沈陽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)分析3大綱201210

1、數(shù)學(xué)分析3課程教學(xué)大綱課程代碼：090131003課程英文名稱：Calculus 3課程總學(xué)時：80 講課：80 實驗：0 上機(jī)：0適用專業(yè)：信息與計算科學(xué)大綱編寫（修訂）時間：2010.7一、大綱使用說明（一）課程的地位及教學(xué)目標(biāo)本課程是信息與計算科學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，通過本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生獲得本課程的基本內(nèi)容和基本的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、分析問題和解決問題的能力，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論、數(shù)值分析、常微分方程等后繼課程的基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生將達(dá)到以下要求：1 獲得證明一些問題的能力。如二元函數(shù)在某點處極限不存在的證明，隱函數(shù)（組）存在性的證明，含參變量無窮積分一

2、致收斂性的證明等等。2掌握計算一些問題的方法。如多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、極值、梯度、散度、旋度的計算，二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的計算等等。 3 學(xué)習(xí)辨析一些問題的思維。如一元函數(shù)與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別；一元函數(shù)與多元函數(shù)極值的聯(lián)系與區(qū)別；二重積分、三重積分與定積分聯(lián)系與區(qū)別等等。（二）知識、能力及技能方面的基本要求基本知識：多元函數(shù)微積分中的基本概念，包括多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)，二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分，梯度、散度、旋度等等；多元函數(shù)微積分中的基本定理，包括隱函數(shù)存在定理、格林公式、奧高公式、斯托克斯公式、曲線積分和路徑無關(guān)的條

3、件等等；多元函數(shù)微積分中的典型的分析方法，包括二元函數(shù)在某點處極限不存在的證明，隱函數(shù)（組）存在性的證明，含參變量無窮積分一致收斂的判別等等；多元函數(shù)微積分中的計算方法，包括多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、極值的計算，二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的計算?；灸芰Γ号囵B(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和抽象思維能力；用數(shù)學(xué)分析的語言敘述表達(dá)自己思想的能力；使學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)中的其它問題以及其它實際問題的能力。基本技能：使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)分析的基本運算和證明技能。（三）實施說明1 本大綱主要依據(jù)信息與計算科學(xué)專業(yè)2010版教學(xué)計劃、信息與計算科學(xué)專業(yè)專業(yè)建設(shè)和特色發(fā)展規(guī)劃和沈陽理工大學(xué)編寫本科教學(xué)大綱的有

4、關(guān)規(guī)定及全國通用數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱并根據(jù)我校實際情況進(jìn)行編寫的。2 課程學(xué)時總體分配表中的章節(jié)序號在授課過程中可酌情調(diào)整順序，課時分配僅供參考，打“*”號的章節(jié)可刪去或選學(xué)。3 教學(xué)方法：建議本課程采用課堂講授與討論相結(jié)合的方法，通過習(xí)題課和討論等方式強(qiáng)化重點，通過分散難點，使學(xué)生循序漸進(jìn)的掌握難點。在教學(xué)重要注意由易到難，循序漸進(jìn)。先概念和計算，后理論與方法；先培養(yǎng)初步的分析論證能力和單項解題能力，后強(qiáng)化綜合論證能力和解題能力。4教學(xué)手段：建議采用多媒體等現(xiàn)代化手段開展教學(xué)。 （四）對先修課的要求數(shù)學(xué)分析2.（五）對習(xí)題課、實驗環(huán)節(jié)的要求1 每章安排一次習(xí)題課，總學(xué)時在10學(xué)時左右。2習(xí)題課的

5、教學(xué)內(nèi)容要配合主講課程的教學(xué)進(jìn)度，由老師和同學(xué)們在課堂上通過講、練結(jié)合的方式進(jìn)行。主講教師通過批改學(xué)生的作業(yè)，將作業(yè)情況反饋給學(xué)生，要補(bǔ)充有一定難度和綜合度的練習(xí)題，以拓寬同學(xué)們的思路。（六）課程考核方式1.考核方式：考試2.考核目標(biāo)：在考核學(xué)生基本知識、基本原理和方法的基礎(chǔ)上，重點考核學(xué)生用數(shù)學(xué)分析知識解決數(shù)學(xué)中的其它問題以及其它實際問題的能力。3.成績構(gòu)成：本課程的總成績主要由三部分組成：平時成績（包括作業(yè)情況、出勤情況等）占10%，期中成績占20%，期末考試成績占70%。（七）參考書目數(shù)學(xué)分析講義（上、下冊）第四版，劉玉璉編，高等教育出版社，2008。數(shù)學(xué)分析（上、下冊）第三版，復(fù)旦大學(xué)

6、數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2007。高等數(shù)學(xué)第四版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社，2001。數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解，吉米多維奇編，山東科學(xué)技術(shù)出版社，1979數(shù)學(xué)分析習(xí)作課講義，薛總慈主編，北京師范大學(xué)出版社，1991。二、中文摘要 數(shù)學(xué)分析3是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程。通過學(xué)習(xí)本課程，使學(xué)生掌握多元函數(shù)微積分學(xué)的基本知識和基礎(chǔ)理論，熟悉和掌握抽象的、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關(guān)系，提高抽象思維、邏輯推理及運算能力。三、課程學(xué)時分配表序號教學(xué)內(nèi)容學(xué)時講課實驗上機(jī)1 多元函數(shù)微分學(xué)22221.1多元函數(shù)41.2二元函數(shù)的極限與連續(xù)41.3多元

7、函數(shù)微分法81.4二元函數(shù)的泰勒公式41.5習(xí)題課22隱函數(shù)12122.1隱函數(shù)的存在性42.2函數(shù)行列式22.3條件極值22.4隱函數(shù)存在定理在幾何方面的應(yīng)用22.5習(xí)題課23含參變量的積分10103.1含參變量的積分83.2習(xí)題課24重積分14144.1二重積分84.2三重積分44.3習(xí)題課25曲線積分與曲面積分22225.1曲線積分85.2曲面積分85.3場論初步45.4習(xí)題課2四、教學(xué)內(nèi)容及基本要求第1部分 多元函數(shù)微分學(xué)總學(xué)時(單位：學(xué)時):22 講課:22 實驗:0 上機(jī):0第1.1部分 多元函數(shù)（講課4學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)了解n維空間及多元函數(shù)的概念； 2)了解R2的點列極限

8、概念； 3)了解R2的連續(xù)性。重 點: R2的連續(xù)性。難 點:R2的連續(xù)性的理解。習(xí) 題: 多元函數(shù)有關(guān)概念（如開集、聚點、區(qū)域）的證明題。第1.2部分 二元函數(shù)的極限與連續(xù)（講課4學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念； 2)理解累次極限和二重極限的區(qū)別； 3)了解二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)。重 點: 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念和性質(zhì)。難 點: 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的區(qū)別；累次極限和二重極限的區(qū)別。習(xí) 題: 二元函數(shù)極限的證明和計算；與二元函數(shù)連續(xù)有關(guān)的證明等。第1.3部分 多元函數(shù)微分法（講課8學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分和方向?qū)?shù)的概念；

9、2)理解二元函數(shù)在某點連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系；3)理解二元函數(shù)可微的幾何意義； 4)掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)的計算方法； 5)掌握鏈?zhǔn)椒▌t，會求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。重 點: 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、全微分和方向?qū)?shù)的概念；二元函數(shù)在某點連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系；多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)的計算；復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計算。難 點: 二元函數(shù)在某點連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系。習(xí) 題: 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算；多元函數(shù)全微分的計算；多元函數(shù)方向?qū)?shù)的計算；求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)等。第1.4部分 二元函數(shù)的泰勒公式（講課4學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)掌握多元函數(shù)

10、高階偏導(dǎo)數(shù)的計算； 2)了解二元函數(shù)的泰勒公式；3)掌握二元函數(shù)極值的計算。重 點: 二元函數(shù)的極值的計算。難 點: 多元抽象復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的計算。習(xí) 題:多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計算；二元函數(shù)的極值計算。第1.5部分 習(xí)題課（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 多元函數(shù)微分學(xué)知識總結(jié)和習(xí)題處理。第2部分 隱函數(shù)總學(xué)時(單位：學(xué)時):12 講課:12 實驗:0 上機(jī):0第2.1部分 隱函數(shù)的存在性（講課4學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解隱函數(shù)（組）存在定理； 2)掌握一個方程確定的隱函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)的計算；3)掌握方程組確定的隱函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)的計算。重 點: 一個方程確定的隱函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)的計算；

11、方程組確定的隱函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)的計算。難 點: 隱函數(shù)（組）的存在定理；方程組所確定的隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)的計算。習(xí) 題: 隱函數(shù)（組）存在性證明；一個方程確定的隱函數(shù)（偏）導(dǎo)數(shù)的計算；方程組所確定的隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)的計算。第2.2部分 函數(shù)行列式（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)了解函數(shù)行列式的定義及性質(zhì)； 2)熟記極坐標(biāo)變換、柱面坐標(biāo)變換、球面坐標(biāo)變換的函數(shù)行列式。重 點: 函數(shù)行列式的定義及性質(zhì)。習(xí) 題: 與函數(shù)行列式有關(guān)的證明題。第2.3部分 條件極值（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 熟練掌握拉格朗日乘數(shù)法，會用其求條件極值。重 點: 用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。習(xí) 題: 應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求條件

12、極值。第2.4部分 隱函數(shù)存在定理在幾何方面的應(yīng)用（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)了解空間曲線的切線與法平面定義； 2)了解空間曲面的切平面與法線定義；3)會求各種形式下空間曲線的切線與法平面；3)會求各種形式下曲面的切平面與法線。重 點: 各種形式下空間曲線的切線與法平面的計算；各種形式下曲面的切平面與法線的計算。習(xí) 題:空間曲線的切線與法平面的計算；曲面的切平面與法線的計算。第2.5部分 習(xí)題課（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 隱函數(shù)知識總結(jié)和習(xí)題處理。第3部分 含參變量的積分總學(xué)時(單位：學(xué)時):10 講課:10 實驗:0 上機(jī):0第3.1部分 隱函數(shù)的存在性（講課8學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理

13、解含參變量有限積分的概念； 2)理解含參變量有限積分的分析性質(zhì)；3)理解含參變量無窮積分及其一致收斂的概念；4)掌握一致收斂的M判別法、狄利克雷和阿貝爾判別法；5)理解含參變量無窮積分的分析性質(zhì)；6)了解伽馬函數(shù)與貝塔函數(shù)的定義和性質(zhì)。重 點: 含參變量有限積分的分析性質(zhì)；含參變量無窮積分的一致收斂的判別。難 點: 含參變量有限積分及含參變量無窮積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用。習(xí) 題: 與含參變量有限積分的分析性質(zhì)有關(guān)的計算和證明；證明含參變量無窮積分的一致收斂；與含參變量無窮積分的分析性質(zhì)有關(guān)的計算和證明。第3.2部分 習(xí)題課（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 含參變量積分知識總結(jié)和習(xí)題處理。第4部分 重積

14、分總學(xué)時(單位：學(xué)時):14 講課:14 實驗:0 上機(jī):0第4.1部分 二重積分（講課8學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解二重積分的概念和性質(zhì)； 2)熟練掌握二重積分的計算和換元法；3)掌握利用二重積分求曲面面積的方法。重 點: 二重積分的計算。難 點: 二重積分的換元法。習(xí) 題: 利用直角坐標(biāo)計算二重積分；利用換元法計算二重積分；利用二重積分求曲面面積。第4.2部分 三重積分（講課4學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解三重積分的概念； 2)熟練掌握三重積分的計算；3)了解三重積分的應(yīng)用。重 點: 三重積分的計算。難 點: 三重積分的計算。習(xí) 題: 利用直角坐標(biāo)計算三重積分；利用柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)計算三重積分

15、。第4.3部分 習(xí)題課（講課2學(xué)時） 具體內(nèi)容: 重積分知識總結(jié)和習(xí)題處理。第5部分 曲線積分與曲面積分總學(xué)時(單位：學(xué)時):22 講課:22 實驗:0 上機(jī):0第5.1部分 曲線積分（講課8學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解第一、二型曲線積分的概念和性質(zhì)； 2)熟練掌握第一、二型曲線積分的計算；3)了解第一、二型曲線積分的聯(lián)系；4)掌握格林公式；5)理解平面曲線積分和路徑無關(guān)的條件。重 點: 第一、二型曲線積分的計算；格林公式。難 點: 利用格林公式求第二型曲線積分。習(xí) 題: 第一型曲線積分的計算；第二型曲線積分的計算；兩類曲線積分之間的聯(lián)系；利用格林公式求第二型曲線積分；與平面曲線積分和路徑無關(guān)的條件有關(guān)的證明和計算。第5.2部分 曲面積分（講課8學(xué)時） 具體內(nèi)容: 1)理解第一、二型曲面積分的概念和性質(zhì)；2)熟練掌握第一、二型曲面積分的計算；3)了解第一、二型曲面積分的聯(lián)系；4)掌握奧高公式；5)掌握斯托克斯公式；6)了解空間曲線積分和路徑無關(guān)的條件。重 點:第一、二型曲面積分的計算；奧高公式；斯托克斯公式。難 點: 第二型曲面積分概念的理解；利用奧高公式計算第二型曲面積分；利用斯托克