三重積分在柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系下的計(jì)算ppt課件

1、在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算一、在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法一、在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算法的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( .,sin,coszzryrx xyzo),(zyxM),(rPr規(guī)定：規(guī)定：,0 r,20 . z為常數(shù)為常數(shù)r圓柱面圓柱面為常數(shù)為常數(shù) 半平面半平面為常數(shù)為常數(shù)z平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元,dzrdrddv drxyzodzdr rd

2、dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf 然后再把它化為三次積分來計(jì)算然后再把它化為三次積分來計(jì)算積分次序一般是先積分次序一般是先 z 次次 r 后后 積分限是根據(jù)積分限是根據(jù) 在積分區(qū)域中的變化范圍來確在積分區(qū)域中的變化范圍來確定定zr, 例例11,:,)(22222 zyxzdvzyx 解解將將 投到投到xoy 面得面得D 122 yx1, 10 ,20 zrr 2010122222)()(rrdzzrdrddvzyx103)343(24103 drrrr注注 若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體、若空間區(qū)域?yàn)橐宰鴺?biāo)軸為軸的圓柱體、圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時(shí)，通常情況下總是

3、考圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時(shí)，通常情況下總是考慮使用柱坐標(biāo)來計(jì)算。慮使用柱坐標(biāo)來計(jì)算。例例22, 1,:,2222 zzyxzdxdydzyxez 解解 zzryrx sincos, 關(guān)鍵在于定出關(guān)鍵在于定出 的變化范圍的變化范圍 zr , r , 的范圍容易定出的范圍容易定出20 ,20 r z 呢呢？注意到注意到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 r21 z時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)21 r2 zr212201021rdzredrrdzredrdIrzz 212222)(2)(2edreeeer 二、在球坐標(biāo)系下的計(jì)算法二、在球坐標(biāo)系下的計(jì)算法的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為

4、為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來確定，其中來確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA .cos,sinsin,cossin rzryrx規(guī)定規(guī)定,r 0,0 .20 為常數(shù)為常數(shù)r球球 面面為常數(shù)為常數(shù) 圓錐面圓錐面為常數(shù)為常數(shù) 半平面半平面如圖，球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，球面坐標(biāo)系中的體

5、積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf然后把它化成對然后把它化成對 的三次積分的三次積分 , r具體計(jì)算時(shí)需要將具體計(jì)算時(shí)需要將 用球坐標(biāo)系下的不等式組表示用球坐標(biāo)系下的不等式組表示 積分次序通常是積分次序通常是 后后次次先先r例例3 3 計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體.解一解一用球坐標(biāo)用球坐標(biāo)az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,co

6、s0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解二解二 用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)222zyx , rz ,:222ayxD ,20,0,: arazr dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)， 由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積

7、分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 注注假設(shè)假設(shè) 積分區(qū)域?yàn)榍蝮w、球殼或其一部分積分區(qū)域?yàn)榍蝮w、球殼或其一部分被積函數(shù)呈被積函數(shù)呈222zyx 而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)方程比較簡單而用球坐標(biāo)后積分區(qū)域的球坐標(biāo)方程比較簡單通常采用球坐標(biāo)。通常采用球坐標(biāo)。補(bǔ)充：利用對稱性簡化三重積分計(jì)算補(bǔ)充：利用對稱性簡化三重積分計(jì)算使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的奇偶性奇偶性

8、一一般般地地，當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域 關(guān)關(guān)于于xoy平平面面對對稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為零零，若若被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個(gè)個(gè)閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍.“你對稱，我奇偶你對稱，我奇偶” dvzyxfI),(對對 若若關(guān)于關(guān)于 xoy 面對稱面對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)) ,(),()1(zyxfzyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(zyxfzyxf 1),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(1 zzyxzyx

9、若若關(guān)于關(guān)于 xoz 面對稱面對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()1(zyxfzyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(zyxfzyxf 2),(2 dvzyxfI )0,( | ),(2 yzyxzyx 若若關(guān)于關(guān)于 yoz 面對稱面對稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()1(zyxfzyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(zyxfzyxf 3),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(3 xzyxzyx 三、小結(jié)三、小結(jié)三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素 ddrdrd

10、xdydzsin2 （3） 對稱性簡化運(yùn)算對稱性簡化運(yùn)算思考題思考題則則上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為面面對對稱稱的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域，中中關(guān)關(guān)于于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng)z 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng)z2.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy 練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積分 dvzyxf),(表示成直角坐標(biāo)下表示成直

11、角坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標(biāo)下在球面坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍, ,將將 zdv表為柱面坐標(biāo)下的三次積分表為柱面坐標(biāo)下的三次積分_, ,其值為其值為_. . 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標(biāo)下的三次積分或柱面坐標(biāo)下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx

12、, ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標(biāo)下的三次積分為表為球面坐標(biāo)下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計(jì)算下列三重積分二、計(jì)算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成

13、的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設(shè)設(shè)密密度度1 ) ). .六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻圓柱體對于過中心而垂的均勻圓柱體對于過中心而垂 直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ( (設(shè)密度設(shè)密度)1 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2； 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , Ddxdyayx