橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo) ：1知識(shí)與技能目標(biāo)：（ 1）掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 .（ 2）能用橢圓的定義解決一些簡單的問題 .2過程與方法目標(biāo)：（ 1）通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)， 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、 認(rèn)識(shí)規(guī)律并利 用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力 .（2）在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思 想和方法3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：（1）通過橢圓定義的歸納過程獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣 . （2）通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識(shí)并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”.（3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他 人合作交流的意識(shí) .二、教學(xué)重點(diǎn)、難

2、點(diǎn) ：1重點(diǎn)：橢圓定義的歸納及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。2難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。三、教材與教法分析（一）、教材、學(xué)習(xí)者特征分析：本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程的基礎(chǔ)上，進(jìn) 一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式 和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容；橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程推導(dǎo)過程中，化簡兩個(gè)根式的方程的方法特殊，難度較大，學(xué)生初次遇到。（二）、教學(xué)方法和教學(xué)策略分析：探究式、啟發(fā)式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究，形成師生 互動(dòng)的教學(xué)氛圍。以啟發(fā)、引導(dǎo)為主，采用設(shè)疑的形式，逐步讓學(xué)生進(jìn)行探究性的學(xué) 習(xí)

3、。充分利用了青少年學(xué)生富有創(chuàng)造性和好奇心，敢想敢為，對(duì)新事物具有濃厚的興 趣的特點(diǎn)。讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求和題目中的已知條件，自覺主動(dòng)地創(chuàng)造性地去 分析問題、討論問題、解決問題。四、教具： 多媒體 直尺、細(xì)繩、釘子、筆、小木黑板第一課時(shí)五、教學(xué)過程新課引入2010年 10月 1 日，中國的航天史又被翻開了新的一頁， 我國自主研制的嫦娥二號(hào) 探月衛(wèi)星升上太空，在太空中探索宇宙的奧秘。這一事件，再一次向世界表明，我們 中國人有信心、有能力攀登一個(gè)又一個(gè)科學(xué)高峰?！版隙鸲?hào)”升空后，準(zhǔn)確的進(jìn)入 預(yù)定軌道，它運(yùn)行中期的軌道是一個(gè)橢圓。在宇宙中還有許多天體的運(yùn)行軌道也是橢圓， 生活中也有許多橢圓形的實(shí)

4、際例子。 由此看來，若要探索浩瀚宇宙的奧秘，解決日常生活中與橢圓有關(guān)的一些實(shí)際問題， 需要對(duì)橢圓這一圖形進(jìn)行研究。今天我們就來研究什么是橢圓及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。那 么什么是橢圓呢？（一）認(rèn)識(shí)橢圓，問題引出 :1對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí) .通過演示課前老師和學(xué)生共同準(zhǔn)備的有關(guān)橢圓的實(shí)物和圖片，讓學(xué)生從 感性上認(rèn)識(shí)橢圓 . （演示：天體運(yùn)行軌道 ；生活實(shí)例：平面截圓錐等圖片）2對(duì)比圓的定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。 如果將圓的定義中的“定點(diǎn)”改為“兩定點(diǎn)”，“距離”改為“距離的和”，那么平面內(nèi)到兩定點(diǎn) 的距離的和等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）是什么圖形？（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體驗(yàn)指導(dǎo)學(xué)生互相合作（主

5、要在于動(dòng)手），體驗(yàn)畫橢圓的過程（課前準(zhǔn)備直尺、細(xì) 繩、釘子、筆、紙板），并以此了解橢圓上的點(diǎn)的特征 .請(qǐng)三名同學(xué)上臺(tái)畫在黑板上 . 注：在本環(huán)節(jié)中不急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是先設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一來是為了給學(xué)生一 個(gè)創(chuàng)造實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)， 讓學(xué)生體會(huì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律； 二是通過實(shí)踐， 為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備。先在畫板上點(diǎn)兩點(diǎn)Fi、F2,取一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫板上的Fi、F2兩點(diǎn)處?！狙菔疽弧慨?dāng)繩長等于 | F 1 F2| 時(shí)，使筆尖貼緊繩子慢慢移動(dòng)。（1） 、觀察：筆尖的軌跡是一個(gè)什么圖形？明確：一條線段（2）、這條線段上的每一個(gè)點(diǎn)到 Fi、F2兩點(diǎn)的距離和都相等嗎？明確 ： 相等，

6、而且都等于這條繩長【演示二】當(dāng)繩子長大于| Fi F2|時(shí)，用筆尖把繩子拉緊，繩子盡量貼緊畫板，使筆尖在畫板上慢慢移動(dòng)（學(xué)生親手畫），就可以在平面內(nèi)畫出一個(gè)橢圓（動(dòng)畫演示）（三）歸納定義【引導(dǎo)】根據(jù)畫圖的過程，請(qǐng)同學(xué)們思考橢圓上的點(diǎn)有什么共同特征？提問：（1）在畫圖的過程中，繩長變了嗎？明確：沒有（2）在畫圖過程中，繩子始終是緊繃的，那么我們畫出的曲線上的點(diǎn)到Fi、F2兩點(diǎn)的距離之和始終滿足什么關(guān)系？明確：與繩長相等對(duì)，繩長沒有發(fā)生變化，這說明橢圓上每一點(diǎn)到Fi、F2兩點(diǎn)的距離的和都相等，且都是繩長這一定值。這就說明，橢圓上的點(diǎn)除了要滿足到兩定點(diǎn)Fi、F2的距離和相等之外，這個(gè)距離和還要比|F

7、i F2| 大。請(qǐng)大家回想剛才的畫圖過程，使筆尖貼緊繩子且貼緊黑板 （表明在同一平面內(nèi)），又保證繩長大于| F i F2I，這樣就在平面內(nèi)畫出了橢圓，所有具有這些特征的點(diǎn)集在一起就形成了橢圓。再次（運(yùn)用幾何畫板的度量工具）演示橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和都相等（為定值）。那么請(qǐng)同學(xué)們給橢圓下個(gè)定義吧！引導(dǎo)學(xué)生歸納出橢圓的定義。橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2的距離的和等于常數(shù)（大于| FiF2 |）的點(diǎn)的軌跡叫做 橢圓。鞏固練習(xí)：平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B,它們之間的距離為6 cm .（i）若動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離和是定值，且大于（填大于、等于或小于）6 cm，則它的軌跡是橢圓，定點(diǎn)A和B

8、是橢圓的焦點(diǎn)。它們之間的距離就是橢圓的焦距。（2）若動(dòng)點(diǎn)P與A B兩點(diǎn)的距離的和等于6cm,則它的軌跡是 線段AB。（3） 若動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離的和小于6cm,則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在 。（四）合理建系，推導(dǎo)方程為了進(jìn)一步研究橢圓的特征，現(xiàn)在我們一起來推導(dǎo)橢圓的曲線方程：上一節(jié)我們知道了求曲線方程第一步，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y ）表示曲線上任意一點(diǎn) M的坐標(biāo)。在這兒“適當(dāng)”二字應(yīng)如何體現(xiàn)?由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式，把 學(xué)生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進(jìn)行比較，從中選擇比較簡潔優(yōu)美的形式確定為標(biāo)準(zhǔn)方程已知橢圓的焦距|FiF2

9、#2c,(c 0)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)FiF的距離之和為2a，求橢圓的方程.如圖1,以兩個(gè)定點(diǎn)Fi,F2所在直線為X軸，線段F1 F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)F1F2 =2c(c 0)，點(diǎn)MF2OFiM (x, y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則MFj +MF(稱此式為幾何條件)(實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化)所以，得xlc 2屮 e 2一y2 = 2a為化簡這個(gè)方程，將左邊的一個(gè)根式移到右邊，得x c 亠 y2 二 2a _ . xc ?將這個(gè)方程兩邊平方，得(x+c) 2+y2 = 4孑 _4ax _c 2 y2 (x -c)2 y2，整理得a2 _ ex 二 a , (x _c)2 寸上

10、式兩邊再平方，得42222222 222a - 2a ex e x a x - 2a ex a e a y ,整理得z 2 2、 2 2 2 2Z 2 2、(a -e )x a y =a(a -e )注：這是本節(jié)的難點(diǎn)所在，通過課堂精心設(shè)問來突破難點(diǎn)：1. 化簡含有根號(hào)的式子時(shí)，我們通常用什么方法？2. 對(duì)于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平方？由于化簡兩個(gè)根式的方程的方法特殊，難度較大，估計(jì)學(xué)生容易想到直接平方，這時(shí) 可讓學(xué)生預(yù)測這樣化簡的難度，從而確定移項(xiàng)平方可以簡化計(jì)算。為此，我首先啟發(fā)學(xué)生如何去掉根號(hào)較好，讓學(xué)生動(dòng)手比較，最后得出移項(xiàng)平方化簡方程比較簡單，這樣有利于 培養(yǎng)學(xué)生的分析比

11、較能力。方程(a?-c2)x2 a2y2 =a2(a2-c2)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，不便記憶，還可以繼續(xù)化簡嗎?由橢圓的定義可知，2a>2c,即a> c,所以a2 - c2 >0兩邊同除以a2(a2 -c2)，得2 2x + y2 2 2 a a -c那么所得的橢圓方程可化為:因?yàn)?a2 -c2 > 0 不妨令 a2 - c2 二 b2，22(a b -0)(1)xy22 = 1，ab我們稱方程(1)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它的焦點(diǎn)在x軸上。注：這里引入正數(shù)b (令b2=a2-c2),其目的是使方程形式簡單、和諧，講究對(duì)稱美, 便于記憶。同時(shí)b具有特定的幾何意義，我們將在下一小節(jié)繼續(xù)學(xué)

12、習(xí)。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解：所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。問題：如果焦點(diǎn)R,F2在y軸上，且FF2的坐標(biāo)分別為：(0, -c ) ,(0,c), a ,b 意義同上，那么橢圓的方程是什么呢?2 2可讓學(xué)生先猜想結(jié)論： 告令=1 (a>b>0)，并說明理由。a b讓學(xué)生通過對(duì) y -c 2 x2c 2 x2 =2a進(jìn)行觀察，與前面對(duì)比。實(shí)際上只要將前面的x軸與y軸互換，就可得到焦點(diǎn)在y軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 2y2 x2 =1，(a b 0)(2)a b兩種標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)的比較：1.兩個(gè)方程中都有：a2= b2+c2，a>b>0, a>

13、;c>0,b與c大小不定。2.兩個(gè)方程焦點(diǎn)位置的確定：哪個(gè)分式的分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上（五）應(yīng)用舉例，小結(jié)升華例已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（-2 , 0）,（ 2, 0）,并經(jīng)過點(diǎn)（-），求它的標(biāo) 2 2準(zhǔn)方程。分析：法一：可由橢圓的定義先求出 2a,又已知c,故可求出方程。法二：由焦點(diǎn)坐標(biāo)知道a , b的關(guān)系，再將已知點(diǎn)弓弓代入橢圓方程。 解法一、橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2爲(wèi)務(wù)=1 (a> b> 0)a b由橢圓的定義知2a =卜3）2=2 10所以a =10又因?yàn)?c = 2 ，所以 b2 = a 2 - c2 = 10- 4 = 6.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2xy1106解法二：因?yàn)閏 = 2 ,所以a2 = b 2 + 42 2所以可設(shè)橢圓方程為：¥ 氣=1b+4 b把點(diǎn)（5，-牛）代入，可解得b2 = 6 .所以a2 = 10.x22因此，所求標(biāo)準(zhǔn)方程為y =1.10 6鞏固練習(xí):2 21如果橢圓盒話"上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于6,那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離是 142.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1) a=4 ,b = 1 ,焦點(diǎn)在x軸上上；明確：2 x2y=116(2) a=4 ,c =.15 ,焦點(diǎn)在y軸上；明確：2yx2=1162 222a +b = 10 ,