中考數(shù)學(xué)專題講練二次函數(shù)與根的分布(解析版)

1、.二次函數(shù)與根的分布知識(shí)精講一二次函數(shù)與軸交點(diǎn)1拋物線與軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式斷定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)頂點(diǎn)在軸上拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.2平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)：可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，那么橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.3拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的間隔 假設(shè)拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故：.二二次函數(shù)與一元二次方程根的分布問題如下表以為例：判別式:二次函數(shù)的圖象一元二次方程

2、:的根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒有實(shí)根三點(diǎn)剖析一考點(diǎn)：二次函數(shù)與軸交點(diǎn)問題，利用二次函數(shù)解決一元二次方程根的分布問題二重難點(diǎn)：1二次函數(shù)與軸交點(diǎn)問題即當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程；2在利用二次函數(shù)分析一元二次方程根的分布問題時(shí)要結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)來(lái)分析三易錯(cuò)點(diǎn)：利用二次函數(shù)分析一元二次方程根的分布問題時(shí)首先確定開口方向，然后再結(jié)合函數(shù)的增減性，對(duì)稱軸的位置，函數(shù)值等因素最終確定一元二次方程根的分布情況題模精講題模一：根的分布問題例1.1.1 務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍，使關(guān)于的方程1有兩個(gè)實(shí)根，且滿足；2至少有一個(gè)正根；3方程一個(gè)根大于而小于，另一個(gè)根大于而小于【答案】 1；2；3【解析】 1設(shè)；那么有：，

3、解得：2可以利用韋達(dá)定理來(lái)解決此題由圖1、圖2，可得：；解得：由圖，可得：；解得：；由圖，可得：；解得：綜上可得3設(shè)；那么有：，解得例1.1.2 拋物線y=-x2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：x  -2 -1 0 1 2  y  0 4 6 6 4  從上表可知，以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為-2，0；拋物線與y軸的交點(diǎn)為0，6；拋物線的對(duì)稱軸是x=1；在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x增大而增大A 1B 2C 3

4、D 4【答案】C【解析】 從表中知道：當(dāng)x=-2時(shí)，y=0，當(dāng)x=0時(shí)，y=6，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為-2，0，拋物線與y軸的交點(diǎn)為0，6，從表中還知道：當(dāng)x=-1和x=2時(shí)，y=4，拋物線的對(duì)稱軸方程為x=-1+2=0.5，同時(shí)也可以得到在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x增大而增大所以正確應(yīng)選C例1.1.3 二次函數(shù)y=x2+px+q中，由于二次項(xiàng)系數(shù)為10，所以在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，從而得到y(tǒng)越大那么x越小，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而減大，從而得到y(tǒng)越大那么x也越大，請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解，解決下面問題：假設(shè)關(guān)于x的方程x2+px+q+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是m、nmn，關(guān)于x的方程x2+px+q

5、5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是d、ede，那么m、n、d、e的大小關(guān)系是 A mdenB dmneC dmenD mdne【答案】B【解析】 二次函數(shù)y=x2+px+q+1圖象如下圖：結(jié)合圖象可知方程x2+px+q5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即為函數(shù)y=x2+px+q+1和y=6的交點(diǎn)，即dmne例1.1.4 二次函數(shù)a0的圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線1求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；2假設(shè)，直接寫出y的取值范圍；3假設(shè)一元二次方程，m為實(shí)數(shù)在的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，直接寫出m的取值范圍【答案】 123【解析】 該題考察的是二次函數(shù)的根本性質(zhì)1對(duì)稱軸為直線，圖象過(guò)點(diǎn) 圖象過(guò)點(diǎn) .1分設(shè)二次函數(shù)解析式為 .2分圖象過(guò)點(diǎn) 解得 即 2當(dāng)

6、時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)， 3分 .4分3將一元二次方程看作二次函數(shù)，可知，由2可知m的取值范圍為 6分題模二：函數(shù)交點(diǎn)問題例1.2.1 函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，0，0，且，那么該函數(shù)的最小值為 A 2B -2C 10D -10【答案】D【解析】 函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，0，0，與是的兩根， ，即，解得，拋物線解析式為，故最小值為例1.2.2 關(guān)于x的函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)交點(diǎn)，那么m=_【答案】 1或0或【解析】 解：1當(dāng)m-1=0時(shí)，m=1，函數(shù)為一次函數(shù)，解析式為，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，0；與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)0,1，符合題意；2當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么過(guò)原點(diǎn)，且與x軸有兩個(gè)不

7、同的交點(diǎn)，于是，解得，解得或?qū)⒋虢馕鍪降茫项}意；3函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，還有另外一種情況是：與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸交于另一點(diǎn)，此時(shí)，解得例1.2.3 假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x1x2=m有實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1x2，有以下結(jié)論：x1=1，x2=2；m；二次函數(shù)y=x1x2m的圖象對(duì)稱軸為直線x=1.5；二次函數(shù)y=x1x2+m的圖象與y軸交點(diǎn)的一定在0，2的上方其中一定正確的有只填正確答案的序號(hào)【答案】 【解析】 當(dāng)m=0時(shí)，x1=1，x2=2，所以錯(cuò)誤；方程整理為x23x+2m=0，=3242m0，解得m，所以正確；二次函數(shù)為y=x23x+2m，所拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.5，所以

8、正確；當(dāng)x=0時(shí)，y=x23x+2+m=2+m，即拋物線與y軸的交點(diǎn)為0，2+m，而m，所以二次函數(shù)y=x1x2+m的圖象與y軸交點(diǎn)的一定在0，的上方，所以錯(cuò)誤故答案為例1.2.4 關(guān)于x的方程1討論此方程根的情況；2假設(shè)方程有兩個(gè)整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；3假設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的間隔 為3，求k的值【答案】 1見解析21；330；【解析】 該題考察的是二次函數(shù)與一元二次方程的綜合題1當(dāng)時(shí)，方程=0為一元一次方程，此方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程=0是一元二次方程，即， k為除外的任意實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 2分綜上，無(wú)論k取任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根2，= 方程的兩個(gè)根是整數(shù)根，且

9、k為正整數(shù)， 當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，0；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為， ，3 4分3 拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的間隔 為3，或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，-3 6分隨堂練習(xí)隨練1.1 “假如二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解，解決下面問題：假設(shè)m、nmn是關(guān)于x的方程1xaxb=0的兩根，且ab，那么a、b、m、n的大小關(guān)系是 A mabnB amnbC ambnD manb【答案】A【解析】 依題意，畫出函數(shù)y=xaxb的圖象，如下圖函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，bab方程1xaxb

10、=0轉(zhuǎn)化為xaxb=1，方程的兩根是拋物線y=xaxb與直線y=1的兩個(gè)交點(diǎn)由mn，可知對(duì)稱軸左側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，右側(cè)為n由拋物線開口向上，那么在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，那么有ma；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，那么有bn綜上所述，可知mabn隨練1.2 二次函數(shù)1當(dāng)時(shí)，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；2假設(shè)時(shí)，該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍【答案】 1；2或【解析】 該題考察的是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題1由題意，得當(dāng)時(shí)，解得，該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，. 2分2拋物線的對(duì)稱軸為3分 假設(shè)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么交點(diǎn)為. 有，解得. 4分 假

11、設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且滿足題意，那么有 當(dāng)時(shí)， 0，解得. 當(dāng)時(shí)，解得. .6分綜上所述，c的取值范圍是或.隨練1.3 二次函數(shù)，a，b，c是常數(shù)中，自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表：假設(shè)，那么一元二次方程的兩個(gè)根，的取值范圍是 A ，B ，C ，D ，【答案】A【解析】 ，；由表中的數(shù)據(jù)可知，在與之間，故對(duì)應(yīng)的的值在與0之間，故隨練1.4 假設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為m，0，n，0，且，圖象上有一點(diǎn)C3，P在x軸下方，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是 A B C D 以上都不對(duì)【答案】D【解析】 A二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為m，0，n，0，且，故A錯(cuò)誤；B的符號(hào)不能確定

12、，B錯(cuò)誤；C當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C3，P在x軸下方，當(dāng)時(shí)，假設(shè)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，那么，假設(shè)點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，那么，那么C錯(cuò)誤隨練1.5 1關(guān)于x的方程有兩實(shí)根，一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，務(wù)實(shí)數(shù)k的取值范圍；2二次方程兩根，分別屬于和，求m的取值范圍【答案】 1或；2【解析】 1令，；由題，即或；2由題 ，那么，隨練1.6 假設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么a的值為_【答案】 ，或【解析】 關(guān)于x的函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以可以分如下三種情況：當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，有，此時(shí)，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，解得；函數(shù)為二次

13、函數(shù)時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)和x軸上的一個(gè)交點(diǎn)重合，即圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)，此時(shí)，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)隨練1.7 二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么以下結(jié)論：方程的兩根為，；當(dāng)時(shí)，；，；，其中正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】 【解析】 二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為令方程的兩個(gè)根，故該結(jié)論正確；由于k值不確定，所以拋物線的開口方向可能向下，故該結(jié)論不一定成立；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，那么，故該結(jié)論成立；，由于k的符號(hào)不確定，故該項(xiàng)錯(cuò)誤隨練1.8 拋物線的對(duì)稱軸為，假設(shè)關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 A B C 或D 或【答案】D【解析】

14、 由對(duì)稱軸可知，拋物線，令時(shí)，；時(shí)，；關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，在的范圍內(nèi)與軸有交點(diǎn)，；當(dāng)，此時(shí)或，不滿足題意；的范圍：或，應(yīng)選D隨練1.9 關(guān)于x的一元二次方程1求證：該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根2假設(shè)該方程只有整數(shù)根，求k的整數(shù)值3在2的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和BA在B左側(cè)，并且滿足，求m的非負(fù)整數(shù)值【答案】 1見解析231【解析】 該題考察的是一元二次方程綜合1該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 -1分2 -3分方程只有整數(shù)根， 應(yīng)為整數(shù)，即應(yīng)為整數(shù)k為整數(shù) -4分3根據(jù)題意，即， -5分，此時(shí)， 二次函數(shù)為

15、二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和BA在B左側(cè)m為非負(fù)整數(shù)或 -6分當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，此時(shí)， 不滿足 -7分當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，此時(shí)， 滿足 -8分自我總結(jié) 課后作業(yè)作業(yè)1 假設(shè)、是一元二次方程的實(shí)根，且滿足，那么m的取值范圍是_【答案】 【解析】 該題考察的是一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系由題意，即二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，故作業(yè)2 拋物線， 1假設(shè)，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；2假設(shè)，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；3假設(shè)，且時(shí)，對(duì)應(yīng)的；時(shí)，對(duì)應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？假設(shè)有，有幾個(gè)，證明你的結(jié)論；假設(shè)沒有，闡述理由【答案】 1解析式

16、為；公共點(diǎn)坐標(biāo)為和2或3在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)【解析】 該題考察的是二次函數(shù)綜合1當(dāng)，時(shí)，拋物線為，方程的兩個(gè)根為， 該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和 12當(dāng)時(shí)，拋物線為，且與軸有公共點(diǎn)對(duì)于方程，判別式0，有 2當(dāng)時(shí)，由方程，解得此時(shí)拋物線為與軸只有一個(gè)公共點(diǎn) 3當(dāng)時(shí)， 時(shí)，時(shí)，由時(shí)，該拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為，應(yīng)有 即解得綜上，或 43對(duì)于二次函數(shù)，由時(shí)，；時(shí)，又，于是而，即 5關(guān)于的一元二次方程的判別式拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸下方6又該拋物線的對(duì)稱軸，由，得， .7又由時(shí)，；時(shí)，觀察圖象，可知在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn) 8作業(yè)3 以下關(guān)于函數(shù)的圖

17、象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的情況：當(dāng)時(shí)，有三個(gè)公共點(diǎn)；時(shí)，只有兩個(gè)公共點(diǎn)；假設(shè)只有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么；假設(shè)有三個(gè)公共點(diǎn)，那么其中描繪正確的選項(xiàng)是 A 一個(gè)B 兩個(gè)C 三個(gè)D 四個(gè)【答案】A【解析】 令，可得出，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)，總共兩個(gè)，故正確；假設(shè)只有兩個(gè)公共點(diǎn)，或，故錯(cuò)誤；綜上只有正確作業(yè)4 二次函數(shù)與x軸交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)是個(gè)定點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且，那么直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_【答案】 或【解析】 ，分別在原點(diǎn)的兩側(cè)， 點(diǎn)在左側(cè)，且，設(shè)，那么，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)就是方程的根，解得或；當(dāng)時(shí)， 直線為直線，與x軸的交

18、點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)， 直線為直線，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為不合題意舍去；故直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為作業(yè)5 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：1當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)-5，6時(shí)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；2假設(shè)拋物線：與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在和0之間不包括-1和0，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍；3參考2小問考慮問題的方法解決以下問題：關(guān)于x的方程在范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求的取值范圍【答案】 1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2，-3；2；3【解析】 1拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)-5，6，解得拋物線的表達(dá)式為 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2，-3；2拋物線：與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在和0之間，當(dāng)時(shí)，且，即，解得：；3方程的解即為方程的解，而方程的解即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程在范圍內(nèi)有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，時(shí)，且，即解得：作業(yè)6 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，1求的取值范圍；2假設(shè)取小于的整數(shù)，且此方程的解為整數(shù)，那么求出此方程的兩個(gè)整數(shù)根；3在2的條件下，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)，D點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上，假設(shè)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】 12，3或【解析】 該題考察的是二次函數(shù)綜合1方程有兩個(gè)不等的實(shí)根， 1分即解得2分2取小于1的整數(shù)或 3分