為了解估計值的精確度需要對θ的取值估計出一個范圍為ppt課件

1、 為了解估計值的精確度，需要對為了解估計值的精確度，需要對的取值估計的取值估計出一個范圍；為了解其可靠性，需要知道這個范出一個范圍；為了解其可靠性，需要知道這個范圍包含參數(shù)圍包含參數(shù)的真值的可靠程度。這樣的范圍通的真值的可靠程度。這樣的范圍通常以區(qū)間的形式給出，這就是所謂區(qū)間估計問題常以區(qū)間的形式給出，這就是所謂區(qū)間估計問題.設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為 ，),(xfX1,X2,Xn為為X 的樣本，對于事先給定的的樣本，對于事先給定的 (01)，若存在統(tǒng)計量若存在統(tǒng)計量),(21nXXX ，)X,X,X(n21 和和，P 1使得使得 ),(則稱區(qū)間則稱區(qū)間是參數(shù)是參數(shù)的置信度為的置信

2、度為1-的置信區(qū)間，的置信區(qū)間，和和分別稱為置信度分別稱為置信度為為1-的置信區(qū)間的置信下限和置信上限，的置信區(qū)間的置信下限和置信上限， 1-稱為置稱為置信度。信度。),(P 11.不要把不要把理解為理解為落在區(qū)間落在區(qū)間是統(tǒng)計量，即是統(tǒng)計量，即 是隨機(jī)區(qū)間，而是隨機(jī)區(qū)間，而是一個客觀存是一個客觀存),(在的未知數(shù)在的未知數(shù). .所以確切的理解是隨機(jī)區(qū)間所以確切的理解是隨機(jī)區(qū)間 包含包含),(內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為1-1-，這種理解不夠確切，這種理解不夠確切. .因?yàn)橐驗(yàn)?和和 都都例如：例如： 對總體取對總體取100100個容量為個容量為n n 的樣本觀察值，可得到的樣本觀察值，可得到1001

3、00個個95. 0 P),(，其中平均有，其中平均有95%95%個包含了未知參個包含了未知參確定的區(qū)間確定的區(qū)間數(shù)數(shù)的真值，還有大約的真值，還有大約5%5%個不包含個不包含的真值的真值. .2.置信區(qū)間的長度反映了估計的精確度，置信區(qū)間長置信區(qū)間的長度反映了估計的精確度，置信區(qū)間長度越小，估計的精確度越高度越小，估計的精確度越高. 3.3.置信度置信度1 1反映了估計的可靠度，反映了估計的可靠度， 1 1 越大越越大越可靠可靠. .但是，若提高可靠度就會降低精確度，提高精但是，若提高可靠度就會降低精確度，提高精確度就會降低可靠度確度就會降低可靠度. . 先保證可靠度置信度先保證可靠度置信度1

4、1,再選置信區(qū)間中再選置信區(qū)間中長度最小的那個以提高精確度長度最小的那個以提高精確度. .1.明確問題，確定要求的是哪一個參數(shù)的置信區(qū)間，明確問題，確定要求的是哪一個參數(shù)的置信區(qū)間，置信度是多少置信度是多少.2. 構(gòu)造一個有確定分布的樣本的函數(shù)：構(gòu)造一個有確定分布的樣本的函數(shù)：它含有待估參數(shù)但不含其它未知參數(shù)它含有待估參數(shù)但不含其它未知參數(shù).),(2XXXgnx4.對不等式對不等式bXXXgan ),(21作等價變形，作等價變形，),(3.根據(jù)隨機(jī)變量的分布，對給定的置信度根據(jù)隨機(jī)變量的分布，對給定的置信度1 ，定出常數(shù)定出常數(shù) a , b ,使得使得bXXXgaPn 1),(21得到如下形式

5、得到如下形式: : 得置信區(qū)間：得置信區(qū)間：，P 11. 方差方差 2已知已知, 的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：）（22znX,znX 推導(dǎo)：推導(dǎo)：N(0, 1)nXZ z|nX|P 12對給定的置信水平對給定的置信水平1 1 ，查正態(tài)分布表得，查正態(tài)分布表得 那么那么,z 2設(shè)總體設(shè)總體XN (, 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的樣的樣本，本，樣本均值樣本均值 樣本方差樣本方差S2S2，X(x)x-z/2z/21 znXznXP 122從而得從而得）（22znX,znX 于是得于是得 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：也可簡記為：也可簡記為：）（2znX

6、？為何要取為何要取2/z當(dāng)置信區(qū)間為當(dāng)置信區(qū)間為時，區(qū)間的長時，區(qū)間的長）（22,znXznX 度為度為 達(dá)到最短達(dá)到最短. .，22zn2. 方差方差 2未知未知, 的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 )n( tnSXT1 推導(dǎo)：推導(dǎo)：ntnSXP 1)1(|/|2nS)n(tXnS)n(tXP 11122從而得：從而得：）（nSntXnSntX) 1(,) 1(22 于是得于是得 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：也可簡記為：也可簡記為：）（12 ntnSX對給定的置信水平對給定的置信水平1 1 ，查，查t t分布表得分布表得 那那么么

7、,nt）（12 3. 當(dāng)當(dāng) 已知時已知時, 方差方差 2 的置信度為的置信度為1的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是 ），（)n()X()n()X(niinii211221222 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：），（)n()X()n()X(niinii211221222 推導(dǎo)：推導(dǎo)：)n(Xnii2122 )n()X()n(Pnii 122122122由由)n()X()n()X(Pniinii 12112221222得得所以所以 2 2 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為： ），（)()()()(211221222nXnXniinii 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差

8、的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：），（)n()X()n()X(niinii211221222 ）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 4. 當(dāng)當(dāng) 未知時未知時, 方差方差 2 的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 )n(S)n(112222 )n(S)n()n(S)n(P 1111121222222得得推導(dǎo)：推導(dǎo)：)n(Sn)n(P 112222122）（由由所以，方差所以，方差 2 2 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間

9、是：的置信區(qū)間是：）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：）（) 1() 1(,) 1() 1(2122222 nSnnSn例例1. 已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從56歲歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：人，其高度分別為：115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;假假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差 =7，試求總體均值，試求總體均值 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.解：解： 已知時，已知時， 的置信度為

10、的置信度為0.95的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：）（2znX ，05. 0, 9, 7 n又又，115 x由給定數(shù)據(jù)算得：由給定數(shù)據(jù)算得：96102502.zz. 計算：計算：）（22znx,znx ）（9/796. 1115,9/796. 1115 ）（57.119,43.110 所以，總體均值所以，總體均值 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：）（57.119,43.110例例2.某工廠生產(chǎn)一批滾珠某工廠生產(chǎn)一批滾珠, 其直徑其直徑 X 服從正態(tài)分服從正態(tài)分布布解：解： N( 2), 現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 6 件件, 測得測得 (1)求求 的置

11、信區(qū)間；的置信區(qū)間； (2) 求方差求方差 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間.（置信度均為（置信度均為0.95）直徑為：直徑為：15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1(1) 因?yàn)橐驗(yàn)?2未知時未知時, 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 )(t.50250 2258.0 s由給定數(shù)據(jù)算得：由給定數(shù)據(jù)算得：，95.14 x又查表得：又查表得：) 1(2 nt計算計算）（ns)n(tx,ns)n(tx1122 )1870.15,7130.14( ）（6/2258. 020570614095,6/2258.

12、 05706. 295.14 57062. )1870.15,7130.14(得得 的置信度為的置信度為0.950.95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：，831058331252097520250.)(,.)(. 查表得：查表得：05102.s （2方差方差 2的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：，）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 又又)831. 0051. 05,833.12051. 05( ）（)n(s )n(,)n(s )n(11112122222 )3069. 0,0199. 0( 所以，方差所以，方差 2的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間是

13、：的置信區(qū)間是：)3069. 0,0199. 0(1,21nXXX為取自總體為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本的樣本,2,21nYYY為取自總體為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣的樣本本,2221,;,SYSX分別表示兩樣本的樣本均值與樣本方差分別表示兩樣本的樣本均值與樣本方差1. 方差方差1 2 、 2 2已知時，已知時，1- 2的置信度為的置信度為1-的的置信區(qū)間是：置信區(qū)間是： ）22212122212122nnzYX,nnzYX( 且兩總體相互獨(dú)立。且兩總體相互獨(dú)立。推導(dǎo)：推導(dǎo)：N(0, 1)22212121nnYXZ 由由znn|YX|P 1222212121解得解得nnz

14、YXnnzYXP 12221212122212122）從而得從而得1- 2的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：），22212122212122nnzYXnnzYX( ）2221212(nnzYX 也可簡記為：也可簡記為：(2) 未知未知 但但 時，時，12的置信度的置信度2221,22221 為為1 的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（，)nn,(NYX221221 ) 1() 1(122211 nSn)2(2) 1()

15、 1(11)()(21212222112121 nntnnSnSnnnYX) 2() 1() 1(21222222211 nnSnSn) 1() 1(222222 nSn),(Nnn)()YX(10112121 推導(dǎo)：推導(dǎo)：由由得得由由和和得得從而從而nntnnS)n(S)n(nn| )()YX( |P 1221111212212222112121）（）（2) 1() 1(1122122221121212 nnSnSnnnnntYX解得解得1122的置信度為的置信度為1 1 的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：由由2221的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：2221），（22211

16、222122221/) 1, 1() 1, 1(/SSnnFnnFSS ) 1, 1(21 nnF由由2221222122222121/S/S/S/SF nnFSSnnFP 1)1, 1(/) 1, 1(212222122212121解得解得nnFSSnnFSSP 1) 1, 1(/) 1, 1(/2121222122212122221推導(dǎo)：推導(dǎo)：從而得從而得 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：2221），（) 1, 1(/) 1, 1(/212122212122221 nnFSSnnFSS），（22211222122221/) 1, 1() 1, 1(/SSnnFnnF

17、SS 即即 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：2221例例3.3.某食品加工廠有甲、乙兩條加工豬肉罐某食品加工廠有甲、乙兩條加工豬肉罐頭的生產(chǎn)線，設(shè)罐頭質(zhì)量頭的生產(chǎn)線，設(shè)罐頭質(zhì)量 服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，從甲生產(chǎn)線抽取從甲生產(chǎn)線抽取1010只罐頭，測得平均質(zhì)只罐頭，測得平均質(zhì)量量 ，已知標(biāo)準(zhǔn)差，已知標(biāo)準(zhǔn)差 1 =5(g) 1 =5(g)；從；從乙生產(chǎn)線抽取乙生產(chǎn)線抽取2020只罐頭，測得平均質(zhì)只罐頭，測得平均質(zhì)量量 ，已知標(biāo)準(zhǔn)差，已知標(biāo)準(zhǔn)差 2 =4(g) 2 =4(g)，求，求甲、乙生產(chǎn)線的罐頭的平均質(zhì)量差甲、乙生產(chǎn)線的罐頭的平均質(zhì)量差1- 21- 2的置信度為的置

18、信度為0.990.99的置信區(qū)間的置信區(qū)間)(501 gx )(498 gy 解：解：知知1- 21- 2的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是： ）22212122212122nnzYX,nnzYX( 由由 1 =5(g)， 2 =4(g)，）（gx501 ）（gy498 又又，201021 nn，99. 01 ，01. 0 575. 2005. 02 zz計算計算所以所以1- 21- 2的置信度為的置信度為0.990.99的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是： ）22212122212122nnzyx,nnzyx( ）204105575. 2498501,204105575. 249

19、8501(2222 ）6777.7,6777.1( ）6777. 7,6777. 1( 例例4.某食品處理前取樣分析其含脂率為：某食品處理前取樣分析其含脂率為：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；處理后取樣分析其含脂率為：；處理后取樣分析其含脂率為：0.15，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如處理前后的含脂，假如處理前后的含脂率均率均 服從正態(tài)分布，且方差不變，試求處理服從正態(tài)分布，且方差不變，試求處理前后的含脂率期望之差前后的含脂率期望之差1- 2的置信度為的

20、置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.1- 2的置信度為的置信度為1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：解：解：由由 未知，但未知，但 ，可知，可知，2221,22221 由給定數(shù)據(jù)算得由給定數(shù)據(jù)算得，2730.x ，12730.y ，3221006186 .s，0281021.s ；101 n，112 n)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（所以，所以，1- 21- 2的置信度為的置信度為0.950.95的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是： 計算計算）（211112212222

21、1121212 nns )n(s )n(nnnntyx(）19100618. 6100281. 091111010930. 21273. 0273. 0(3 ），2632. 00282. 0( ），2632. 00282. 0(）（190250.t ）（2212 nnt，95. 01 ，05. 0 又又09302. 解：解：），（22211222122221/) 1, 1() 1, 1(/SSnnFnnFSS 例例5.設(shè)設(shè)XN ( 1 12 )， YN ( 2 22 )，且且X和和Y相互獨(dú)立，分別在相互獨(dú)立，分別在X、Y中取容量為中取容量為n1=13， n2=10的樣本，測得樣本方差分別為的樣

22、本，測得樣本方差分別為S 12 =8.41， S22 =5.29，求方差比，求方差比 的置信度為的置信度為0.90的置信區(qū)間的置信區(qū)間.2221/ 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：2221/07. 3)9 ,12() 1, 1(05. 0212 FnnF80. 2)129() 1, 1(05. 0122 ，F(xiàn)nnF），（29. 541. 880. 207. 329. 5/41. 8 ），（4514. 45178. 0 ，9001. ），（222112221222211111s/s)n,n(F)n,n(Fs/s 計算計算10. 的置信度為的置信度為0.900.90的置信區(qū)間是：的置信區(qū)間是：2221所以所以），（4514. 45178. 01 1、大樣本場合下概率、大樣本場合下概率p p的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為）（nnnznnnnznnnnnnn)1(