全等三角形知識點(diǎn)講解--北師大

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：全等形能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。知識點(diǎn)二：全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形知識點(diǎn)三：對應(yīng)頂點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角。知識點(diǎn)四：全等三角形的性質(zhì)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等知識點(diǎn)五：三角形全等的判定定理（一）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊邊邊”或“SSS”知識點(diǎn)六：三角形全等的判定定理（二）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS”知識點(diǎn)七：三角形全等的判定定理（三）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，

2、簡寫成“角邊角”或“ASA”知識點(diǎn)八：三角形全等的判定定理（四）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“角角邊”或“AAS”知識點(diǎn)九：直角三角形全等的判定定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.探索三角形全等的條件：（1）一般三角形全等的判別方法有四種方法：邊角邊（SAS）；角邊角(ASA);角角邊(AAS);邊邊邊(SSS).(2)直角三角形的全等的條件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.2判別兩個三角形全等指導(dǎo)（1）已知兩邊（2）已知一

3、邊一角（3）已知兩角3經(jīng)驗(yàn)與提示：尋找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的規(guī)律： 全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊 全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩個對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角 有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊 有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角 有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角全等三角形中的最大邊(角)是對應(yīng)邊(角)，最小邊(角)是對應(yīng)邊(角)找全等三角形的方法可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)

4、造全等三角形。證明線段相等的方法： 中點(diǎn)定義；等式的性質(zhì)；全等三角形的對應(yīng)邊相等；借助中間線段（即要證a=b,只需證a=c,c=b即可）。隨著知識深化，今后還有其它方法。證明角相等的方法：對頂角相等；同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等；兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；等式的性質(zhì)；垂直的定義；全等三角形的對應(yīng)角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和。隨著知識的深化，今后還有其它的方法。證垂直的常用方法 證明兩直線的夾角等于90°；證明鄰補(bǔ)角相等；若三角形的兩銳角互余，則第三個角是直角；垂直于兩條平行線中的一條直線，也必須垂直另一條。證明此角所在的三角形與已知直角三角形全等；鄰補(bǔ)角的

5、平分線互相垂直。全等三角形中幾個重要結(jié)論全等三角形對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等；全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。4.知識的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用：根據(jù)三角形全等找對應(yīng)邊，對應(yīng)角，進(jìn)而計(jì)算線段的長度或角的度數(shù).（2）全等三角形判別方法的應(yīng)用：根據(jù)判別方法說明兩個三角形全等，進(jìn)一步根據(jù)性質(zhì)說明線段相等或角相等.（3）用全等三角形測量距離的步驟：先明確要解決什么實(shí)際問題；選用全等三角形的判別方法構(gòu)造全等三角形；說明理由.5注意點(diǎn)（1）書寫全等三角形時一般把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對應(yīng)的位置.（2）三角形全等的判別方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判別三角形全等的條件中至少

6、有一條邊.（3）尋找三角形全等的條件時，要結(jié)合圖形，挖掘圖中的隱含條件：如公共邊、公共角、對頂角、中點(diǎn)、角平分線、高線等所帶來的相等關(guān)系.（4）運(yùn)用三角形全等測距離時，應(yīng)注意分析已知條件，探索三角形全等的條件，理清要測定的距離，畫出符合的圖形，根據(jù)三角形全等說明測量理由.（5）注意只有說明兩個直角三角形全等時，才使用“HL”，說明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.數(shù)學(xué)思想方法（1）轉(zhuǎn)化思想：如將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題解決等.（2）方程思想：如通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和之間的關(guān)系構(gòu)造方程解決角度問題.（3）類比思想：如說明兩個三角形全等時，根據(jù)已知條件選擇三角形全等 經(jīng)典例題透析類型一：全

7、等三角形性質(zhì)的應(yīng)用1、如圖，ABDACE，AB=AC，寫出圖中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.2、如圖，已知ABCDEF，A=30°，B=50°，BF=2，求DFE的度數(shù)與EC的長。類型二：全等三角形的證明3、如圖，ACBD，DFCE，ECBFDA，求證：ADFBCE類型三：綜合應(yīng)用4、如圖，AD為ABC的中線。求證：AB+AC>2AD.5、如圖，ABCD，BEDF，BD，求證：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF7、ABC中，AB=AC，D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DEAB，DFAC，CGAB垂足分別是E、F、G.試判斷：猜測線段 DE、DF、CG的數(shù)量有何關(guān)系？并證明

8、你的猜想。思路點(diǎn)撥:尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析：結(jié)論：DE+DF=CG方法一：（截長法）板書此種方法（3分鐘） 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 四邊形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG方法二（補(bǔ)短法）作CMED交ED的延長線于M（證明過程略） 總結(jié)：截長補(bǔ)短的一般思路，并由此可以引申到截長法有兩種截長的想法方法三（面積法）使用等積轉(zhuǎn)化 引申：如果將條件“D是底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“D是

9、底邊BC的延長線上任意一點(diǎn)”，此時圖形如何？DE、DF和CG會有怎樣的關(guān)系？畫出圖形，寫出你的猜想并加以證明 隨堂練習(xí) 基礎(chǔ)題隨堂練習(xí) 基礎(chǔ)題1下列命題正確的是( )A全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B全等三角形是指面積相同的兩個三角形C兩個周長相等的三角形是全等三角形 D全等三角形的周長、面積分別相等2. 如圖1，ABDCDB，且AB、CD是對應(yīng)邊；下面四個結(jié)論中不正確的是：( )A、ABD和CDB的面積相等 B、ABD和CDB的周長相等C、A+ABD =C+CBD D、AD/BC，且AD = BC3（2009年江蘇?。┤鐖D2，給出下列四組條件：； 其中，能使的條件共有（ ）A1組B2組

10、C3組D4組 圖24.如圖2，在ABC與DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個條件才能使ABCDEF，不能添加的一組條件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF5.（2009年海南省中考卷第5題）已知圖5中的兩個三角形全等，則度數(shù)是（ ）圖5A.72° B.60° C.58° D.50°6. （2009年廣西欽州）如圖6，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC、BD交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（ ）A2對B3對C4對D5對圖67（2009年清遠(yuǎn)）如圖7，若，且，則= ABCC1A1B

11、1圖7CAB圖88、（2009陜西省太原市）如圖8，=30°，則的度數(shù)為（ ）A20° B30°C35° D40°ACEBD圖99、（09湖南懷化）如圖9，已知，要使 ，可補(bǔ)充的條件是 （寫出一個即可）10、（2009年遂寧）已知ABC中，AB=BCAC，作與ABC只有一條公共邊，且與ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出 個.11、（2009年宜賓）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CB,AD=CD。 求證：C=A.12、(2009武漢)如圖，已知點(diǎn)在線段上，BE=CF，ABDE，ACB=F求證：CEBFDAADCBE13、（2009

12、年漳州）如圖，在等腰梯形中，為底的中點(diǎn)，連結(jié)、求證：14、（2009年黃石市）如圖，在上，求證：ABCFED15、（09湖北宜昌）已知：如圖2，在RtABC和RtBAD中，AB為斜邊，AC=BD，BC，AD相交于點(diǎn)E(1) 求證：AE=BE；(2) 若AEC=45°，AC=1，求CE的長 提升題1. 如圖，長方形ABCD中(AD>AB)，M為CD上一點(diǎn)，若沿 著AM折疊，點(diǎn)N恰落在BC上，則ANB+MNC=_；2（2009年邵陽市）如圖，將RtABC(其中B34，C90）繞A點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)到AB1 C1的位置，使得點(diǎn)C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（ ）A.5

13、6 B.68 C.124 D.18034B1CBAC13. (2009年陜西省)如圖，在ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE并延長，交BA的延長線于點(diǎn)F求證：FAAB4. （09湖南懷化）如圖9，P是BAC內(nèi)的一點(diǎn)，垂足分別為點(diǎn)求證：（1）；（2）點(diǎn)P在BAC的角平分線上 5.（2009年茂名市）如圖，方格中有一個請你在方格內(nèi)，畫出滿足條件的并判斷與是否一定全等？BAC6.(2009年云南省)如圖，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC與DB交于點(diǎn)M（1）求證：ABCDCB ；（2）過點(diǎn)C作CNBD，過點(diǎn)B作BNAC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論B CA DMN7. 如圖，在AOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON，OD=OE，DN 和EM相交于點(diǎn)C求證：點(diǎn)C在AOB的平分線上8.（2009年衢州）如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30°；（2）PA=PQACBDPQ9. （2009年甘肅白銀）如圖，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90&