3.1二維隨機向量的分布ppt課件

1、Ch3 Ch3 隨機向量隨機向量例例1 1描述了任一個人的體形特征描述了任一個人的體形特征. .例例2 2可確定炮彈的彈著點可確定炮彈的彈著點. .任選一個人任選一個人, ,設(shè)設(shè)X X表示其身高，表示其身高，設(shè)任一炮彈彈著點設(shè)任一炮彈彈著點縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為Y,Y,X YXY為為X,X,Y Y表示其體重表示其體重, ,的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)X Y,X Y,例例3 3 設(shè)設(shè) 分別表示分別表示XXX123,任一鋼塊的長、寬、高任一鋼塊的長、寬、高, ,描述了任一描述了任一123,XXX鋼塊的形狀鋼塊的形狀. .在概率論中在概率論中, ,如果試驗的每個基本結(jié)果如果試驗的每個基本結(jié)果都對應(yīng)三個有序?qū)崝?shù)都對應(yīng)三

2、個有序?qū)崝?shù) 則稱為三維隨機向量則稱為三維隨機向量; ;一般地一般地, , 如果試驗的如果試驗的都對都對應(yīng)一個實數(shù)應(yīng)一個實數(shù), , 則為一維隨機變量則為一維隨機變量; ;都對應(yīng)一對有序?qū)崝?shù)都對應(yīng)一對有序?qū)崝?shù)(,),X Y則稱為二維隨機向量則稱為二維隨機向量; ;如果試驗的每個基本結(jié)果如果試驗的每個基本結(jié)果(, ,),X Y Z如果試驗的每個基本結(jié)果如果試驗的每個基本結(jié)果都對應(yīng)都對應(yīng) 個個 n12,.,nXXX則稱為則稱為 維隨機向量維隨機向量. .n有序?qū)崝?shù)有序?qū)崝?shù) 每一個基本結(jié)果每一個基本結(jié)果3.1 3.1 隨機向量的分布隨機向量的分布 定義定義3.1 3.1 例如例如, ,那那么么是三維隨機

3、向量是三維隨機向量. .任一考生的語、數(shù)、外任一考生的語、數(shù)、外一、隨機向量及其分布一、隨機向量及其分布是定義在概率空間是定義在概率空間 維隨機向量維隨機向量. .n12,.,nXXX12,.,nXXX一個人的身高和體重一個人的身高和體重, ,是二維隨機向量是二維隨機向量. .設(shè)設(shè) 分別表示分別表示,X Y,X Y那那么么 設(shè)設(shè) 分別表示分別表示123,XXX任一鋼塊的長、寬、高任一鋼塊的長、寬、高, ,123,XXX設(shè)設(shè) 分別表示分別表示1234,XXXX及綜合的考試分?jǐn)?shù)及綜合的考試分?jǐn)?shù), ,1234,XXXX是四維隨機向量是四維隨機向量. .設(shè)設(shè)(,)P 上的上的n n個隨機變量，個隨機變

4、量， 則稱則稱是是(,)P 上的一個上的一個定義定義3.2 3.2 12(,.,)nx xx稱為隨機向量稱為隨機向量設(shè)設(shè) 12, .,nXXXX 是是n n維隨機向量維隨機向量, ,語、數(shù)、英及綜合語、數(shù)、英及綜合 11,P Xx 22,Xx nnXx .,nR 的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù). . 12,.,nXXXX n n元函數(shù)元函數(shù)的分布函數(shù)的分布函數(shù). .或或n n個隨機變量個隨機變量12, .,nXXX12.(,)nx xFx 例如例如,任一考生的任一考生的設(shè)設(shè) 分別表示分別表示1234,XXXX的考試分?jǐn)?shù)的考試分?jǐn)?shù), ,1234,XXXX是四維隨機向量是四維隨機向量. .(,80

5、70 90,)85F 180,P X 20,7X 30,9X 485X 例如例如(,160)50F 2( , )x yR 當(dāng)當(dāng) 時時, ,2n 二維隨機向量二維隨機向量X Y(, )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,P Xx Yy 60,1P X 50Y 2,P X 4Y ab( , )F x y ( ,)F a b (, 24 )F ,P Xa Yb 定義定義3.2 3.2 稱為隨機向量稱為隨機向量設(shè)設(shè) 12,.,nXXXX 是是n n維隨機向量維隨機向量, ,n n元函數(shù)元函數(shù)的分布函數(shù)的分布函數(shù). .12(,.,)nx xx 11,P Xx 22,Xx nnXx .,nR 12.(,)nx x

6、Fx 12,.,nXXXX 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)具有性質(zhì)：具有性質(zhì)：（1 1）（2 2）關(guān)于關(guān)于,x y均單調(diào)不減均單調(diào)不減. .對任意固定的對任意固定的,x當(dāng)當(dāng) 時，時，21yy 有有對任意固定的對任意固定的, y當(dāng)當(dāng) 時，時，21xx 有有（3 3）關(guān)于關(guān)于, x y均右連續(xù)均右連續(xù). .即對任意實數(shù)即對任意實數(shù), alimxalimya（4 4）limx ( , )F x y(, )Fy 記記0 limy ( , )F x y( ,)F x 記記0 limxy ( , )F x y(,)F 記記0, limxy ( , )F x y(,)F 記記1 ,P Xx Yy ( , )F x

7、 y ( , )F x y( , )F x y( , )F x y( , )F a y ( , )F x y( , )F x a( ,)F x1y(,)F x2y (, )Fy1x2x(, )Fy ( , )F x y01 對任意固定的對任意固定的,x當(dāng)當(dāng) 時，時，21yy 有有1( ,)F x y2( ,)F x y 證證當(dāng)當(dāng) 時，時，21yy 1y2y2Yy 1Yy ,Xx ,Xx 1Yy ,Xx 2Yy ,Xx 1Yy ,Xx 2Yy ,Xx PP1( ,)F x y2( ,)F x y( , )F x y關(guān)于關(guān)于y y單調(diào)不減單調(diào)不減. .假設(shè)假設(shè) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)知，知，那那么么

8、隨機變量隨機變量隨機變量隨機變量稱為分布函數(shù)稱為分布函數(shù)關(guān)于關(guān)于X X的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù). .稱為分布函數(shù)稱為分布函數(shù)關(guān)于關(guān)于Y Y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù). .( )XFx limy F x y( , )( ,)F x F x y( , )F x y( , )( )YFy , xP X Y yPY ,X limx F x y( , )(, )Fy F x y( , )的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：XY的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：PXx Yy Pxy(, )X Y二、離散型隨機向量二、離散型隨機向量定義定義3.3 3.3 的全部取值的全部取值如果二維隨機向量如果二維隨機向量(,)X

9、 Y或至多可列個或至多可列個, ,為為 則隨機向量則隨機向量(,)X Y為有限個為有限個的概率分布的概率分布離散型的離散型的. .例例 任取任取4 4個個0215袋中裝有袋中裝有1 1個紅球個紅球, ,2 2個白球個白球, ,3 3個黑球個黑球. .從中任從中任和和 分別表示分別表示4 4球中球中XY紅球及白球的個數(shù)紅球及白球的個數(shù). .取取4 4個個, ,XY01012215 1Y , 0P X 0Y 0 , 0P X 46C12C33C , 0P X 2Y 46C22C23C315 153 , 1P X 0Y 11C33C115 46C151 , 1P X 1Y 46C 11C12C23C

10、615 156153 , 1P X 2Y 46C 11C22C13C315 0.52,F 2Y 3 1,F , 3P X 1Y P XY .5,0P X 515 915 215 315 315815 XY012011631515152301515的分布為的分布為: :XY Y的分布為的分布為: :稱為關(guān)于稱為關(guān)于Y Y的的稱為關(guān)于稱為關(guān)于 的邊緣分布的邊緣分布. .X 0P X , 0P X ,02,1Y 1P X , 1P X ,02,1Y XY012011631515152301515XP015151015YP012115815615邊緣分布邊緣分布. . 0,P X 0Y 0,P X 1

11、Y 0,P X 2Y 515 1015 任取任取4 4個個1. 1. 聯(lián)合分布聯(lián)合分布定義定義3.4 3.4 取這些值的概率為取這些值的概率為聯(lián)合分布常用表格表示聯(lián)合分布常用表格表示: :聯(lián)合分布具有性質(zhì)聯(lián)合分布具有性質(zhì): :設(shè)設(shè)X Y(,)是二維離散型隨機向量是二維離散型隨機向量, ,的取值為的取值為聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布. .稱上式為隨機向量稱上式為隨機向量 (,)X Y(2)1 能夠能夠的概率分布，的概率分布， 或或X X和和Y Y的的XY1.jp11pijyx(,),1,2,3,.i j jip ,iP Xx jYy ,1,2,3,.i j 12ixxx 12.iyyy01 (1)j

12、ipiji jp2122212.jiiijpppppp 12p非負性非負性歸一性歸一性2. 2. 邊緣分布邊緣分布的概率分布為的概率分布為: :設(shè)設(shè)(,)X Y XY1112121212122212.jjiiijijyyxxxpppppyppppXP12.ixxxj1 jp P Xx 1, ,.,.jyyyY 12 P Xx 1p11隨機變量隨機變量X X的分布為的分布為: :1 jpj 記為記為Xp 1記為記為Xp 11Xpp 12 .jp 1. xP X 1, Yy 1 . P Xx 1, jYy . XY1112121212122212.jjiiijijyyxxxpppppyppppXP

13、12.ixxxj1 jp P Xx 2, ,.,.jyyyY 12 P Xx 2p21隨機變量隨機變量X X的分布為的分布為: :2 jpj 記為記為Xp 2記為記為1Xp1Xpp 22 .jp 2.2Xp記為記為2Xpj2 jp XY.1112121222122121ijjiijijxyyypppppppppxxXP12.ixxxj1 jp ,.,.jyyyY 12隨機變量隨機變量X X的分布為的分布為: :j 1Xp記為記為Xp 2j2Xp2 jp iP Xx iP Xx ,ip1jip記為記為Xip Xipjjip記為記為Xip 稱為關(guān)于稱為關(guān)于X X的邊緣概率分布的邊緣概率分布. .記

14、為記為Xp 1ip 2j ip . . XY.1112121222122121ijjiijijxyyypppppppppxx隨機變量隨機變量Y Y的分布為的分布為: :YP12.jyyy1YpPyY 1 P Yy 1, ,.,.ix xxX 12p11i 1ip記為記為Yp 1 1iipp 21ip 1. . XY.1112121222122121ijjiijijxyyypppppppppxx隨機變量隨機變量Y Y的分布為的分布為: :YP12.jyyy1YpPyY 2P Yy2,.,.12ix xxX p12iip2記為記為Yp2 1iipp22ip2.2Ypiip2 XY.11121212

15、22122121ijjiijijxyyypppppppppxx隨機變量隨機變量Y Y的分布為的分布為: :YP12.jyyy1YpjP Yy jP Yy , ,.,.ix xxX 12jp1i j ip記為記為Yjp 1iipjp 2j ip . .2Ypiip2iijp.Yjp稱為關(guān)于稱為關(guān)于Y Y的邊緣概率分布的邊緣概率分布. .例例 六個乒乓球中六個乒乓球中有有4 4個是新球，個是新球， 第一次取出兩個第一次取出兩個, ,X X，Y Y分別表示分別表示寫出寫出(X,Y)(X,Y)的分布的分布. . XY解解 用完后放回，用完后放回， 第二次再取出兩個第二次再取出兩個, ,第一次和第二次第

16、一次和第二次取到的新球數(shù)目取到的新球數(shù)目. . P X 1X 1 P Y 126C12C26C14C13C13C 72225 72225 P X 2X 2 P Y 126C12C26C14C24C 48225 48225 P X 1, Y 1 P X 2, Y 1012012 0 1 2 0 1 2XY12258225622524225722252422536225482256225關(guān)于關(guān)于X X和和Y Y的邊緣分布的邊緣分布: :012XP012YP可統(tǒng)一表示為可統(tǒng)一表示為 ,P Xi Yj iP X Xi Yj P,0,1, 2i j C26C26iC4iC22 jiC4 jiC22 15

17、22512022590225612251282253622515225120225902256122512822536225 0 1 2 0 1 2XY12258225622524225722252422536225482256225求以下概率：求以下概率： P XY 0 75225 P X, 0 Y 0 60225 P X, 1 Y 1 105225 P XY 79225 P XY 38225例例 把一枚硬幣連擲三次，把一枚硬幣連擲三次， X X表示三次中正面出現(xiàn)表示三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，的次數(shù)， Y Y表示三次中表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)的次數(shù)之差的絕對值，的次數(shù)之差的絕對值，

18、 求求(X(X，Y)Y)的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布. .解解X 0時時, ,Y 3 18必有必有時時, ,X 1必有必有X 2時時, ,Y 1Y 1必有必有X 3時時, , 必有必有Y 313 0180 383803801800123 P X, 0 Y1 P X, 1 Y1 Y3 XY P X, 0 P X, 1 0 Y3 與出現(xiàn)反面與出現(xiàn)反面三、連續(xù)型隨機向量三、連續(xù)型隨機向量1. 1.密度函數(shù)密度函數(shù)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)定義定義3.5 3.5 設(shè)設(shè)(,)X Y是二維隨機向量是二維隨機向量, ,其分布函數(shù)其分布函數(shù)為為( , ).F x y如果存在非負可積的如果存在非負可積的二元函

19、數(shù)二元函數(shù)( , )f x y使得對于任意實數(shù)對使得對于任意實數(shù)對( , ),x y有有xy ( , )F x y( , )f s t ds dtxy則稱則稱(X,Y)(X,Y)為為( , )f x y稱為稱為(X(X，Y)Y)的的或或X X與與Y Y 的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù). .簡稱簡稱密度函數(shù)密度函數(shù). .(, ) ( , )X Yf x y記為記為 , xP X Yy 二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)定義定義3.5 3.5 設(shè)設(shè)(,)X Y是二維隨機向量是二維隨機向量, ,其分布函數(shù)其分布函數(shù)為為( , )F x y如果存在非負可積的如果存在非負可積的二

20、元函數(shù)二元函數(shù)( , )f x y使得對于任意實數(shù)對使得對于任意實數(shù)對( , ),x y有有xy ( , )F x y( , )f s t ds dtxy則稱則稱(X,Y)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量為二維連續(xù)型隨機向量( , )f x y稱為稱為(X(X，Y)Y)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)或或X X與與Y Y的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù). .簡稱簡稱密度函數(shù)密度函數(shù). .(, ) ( , )X Yf x y記為記為 , xP X Yy 密度函數(shù)具有性質(zhì)密度函數(shù)具有性質(zhì): :(1)( ,)0f x y (2) dx( , )f x y dy1 對平面上任意對平面上任意有有特殊地特殊地, ,

21、 ,P aXb0abcd對平面上的任一矩形區(qū)域?qū)ζ矫嫔系娜我痪匦螀^(qū)域 有有axb cyd cYd （非負性）（非負性）（歸一性）（歸一性）可度量的區(qū)域可度量的區(qū)域D,D,( )3( , )f x y dxdy:D ba dxdcdy( , )f x y( , )f x y dxdyD D(,)X YD PD 例例 解解1 G ( ),S G(, ) ( , )X Yf x y( , )f x y ( , )x yG ,C( , )x yG 0,其中其中 為平面上的為平面上的G一個可度量的有界區(qū)域一個可度量的有界區(qū)域, ,其其G dx( , )f x y dy2RG Cdxdy0dxdyC 1G

22、dxdyC 所以所以C1( )S G( , )f x y ( , )x yG x yG( , ) 0,S G1,( )確定確定C C的值的值. .0面積為面積為S(G),S(G),設(shè)二維隨機向量設(shè)二維隨機向量定義定義 如果二維隨機向量如果二維隨機向量的概率密度為的概率密度為(,)X Y其中其中G G為平面上的為平面上的一個可度量的有界區(qū)域一個可度量的有界區(qū)域, ,G G的面積的面積, ,S G( )則稱隨機向量則稱隨機向量X Y(,)( , )f x y x yG( , ) 0,S G1,( )此時對平面上任意此時對平面上任意可度量的區(qū)域可度量的區(qū)域D,D,G0D (, )PX YD ( ,)

23、Df x y dxdyD G D G dxdy0ySdGdx1( )1( )S G DG dxdy1( )S G ()S DG均勻分布均勻分布對應(yīng)幾何概率對應(yīng)幾何概率. .x yG( , ) 是是服從服從G G上的均勻分布上的均勻分布. .G Gxy例例 設(shè)隨機向量設(shè)隨機向量X Y(,)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為(, ) ( , )X Yf x y 0,其它其它kxy,xy01 （1 1求求k k；1yx1解解D1 D dxf x y dy( , )10dx dyx1kxy10kdx xy22x12k xdx102(1)x 8k D 2RD dxdydxdy0kxydxdykxy8k 例例 (,

24、 ) ( , )X Yf x y0其它其它,k x y01xy （2 2求概率求概率解解yx8 P XY 1 P XY 1 xy 1( , )f x y dxdy1xy 1112xy ( , )f x y dxdyD1dx 120dyx8xyx 1dx 1208xy22xx1 4x120 x 2(1)x 2dxD1yx 1例例 ),(),(yxfYX2221(1)(1)xy 求求(1) (1) X Y(,)的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù);解解( , )F x y P Xx, Yy x y ds2221(1)(1)st 21 x 211s dsy 211t d t21 arctgsx arctgt

25、y 21 arctg x2 arctg y2 stxy隨機向量隨機向量d t161 110解解 (, )PX YD ( , )Df x y dxdy 10 10dx2221(1)(1)xy21 10 211x dx10 211y d y21 arctg x10arctg y1021 44例例 求求(2) (2) 隨機向量隨機向量X X，Y Y） 落入以點落入以點(0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)為頂點的正方形為頂點的正方形設(shè)隨機向量設(shè)隨機向量區(qū)域的概率區(qū)域的概率. .),(),(yxfYX2221(1)(1)xy d y2.2.邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機向量設(shè)

26、連續(xù)型隨機向量YX(,)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為f x y( , )那那么么 X是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量， 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為Xfx( )( )Xfx fyxdy( , )證證 由密度函數(shù)的定義，由密度函數(shù)的定義，PXa a Xfx( )dx另一方面，另一方面，PXa aP X ,Y adx dy f x y( , ) ( )Xfx fyxdy( , )稱為密度函數(shù)稱為密度函數(shù)f x y( , )關(guān)于關(guān)于X X的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)由聯(lián)合密度函數(shù)的定義由聯(lián)合密度函數(shù)的定義aXfx( )例例 求邊緣密度求邊緣密度. .設(shè)隨機向量設(shè)隨機向量X Y(,)服從服從上的均勻分布上的

27、均勻分布, ,即即:02,02Dxy (, ) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,40,2x y220例例 設(shè)設(shè)220求邊緣密度求邊緣密度. .x , 0 2x x , 0 02xx時時當(dāng)當(dāng)20 x2 ,12所以所以12 (, ) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,40,2x y解解( )Xfx ( , )fdyxy 0 x ( )Xfx ( , )fdyxy 0 20 dy0dy0dy14XXxf( ) 0,其它其它1,202xX X服從服從0,20,2上的均勻分布上的均勻分布. .dy0dy0例例 求邊緣密度求邊緣密度. . , 0 2y , 0 02y2 ,12所以所

28、以12 其它其它解解( )Yfy ( , )fdyxx 0y ( )Yfy ( , )fdyxx 0 20 dx0dx0dx14( )YYfy 0,其它其它1,202ydx0dx0220yyy時時當(dāng)當(dāng)20 y(, ) ( , )X Yf x y 0,1,40,2x yY Y服從服從0,20,2上的均勻分布上的均勻分布. .例例 設(shè)隨機向量設(shè)隨機向量X Y(,)服從服從上的上的即即22:1D xy (,) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,221xy1求邊緣密度求邊緣密度. .均勻分布均勻分布, ,例例 (,) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,221xyxx1x 解解時時當(dāng)

29、當(dāng)11 x21 x 21 x 2211xx dy0dy01dy 22 1x 22 1,x 0,其它其它11x 22 1,xX X不服從均勻分布不服從均勻分布. .求邊緣密度求邊緣密度. .Xfx ( )( , )fdyxy , 0 1x , 0 11x 1x dy0dy0( )Xfx ( , )fdyxy ( )Xfx求邊緣密度求邊緣密度. .yy11 y 1y 11y 解解( )Yfy ( , )fdyxx 1y 時時當(dāng)當(dāng)11 y21 y Yfy ( )fdxxy( , )21 y 2211yy dx0dx01dx 22 1y ( )Yfy 0,其它其它11y 22 1,y Y Y不服從均勻

30、分布不服從均勻分布. .22 1,y , 0 , 0 dx0dx0(,) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,221xy四、二維正態(tài)分布四、二維正態(tài)分布定義定義則稱則稱(X,Y)(X,Y)服從服從(, )X Y其中參數(shù)其中參數(shù)2121,210,0, 1 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維隨機向量是二維隨機向量, ,如果其概率密度如果其概率密度函數(shù)為函數(shù)為的二維正態(tài)的二維正態(tài)記為記為x y( , )1) ( , )0 x y 2)dxdy( , ) x y1211222(, )N均為常數(shù)均為常數(shù), ,且且參數(shù)為參數(shù)為211222(, )( , ) x y 1212 21122(1) 112xe222y 222y11x 分布分布, , XXx定理定理 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的邊緣分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布為一維正