統(tǒng)計學(xué)第五章

1、1 第五章第五章 方差分析方差分析第一節(jié)第一節(jié) 單因素試驗的方差分析單因素試驗的方差分析 第二節(jié)第二節(jié) 雙因素試驗的方差分析雙因素試驗的方差分析 本章小結(jié)本章小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2 方差分析是在方差分析是在20世紀世紀20年代由英國統(tǒng)計學(xué)年代由英國統(tǒng)計學(xué)家費舍爾在進行實驗設(shè)計時為解釋實驗數(shù)據(jù)而家費舍爾在進行實驗設(shè)計時為解釋實驗數(shù)據(jù)而首先引入的。方差分析是在有關(guān)因素中找出有首先引入的。方差分析是在有關(guān)因素中找出有顯著影響的那些因素的一種方法。實際上，方顯著影響的那些因素的一種方法。實際上，方差分析分析的并不是方差，而是研究數(shù)據(jù)間的差分析分析的并不是方差，而是研究數(shù)據(jù)間的變異，即通過分析數(shù)據(jù)的誤差

2、來源來判斷各總變異，即通過分析數(shù)據(jù)的誤差來源來判斷各總體均值是否相等。體均值是否相等。 將要考察的指標稱為試驗指標將要考察的指標稱為試驗指標 。影響試驗。影響試驗指標的條件稱為因素，一般用大寫字母指標的條件稱為因素，一般用大寫字母A,B,C等表示。等表示。如果一項試驗中只有一個（兩個）因如果一項試驗中只有一個（兩個）因素在改變我們就稱為單（雙）因素試驗。素在改變我們就稱為單（雙）因素試驗。因素因素的不同表現(xiàn)稱為水平。的不同表現(xiàn)稱為水平。3例例1 采用四種不同產(chǎn)地的原料萘，按同樣的工藝采用四種不同產(chǎn)地的原料萘，按同樣的工藝條件合成條件合成b-b-萘酚，測定所得產(chǎn)品的熔點如下表所萘酚，測定所得產(chǎn)品

3、的熔點如下表所示，問原料萘的產(chǎn)地是否顯著影響產(chǎn)品的熔點？示，問原料萘的產(chǎn)地是否顯著影響產(chǎn)品的熔點？第一節(jié)第一節(jié) 單因素試驗的方差分析單因素試驗的方差分析 產(chǎn)地產(chǎn)地1產(chǎn)地產(chǎn)地2產(chǎn)地產(chǎn)地3產(chǎn)地產(chǎn)地4124.0123.0123.5123.0123.0123.0121.5121.0123.0123.5121.0需考慮的因素是原料產(chǎn)地，這個因素有需考慮的因素是原料產(chǎn)地，這個因素有4個水平。個水平。4 設(shè)因素設(shè)因素A有有t 個水平個水平(總體總體)，在第，在第i個水平下進個水平下進行了行了ni次相互獨立的試驗次相互獨立的試驗(抽樣抽樣)，結(jié)果如下：，結(jié)果如下：第一節(jié)第一節(jié) 單因素試驗的方差分析單因素試驗的

4、方差分析 5 若被考察的因素對試驗結(jié)果沒有顯著的影響，若被考察的因素對試驗結(jié)果沒有顯著的影響，即所討論的各正態(tài)總體的均值相等，則試驗數(shù)據(jù)即所討論的各正態(tài)總體的均值相等，則試驗數(shù)據(jù)的波動完全由隨機誤差引起；如果各正態(tài)總體均的波動完全由隨機誤差引起；如果各正態(tài)總體均值不全相等，則表明試驗數(shù)據(jù)的波動除了隨機誤值不全相等，則表明試驗數(shù)據(jù)的波動除了隨機誤差的影響外，還包含被考察因素效應(yīng)的影響。為差的影響外，還包含被考察因素效應(yīng)的影響。為此，需要構(gòu)造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量，來描述數(shù)據(jù)的此，需要構(gòu)造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量，來描述數(shù)據(jù)的波動程度。將這個統(tǒng)計量分解為兩部分，一部分波動程度。將這個統(tǒng)計量分解為兩部分，一部分是

5、純隨機誤差造成的影響，另一部分是除隨機誤是純隨機誤差造成的影響，另一部分是除隨機誤差的影響外來自于因素效應(yīng)的影響。然后將這兩差的影響外來自于因素效應(yīng)的影響。然后將這兩部分進行比較，如果后者明顯比前者大，就說明部分進行比較，如果后者明顯比前者大，就說明因素的效應(yīng)是顯著的。因素的效應(yīng)是顯著的。 方差分析的基本思想方差分析的基本思想6方差分析的基本任務(wù)方差分析的基本任務(wù) 假設(shè)每個總體都服從正態(tài)總體，且各總體假設(shè)每個總體都服從正態(tài)總體，且各總體的均值和方差未知，但方差相同。在水平的均值和方差未知，但方差相同。在水平Ai下進行了下進行了ni次相互獨立的試驗。次相互獨立的試驗。 方差分析的基本任務(wù)是檢驗：

6、方差分析的基本任務(wù)是檢驗：（1）（2） 參數(shù)參數(shù) 的檢驗的檢驗012112:,ttHH 不不全全相相等等221,t7構(gòu)造方差分析中的檢驗統(tǒng)計量構(gòu)造方差分析中的檢驗統(tǒng)計量 水平水平Ai下的樣本均值下的樣本均值 總平均總平均11112inttjiiiijitXn XXnnnnnn 式式 中中 ：11 2(, , )injijiiXXitn 8總平方和總平方和 總平方和反映了全部數(shù)據(jù)的波動程度總平方和反映了全部數(shù)據(jù)的波動程度組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和又稱誤差平方和，反映了隨機誤差所造成的數(shù)據(jù)變又稱誤差平方和，反映了隨機誤差所造成的數(shù)據(jù)變異異組間平方和組間平方和又稱為效應(yīng)平方和，它包含了因素又稱為效應(yīng)平方和

7、，它包含了因素A A在各水平下的不在各水平下的不同作用在數(shù)據(jù)中引起的波動同作用在數(shù)據(jù)中引起的波動 211intEjiiijSXX - - 211intTjiijSXX- 22111inttAiiiijiSXXnXX - - - - 9三個平方和的關(guān)系和作用三個平方和的關(guān)系和作用 三者關(guān)系：三者關(guān)系：如果原假設(shè)成立，則表明因素效應(yīng)的影響不如果原假設(shè)成立，則表明因素效應(yīng)的影響不顯著，組間平方和除以自由度后的組間均方顯著，組間平方和除以自由度后的組間均方 與最內(nèi)平方和除以自由度后的組內(nèi)均方與最內(nèi)平方和除以自由度后的組內(nèi)均方 差差異就不會太大；如果組間均方異就不會太大；如果組間均方 顯著地大于組顯著地

8、大于組內(nèi)均方內(nèi)均方 ，說明各水平，說明各水平(總體總體)之間的差異不僅之間的差異不僅是隨機誤差造成的影響，還有來自于因素效是隨機誤差造成的影響，還有來自于因素效應(yīng)的影響。應(yīng)的影響。TEASSS ASESASES10單因素試驗方差分析表單因素試驗方差分析表方差方差來源來源平方平方和和自由度自由度均方均方F比比F臨界值臨界值因素因素A誤差誤差總和總和AETSSS1=AASESStSSn t- - - -11tntn- - - -AESFS 1(,)Ftnt - - -11 由此得到檢驗問題的拒絕域的形式：由此得到檢驗問題的拒絕域的形式： 該檢驗法的直觀意義是：當組間差異相該檢驗法的直觀意義是：當組

9、間差異相對于組內(nèi)差異較大時就拒絕原假設(shè)對于組內(nèi)差異較大時就拒絕原假設(shè) 。 在計算時，我們只要算出在計算時，我們只要算出F值，然后與值，然后與F分布的臨界值比較即可；也可運用分布的臨界值比較即可；也可運用Excel計計算分析算分析。1(,)AESFF tntS - - -0H12例例1 解解: 經(jīng)過計算得到下列方差分析表經(jīng)過計算得到下列方差分析表 由上表可知，接受原假設(shè)，由上表可知，接受原假設(shè)，即原料萘的產(chǎn)地即原料萘的產(chǎn)地對萘酚熔點無顯著影響對萘酚熔點無顯著影響 。方差來源方差來源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F比比 F臨界值臨界值原料產(chǎn)地原料產(chǎn)地誤差誤差總和總和4.65725.9

10、79210.636437101.55240.85421.8174 3.0713用用Excel進行單因素方差分析進行單因素方差分析 第第1步：步：選擇“工具工具 ”下拉菜單第第2步：步：選擇“數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析 ”選項第第3步：步：在分析工具中選擇“單因素方差分析單因素方差分析 ” ，然 后選擇“確定確定 ”第第4步：步：當對話框出現(xiàn)時 在“輸入?yún)^(qū)域輸入?yún)^(qū)域 ”方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域 在方框內(nèi)鍵入0.05（可根據(jù)需要確定） 在“輸出選項輸出選項 ”中選擇輸出區(qū)域 選擇“確定確定 ”用用Excel進行單因素方差分析進行單因素方差分析14方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較 若通過方差分析的檢驗

11、結(jié)果拒絕原假若通過方差分析的檢驗結(jié)果拒絕原假設(shè)，則希望確切找出因素設(shè)，則希望確切找出因素A在哪些水平下在哪些水平下存在差異。而通過對總體均值之間的配對存在差異。而通過對總體均值之間的配對比較可以進一步檢驗到底哪些均值之間存比較可以進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異。在差異。 15方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較(步驟步驟)提出假設(shè)提出假設(shè)H0: i = j (第第i個總體的均值等于第個總體的均值等于第j個總體的個總體的均值均值)H1: i j (第第i個總體的均值不等于第個總體的均值不等于第j個總體個總體的均值的均值)計算檢計算檢驗的統(tǒng)計量驗的統(tǒng)計量: 決策：若決策：若 ，拒絕拒絕H0

12、。11()()ijijEijXXTt ntSnn- - - - 2()ijTtnt - -16第二節(jié)第二節(jié) 雙因素試驗的方差分析雙因素試驗的方差分析 在實際中，影響一事物的因素有兩個或更多。在實際中，影響一事物的因素有兩個或更多。下面我們討論雙因素的方差分析問題，即下面我們討論雙因素的方差分析問題，即分析兩個分析兩個因素因素(行因素和列因素行因素和列因素)對試驗結(jié)果的影響。對試驗結(jié)果的影響。 如果兩個因素對試驗結(jié)果的影響是相互獨立的，如果兩個因素對試驗結(jié)果的影響是相互獨立的，分別判斷行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的影響，這時分別判斷行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為的雙因素方差

13、分析稱為無交互作用的雙因素方差分無交互作用的雙因素方差分析析 或或無重復(fù)雙因素方差分析無重復(fù)雙因素方差分析。 如果除了行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影如果除了行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外，兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響外，兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因有交互作用的雙因素方差分析素方差分析 或或可重復(fù)雙因素方差分析可重復(fù)雙因素方差分析。17第二節(jié)第二節(jié) 雙因素試驗的方差分析雙因素試驗的方差分析 一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析 雙因素方差分析的基本思路：若某一因素的雙因素

14、方差分析的基本思路：若某一因素的幾個水平會引起事物很不同的結(jié)果，則這個因幾個水平會引起事物很不同的結(jié)果，則這個因素就是重要的；若某一因素的幾個水平僅是導(dǎo)素就是重要的；若某一因素的幾個水平僅是導(dǎo)致事物相近的結(jié)果，則這個因素就是不重要的。致事物相近的結(jié)果，則這個因素就是不重要的。 如在實際中已知因素之間無交互作用，或交如在實際中已知因素之間無交互作用，或交互作用對試驗指標的影響很弱，則可以忽略交互作用對試驗指標的影響很弱，則可以忽略交互作用。這樣的雙因素方差分析互作用。這樣的雙因素方差分析即為無重復(fù)試即為無重復(fù)試驗的雙因素方差分析。驗的雙因素方差分析。18 例例2 為了研究為了研究4種水稻品種對產(chǎn)

15、量有無顯著影響，種水稻品種對產(chǎn)量有無顯著影響，分別在分別在5塊面積相同的試驗地上種上同一品種的塊面積相同的試驗地上種上同一品種的水稻，總共種了水稻，總共種了20塊地。雖然每塊地的面積是相塊地。雖然每塊地的面積是相同的，但各塊地的土質(zhì)可能有較大的差異。為獲同的，但各塊地的土質(zhì)可能有較大的差異。為獲得試驗結(jié)果的正確性，把得試驗結(jié)果的正確性，把20個試驗單位按土質(zhì)分個試驗單位按土質(zhì)分為為5類，每個組內(nèi)有類，每個組內(nèi)有4個試驗單位，它們的基本條個試驗單位，它們的基本條件認為是相同的。在每一個組中，件認為是相同的。在每一個組中，4種品種的水種品種的水稻種子隨機地播種在其中的一個試驗單位上。下稻種子隨機地

16、播種在其中的一個試驗單位上。下表是將表是將4個品種的水稻播種在個品種的水稻播種在5個組上測得收獲量個組上測得收獲量的數(shù)據(jù)（單位：公斤）。在每一試驗單位上水稻的數(shù)據(jù)（單位：公斤）。在每一試驗單位上水稻的播種量及其它條件可以認為都相同。設(shè)品種和的播種量及其它條件可以認為都相同。設(shè)品種和地塊的各水平搭配下收獲量的總體都服從正態(tài)分地塊的各水平搭配下收獲量的總體都服從正態(tài)分布且方差相同。問在水平下，品種對水稻收成有布且方差相同。問在水平下，品種對水稻收成有無顯著影響。無顯著影響。 19試驗數(shù)據(jù)試驗數(shù)據(jù) 地塊地塊B品種品種AB1B2B3B4B5A1A2A3A432.333.230.829.534.033.

17、634.426.234.736.832.328.136.034.335.828.535.536.132.829.420試驗結(jié)果試驗結(jié)果 列因素列因素B行因素行因素AB1B2BsA1X11X12X1sA2X21X22X2sArXr1Xr2Xrs一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析21此假設(shè)檢驗問題為此假設(shè)檢驗問題為對對行因素行因素 提出的假設(shè)為提出的假設(shè)為H01: 1 = 2 = = i = = r ( i為第為第i個水平的均值個水平的均值)H11: i (i =1,2, , r) 不全相等不全相等對對列因素列因素 提出的假設(shè)為提出的假設(shè)為H02: 1 = 2 = = j

18、 = = s ( j為第為第j個水平的均值個水平的均值)H12: j (j =1,2, s) 不全相等不全相等一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析22一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析 構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量：總誤差平方和總誤差平方和行因素行因素A效應(yīng)平方和效應(yīng)平方和 列因素列因素B效應(yīng)平方和效應(yīng)平方和 誤差平方和誤差平方和 22.111rssBjjijjSXXrXX - - - - 211rsTijijSXX - - 22.111rsrAiiijiSXXsXX - - - - 2.11rsEijijijSXXXX - - - TEAB

19、SSSS23方差分析表方差分析表方差來源方差來源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比行因素行因素A 列因素列因素B 誤差誤差 總和總和 ASBSESTS1r - -1s- -(1)(1)rs- - -1rs- -1AASSr - -1BBSSs - -(1)(1)EESSrs -AAESFS BBESFS 24此假設(shè)檢驗問題的拒絕域的形式為：此假設(shè)檢驗問題的拒絕域的形式為：在顯著性水平在顯著性水平 下，檢驗問題的拒絕域分別為下，檢驗問題的拒絕域分別為假設(shè)假設(shè) 的拒絕域為的拒絕域為假設(shè)假設(shè) 的拒絕域為的拒絕域為01H(1,(1)(1)AFFrrs -(1,(1)(1)BFFsrs -02H一、

20、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析一、雙因素無重復(fù)試驗的方差分析25例例2 解解: 經(jīng)過計算得到方差分析表經(jīng)過計算得到方差分析表 由此可知，不同的水稻品種對水稻收成有顯著由此可知，不同的水稻品種對水稻收成有顯著的影響，不同的地塊對水稻的收成無顯著影響的影響，不同的地塊對水稻的收成無顯著影響 。方差來源方差來源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F比比F臨界值臨界值品種品種A地塊地塊B誤差誤差總和總和3412193.493.2644.882AS 2.190ES 3.525BS 134.646AS 14.098BS 26.282ES 175.026TS 20.49AF 1.61BF 26二、雙因素可重

21、復(fù)試驗的方差分析二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析 在上面的分析中，我們考慮了雙因素間在上面的分析中，我們考慮了雙因素間無交互作用的情況。無交互作用的情況。下面要討論情況稍復(fù)下面要討論情況稍復(fù)雜的雙因素有交互作用的情況。雜的雙因素有交互作用的情況。為了檢驗為了檢驗因素之間的交互作用是否顯著，對于兩個因素之間的交互作用是否顯著，對于兩個因素水平的每一組合因素水平的每一組合至少要試驗兩次至少要試驗兩次。27 例例3 某種火箭使用某種火箭使用4種燃料（種燃料（A A），），3種推進器種推進器（B B）進行射程試驗。在每種燃料與每種推進器）進行射程試驗。在每種燃料與每種推進器的組合下火箭各發(fā)射兩次，射程數(shù)

22、據(jù)見下表。的組合下火箭各發(fā)射兩次，射程數(shù)據(jù)見下表。 試在顯著性水平試在顯著性水平0.050.05下，檢驗不同燃料下，檢驗不同燃料（因素（因素A A）、不同推進器（因素）、不同推進器（因素B B）下射程是否）下射程是否有顯著差異？交互作用是否顯著？有顯著差異？交互作用是否顯著？ B1B2B3A1A2A3A458.2，52.649.1，42.860.1，58.375.8，71.556.2，41.254.1，50.570.9，73.258.2，51.065.3，60.851.6，48.439.2，40.748.7，41.428 行因素行因素A有有r 個水平，列因素個水平，列因素B有有s 個水平，重復(fù)

23、試驗個水平，重復(fù)試驗t 次次試驗結(jié)果。試驗結(jié)果。 列因素列因素B行因素行因素A B1 B2 Bs A1 A2 Ar11111211,tXXX12112212,tXXX1 11 21,ssstXXX21121221,tXXX22122222,tXXX2 12 22,ssstXXX11121,rrr tXXX21222,rrr tXXX12,rsrsrstXXX二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析 29方差分析表方差分析表1BBSSs - -方差來源方差來源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A因素因素B交互作用交互作用誤差誤差總和總和ASBSA BS ESTS1

24、r - -1s- -(1) (1)rs-(1)rs t - -1rst - -1AASSr - -(1)(1)A BA BSSrs -/AAEFSS /BBEFSS /A BA BEFSS (1)EESSrs t - -二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析30此假設(shè)檢驗的拒絕域分別為此假設(shè)檢驗的拒絕域分別為:在顯著性水平在顯著性水平 下，下，假設(shè)假設(shè) 的拒絕域的形式為：的拒絕域的形式為：假設(shè)假設(shè) 的拒絕域的形式為：的拒絕域的形式為：假設(shè)假設(shè) 的拒絕域的形式為：的拒絕域的形式為：01H(1,(1)AFFrrs t - - -(1,(1)BFFsrs t - - -(1)(

25、1),(1)A BFFrsrs t - - - -02H03H二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析二、雙因素可重復(fù)試驗的方差分析31解：解： 經(jīng)過計算得到方差分析表經(jīng)過計算得到方差分析表 由于由于3 3個假設(shè)檢驗中的個假設(shè)檢驗中的F F值都大于其臨界值，故可以認值都大于其臨界值，故可以認為燃料和推進器這兩個因素對射程的影響是顯著的，為燃料和推進器這兩個因素對射程的影響是顯著的，且交互作用是顯著的。且交互作用是顯著的。方差來源方差來源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F比比 F臨界臨界值值因素因素A因素因素A交互作用交互作用A B 誤差誤差總和總和261.675370.9811768.693236.9502638.298326122387.225185.490294.78219.746FA=4.42 FB=9.39 FAB=14.9 3.