在 上單調(diào)遞減的函數(shù)上單調(diào)遞減的函數(shù), 1 ,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)上單調(diào)遞增，求遞增，求a的取值范圍。的取值范圍。 第19頁/共38頁( )21A yx 2( )31B yx 2()Cyx2()21D yxx1010 xxxx _第20頁/共38頁成果運用成果運用,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)上單調(diào)遞增，求遞增，求a的取值范圍。的取值范圍。 解：解：二次函數(shù)二次函數(shù) 的對稱軸為的對稱軸為 , ,由圖象可知只要由圖象可知只要 ，即，

14、即 即可即可. . 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o第21頁/共38頁判斷題：（1）已知f(x)= ，因為f(-1)f(2),所以函數(shù)f(x)是 增函數(shù)。（2）若函數(shù)f(x)滿足f (2)f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2，3 上為增函數(shù)。（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2和(2，3)上均為增函數(shù)， 則函數(shù)f(x)在(1，3)上為增函數(shù)。（4）因為函數(shù)f(x)= 在區(qū)間（-，0）和（0，+） 上都是減函數(shù)，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是減函數(shù)。1x1x1x第22頁/共38頁例5：證明函數(shù) 上是增函數(shù)。 ），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，

15、且證明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21 ()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函數(shù)，在（，即，22)()()(0)()(022, 02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx第23頁/共38頁例6：證明函數(shù) 在R上是增函數(shù)。xxxf3)(證明：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf則)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xxxxxx1432)(2222212

16、121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx第24頁/共38頁例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。xxxf1)(221xx 021xx上是增函數(shù)。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432第25頁/共38頁例7：證明函數(shù) 在其定義域內(nèi) 是減函數(shù)。xxxf1)(2，的定義域為證明：)(xf)1()1()()(),(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且設(shè)任意的11)1()1()(11)11()()()(11)()(11)()11(22212222112122212221212121222121212122

17、212221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第26頁/共38頁21xx 。在其定義域內(nèi)是減函數(shù)即即有，都有對任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01, 0101,110110221212222112222222121第27頁/共38頁思考思考例1（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為增函數(shù)？ 為什么？12121212121122,( )( )()(), ()()()() ()() ()()x xDxx

18、f xDg xDf xf xg xg xF xF xf xg xf xg x且在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上是增函數(shù))()()()(2121xgxgxfxf)()(, 0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上仍為增函數(shù)是第28頁/共38頁（2）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。 問：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍為減函數(shù)？ 為什么？（3）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)， 函數(shù)g(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。 問：能否確定函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)性？反例反例：f(x)=x在R

19、上是增函數(shù)，g(x)=-x在R上是減函數(shù) 此時 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0為常函數(shù)，不具有單調(diào)性不能是同加，單調(diào)性不變第29頁/共38頁 g x ag xb f x fg x 12122121,( ),()().,.,x xm nxxg xm nag xbag xg xbf xa bfg xfg xfg xm n證：且是上減函數(shù)，且又是上的增函數(shù),在上是減函數(shù).第30頁/共38頁 fg x f x ag xb fg x fg x f x ,xa bx當時，函數(shù)g的值域。第31頁/共38頁小結(jié)：小結(jié)：同增異減同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮

20、函數(shù)的定定義域義域，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個區(qū)間。，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個區(qū)間。的單調(diào)性。的單調(diào)性，從而得出與的單調(diào)性，必須考慮對于復(fù)合函數(shù))()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)單調(diào)性第32頁/共38頁注：注：第33頁/共38頁例例1.設(shè)設(shè)y=f(x)的單增區(qū)間是的單增區(qū)間是(2,6)，求函數(shù)，求函數(shù)y=f(2x)的的單調(diào)區(qū)間。單調(diào)區(qū)間。 2,2,62,6 ,22,6 ,4,0 .24,024,024,0 xxfttxxxxxxfxfxxfx 解：令t由已知得，在上是增函數(shù)。而t又t在上是單調(diào)遞減的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：t在上是單調(diào)遞減的。的單調(diào)減區(qū)間是。第34頁/