第五章頻域分析法

1、工程控制基礎(chǔ)工程控制基礎(chǔ)第五章第五章 頻域分析法頻域分析法 5.1 頻率特性頻率特性 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5.3 控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 5.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性 5.5 用頻率分析法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性用頻率分析法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.6 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 5.7 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 時(shí)域分析法的缺點(diǎn)：時(shí)域分析法的缺點(diǎn)：（1 1）高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；）高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；（2 2）當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)，）當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難

2、以列寫時(shí)， 整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。（3 3）物理意義欠缺。）物理意義欠缺。 5.1 頻率特性頻率特性 頻率響應(yīng)法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來的一種頻率響應(yīng)法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來的一種經(jīng)典工經(jīng)典工程實(shí)用程實(shí)用方法方法,是一種利用是一種利用頻率特性頻率特性進(jìn)行控制系統(tǒng)分析的進(jìn)行控制系統(tǒng)分析的圖解方圖解方法法,可方便地用于控制工程中的可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。 頻率法用于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)：頻率法用于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)： （1）不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較為簡(jiǎn)單的圖解方法不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較為簡(jiǎn)單的圖解方法就可

3、研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于頻率響應(yīng)法主要通過由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特開環(huán)頻率特性的圖形性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。點(diǎn)。 （2）系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出。系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出。頻率特性具有頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對(duì)于難以列明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對(duì)于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。 （3）可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)?？赏茝V應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)。頻率響應(yīng)

4、法不僅適頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)中用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)中含有延遲環(huán)節(jié)的含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。 （4）用頻率法設(shè)計(jì)系統(tǒng)，用頻率法設(shè)計(jì)系統(tǒng)，可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)的系統(tǒng)。 掃頻試驗(yàn)，無需理論建模。掃頻試驗(yàn)，無需理論建模。 時(shí)域分析法時(shí)域分析法穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能 上升時(shí)間上升時(shí)間 超調(diào)超調(diào)穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 頻域分析法頻域分析法動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能 頻帶寬度頻帶寬度, 頻率特性曲線的形頻率特性曲線的形狀狀穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分

5、析 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 一、頻率特性的基本概念一、頻率特性的基本概念tUusintjeUULjRZn例例: R-L: R-L串聯(lián)回路串聯(lián)回路211/1/( )11 ()jjIRReAeURj LT jTjGRLTTRA/,)(1/1)(2 arctanarctanLTR 幅頻特性幅頻特性A( ): 穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比 相頻特性相頻特性 ( ): 穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的相角與輸入信號(hào)相角之差穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的相角與輸入信號(hào)相角之差: 幅相頻率特性幅相頻率特性G(j ) : G(j ) 的幅值和相位均隨輸入正弦信號(hào)角頻的幅值和相位均隨輸入

6、正弦信號(hào)角頻率率 的的變化而變化。變化而變化。頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻頻率特性又稱頻率響應(yīng)，它是系統(tǒng)（或元件）對(duì)不同頻率率正弦輸入信號(hào)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。的響應(yīng)特性。( (穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)) ) 00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52線性系統(tǒng)00.511.522.53-5-4-3-2-1012345輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化 頻率特性頻率特性輸出的復(fù)數(shù)形式輸入的復(fù)數(shù)形式j(luò)rceAjXjXjW)()()()(RCssG11)(TjRCjjG1

7、111)(頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式 jssGjG)()(頻率特性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程jspjpsdtdp 二、頻率特性的求取方法和表示方法二、頻率特性的求取方法和表示方法 根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，把輸入量以正根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，把輸入量以正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分輸出穩(wěn)態(tài)分量量和輸入正弦的復(fù)數(shù)之比即得和輸入正弦的復(fù)數(shù)之比即得 根據(jù)傳遞函數(shù)來求取根據(jù)傳遞函數(shù)來求取 通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得 求取方法求取方法一般用這兩種方法！一般用這兩種方法！表示方法表示方法 幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖或奈氏圖）幅相頻率特性（極坐標(biāo)

8、圖或奈氏圖） 對(duì)數(shù)頻率特性（對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）圖） 對(duì)數(shù)幅相特性（尼柯爾斯圖，尼氏圖）對(duì)數(shù)幅相特性（尼柯爾斯圖，尼氏圖） 幅相頻率特性（奈氏圖）幅相頻率特性（奈氏圖） 幅相頻率特性可以表示成幅相頻率特性可以表示成 代數(shù)形式代數(shù)形式 極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式 代數(shù)形式代數(shù)形式 設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為11110110.( )().nmmmmnnnb sbsb sbG smna sasa sa令令s=js=j，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性 11101110()()()()( )( )()()()mmmmnnnnbjbjb jbG jUjVajaja

9、ja這就是系統(tǒng)頻率特性的代數(shù)形式，其中這就是系統(tǒng)頻率特性的代數(shù)形式，其中U U( ( ) )是頻率是頻率特性的實(shí)部，稱為特性的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性實(shí)頻特性，V V( ( ) )為頻率特性的虛為頻率特性的虛部，稱為部，稱為虛頻特性虛頻特性。 式中式中n極坐標(biāo)形式極坐標(biāo)形式將上式表示成指數(shù)形式將上式表示成指數(shù)形式 : :)(22)()()(jeVUjG22( ) |()|( )( )AG jUV)()()()(1UVtgjG 當(dāng)當(dāng) 在在0 0 變化時(shí)變化時(shí), G(j, G(j ) ) 的幅值和相角隨的幅值和相角隨 而變化而變化, ,與此對(duì)與此對(duì)應(yīng)的應(yīng)的G(jG(j ) )的端點(diǎn)在復(fù)平面的端點(diǎn)在復(fù)平面

10、 上的運(yùn)動(dòng)軌跡就稱為上的運(yùn)動(dòng)軌跡就稱為幅相頻率特性幅相頻率特性或或 NyqusitNyqusit曲線曲線。畫有。畫有 NyqusitNyqusit曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或NyqusitNyqusit圖。圖。 對(duì)數(shù)頻率特性（對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）圖）對(duì)數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中。對(duì)數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中。 )(22)()()(jeVUjG對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得 ( )lg () lg ( ) lg ( )( )lglg ( )0.434 ( )jW jAeAjeAj 對(duì)數(shù)頻率特性的表達(dá)式。習(xí)慣上，一般不考慮對(duì)數(shù)頻率特性

11、的表達(dá)式。習(xí)慣上，一般不考慮0.4340.434這個(gè)系數(shù)，而只用相角位移本身。這個(gè)系數(shù)，而只用相角位移本身。 ( )20lg( )( )( )LAdBrad ，或Bode圖圖 對(duì)數(shù)幅相特性（尼氏圖）對(duì)數(shù)幅相特性（尼氏圖） 將將對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性和和對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)相頻特性繪在一個(gè)平面上，繪在一個(gè)平面上，以對(duì)數(shù)幅值作縱坐標(biāo)（單位為分貝）、以相位移作以對(duì)數(shù)幅值作縱坐標(biāo)（單位為分貝）、以相位移作橫坐標(biāo)（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱橫坐標(biāo)（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對(duì)數(shù)幅為對(duì)數(shù)幅相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。氏圖。 0o180o-1

12、80o)(lg20jwGw0-20dB20dB將將Bode圖的兩張圖合圖的兩張圖合二為一。二為一。1. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié):G(s)=K5.2 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性()()0| ()|j G jG jKKjUjVG je2222|()|0G jUVKK110()0VG jtgtgUK 奈奈 氏氏 圖圖一、一、 幅相頻率特性幅相頻率特性(奈奎斯特圖奈奎斯特圖)2. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié):G(s)=1/(Ts+1)()22222222222111()11|() |1111|() |(1)1()()00jGjGjTjTjUjVGjeTTTGjTTVGjtgtgTUG jG jG j

13、G jG jG j 所以，在 時(shí),| ()|=1,()=0 ;11=時(shí)，| ()|=,()=-45 ;T2時(shí)，| ()|,()-90222)21(V)21U(2211VUTUT 和211()UVU22211()( )22UV3. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié):G(s)=1/s101)(jjjG1|()|G j900/1)(1tgjG4. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié):G(s)=s()G jj|()|G j1()900G jtg5. 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié):G(s)=Ts+1221()1()|1()G jj TG jTG jtgT 6. 二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)1212)(2222sTsTswwssGnn221222

14、212)(,)2()1 ()(TTtgTTATQTP2)(,1)(227. 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)1)(2)(1)(22jTjTjG22221|()|(1)(2)G jTT 22112)(TTtgjG0|()| 1G j()0G j|()| 0,()180G jG j 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)因?yàn)橐驗(yàn)?是關(guān)于是關(guān)于 的函數(shù)的函數(shù),所以我們可以所以我們可以)(jG|()|0d G jd令，可得到0212222TT2112rT當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 取最大值取最大值,即峰值即峰值 .該值稱該值稱為諧振峰值為諧振峰值 , 稱為諧振頻率稱為諧振頻率.r| )(|jGrMrmax22 221|()|()|(1)(2)rrrMG

15、 jG jTT 2121可見，當(dāng)可見，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。當(dāng)。當(dāng) 時(shí)，無諧振峰時(shí)，無諧振峰值。當(dāng)值。當(dāng) 時(shí)，有諧振峰值。時(shí)，有諧振峰值。707. 0210p21212112rT10rnT時(shí)，1|()|2rnMG j此時(shí)此時(shí),將在無阻尼自然頻率將在無阻尼自然頻率 上引起振蕩，其振蕩幅上引起振蕩，其振蕩幅值值 將趨于無窮大。將趨于無窮大。 n|()|nG j0.20.4 0.6 0.8 1.0246810120()rMdB2/1諧振峰值MrImnrRe 00無阻尼自然頻率無阻尼自然頻率二、對(duì)數(shù)頻率特性二、對(duì)數(shù)頻率特性1放大環(huán)節(jié)放大環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：22( )20lg|()| 20lgLG

16、 jUV20lg()K db對(duì)數(shù)相頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性： 1( )0VtgU ( )L20lgK( ) 20-101100101020101010010001010010002慣性環(huán)慣性環(huán)節(jié)節(jié)2211| )(|TsG221( )20lg1; ( )LTtg T )()(11TtgUVtgjG采用分段直線近似表示。方法如下：采用分段直線近似表示。方法如下：低頻高頻漸近線的交點(diǎn)為：低頻高頻漸近線的交點(diǎn)為：稱為稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率。 TTo1, 122221( )20lg( )20lg20lg11( )arctanLATTT 低頻段：當(dāng)?shù)皖l段：當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，稱為，稱為低頻漸近線

17、低頻漸近線。1TL()L()0 0高頻段：當(dāng)高頻段：當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，稱為，稱為高頻漸近線高頻漸近線。這。這是一條斜率為是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示的直線（表示 每增加每增加10倍頻程下倍頻程下降降20分貝）。分貝）。1TL()-20lgTL()-20lgT圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實(shí)際曲線。圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實(shí)際曲線。! ! 低通濾低通濾波特性波特性波德圖誤差分析波德圖誤差分析（實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差）：（實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，誤差為：時(shí)，誤差為：o2211log20T當(dāng)當(dāng) 時(shí)，誤差為：時(shí)，誤差為：oTTl

18、og201log20222最大誤差發(fā)生在最大誤差發(fā)生在 處，為處，為To1)( 31log20202maxdBT T0.1 0.2 0.5 1 2 510L,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04 相頻特性：相頻特性： Ttg1)(作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：。時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)2)(;4)1(1; 0) 0(0TT由圖不難看出相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于由圖不難看出相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于( 0

19、, -45)點(diǎn)是點(diǎn)是斜對(duì)稱斜對(duì)稱的，這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)的，這是對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是變化時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)?shù)拇笮≌麠l曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。 T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.01020

20、50100-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.43積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)20200.1101000.1110100 （ ）( )L0901-20dB/dec0211)(jejjG( )20lg( )2L 不難看出，積分環(huán)節(jié)的幅頻不難看出，積分環(huán)節(jié)的幅頻特性是一條斜率為特性是一條斜率為-20dB十倍頻程的直線，且與十倍頻程的直線，且與0dB線相交于線相交于 =1這一點(diǎn)這一點(diǎn).1( )|20lg10L 1|()|G j900/1)(1tgjG1( )20lg( )20lg20lg( )90LA 3純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)0.1110+20-209000.110

21、0100 10001100100040( )L( ) +20dB/dec這是斜率為這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進(jìn)線的交點(diǎn)為的直線。低、高頻漸進(jìn)線的交點(diǎn)為T1相頻特性：幾個(gè)特殊點(diǎn)如下相頻特性：幾個(gè)特殊點(diǎn)如下2)(,;4)(,1; 0)(, 0T相角的變化范圍從相角的變化范圍從0到到 。2低頻段漸進(jìn)線：低頻段漸進(jìn)線：0)(log201)(1AAT，時(shí)，當(dāng)高頻段漸進(jìn)線：高頻段漸進(jìn)線：TLTATlog20)()(1，時(shí)，當(dāng)對(duì)數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：對(duì)數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：2( )20lg( )20lg 1 ()( )arctan()LA 4一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)！高頻放大

22、！高頻放大！抑制噪聲能力的下降！抑制噪聲能力的下降221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTA低頻漸進(jìn)線：低頻漸進(jìn)線：0)(1LT時(shí)，高頻漸進(jìn)線：高頻漸進(jìn)線：22221( )20lg(1)(2)40lgTLTTT時(shí)，轉(zhuǎn)折頻率為：轉(zhuǎn)折頻率為： ，高頻段的斜率，高頻段的斜率+40dB/Dec。To1相角：相角：)(,;2)(,1; 0)(0T時(shí)，當(dāng)可見，相角的變化范圍從可見，相角的變化范圍從0180度。度。2222)2()1 (lg20)(TTL5二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)2222)2()1 (1)(TTA幅頻特性為：幅頻特性為：22112)(TTtg相頻特性為：相頻特性為：2222)2

23、()1 (log20)(log20)(TTAL對(duì)數(shù)幅頻特性為：對(duì)數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：低頻段漸近線：0)(1LT時(shí)，高頻段漸近線：高頻段漸近線：TTLTlog40)(log20)(1222 時(shí)，兩漸進(jìn)線的交點(diǎn)兩漸進(jìn)線的交點(diǎn) 稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為-40dB/Dec。To16. 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)相頻特性：相頻特性：22112)(TTtg幾個(gè)特征點(diǎn)：幾個(gè)特征點(diǎn)：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T由圖可見：由圖可見： 對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)數(shù)相頻特性曲線在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中對(duì)于對(duì)于( 0, -90)點(diǎn)點(diǎn)是斜對(duì)稱的。是斜對(duì)稱的。 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線對(duì)數(shù)幅頻特性曲線有峰

24、值。有峰值。3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG對(duì)對(duì) 求導(dǎo)并令等于零，可解得求導(dǎo)并令等于零，可解得 的極值對(duì)應(yīng)的頻率的極值對(duì)應(yīng)的頻率 。)(A)(ApTp221該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢姡?dāng)該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，無諧振峰值。當(dāng)時(shí)，無諧振峰值。當(dāng) 時(shí)，有諧振峰值。時(shí)，有諧振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM當(dāng)當(dāng) ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能有很大的誤差。有很大的誤差。 左圖是不同

25、阻尼系數(shù)情況下的左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對(duì)數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與下的對(duì)數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與漸近線之間的誤差曲線。漸近線之間的誤差曲線。5.3 5.3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性一、一、開環(huán)系統(tǒng)伯德圖的繪制開環(huán)系統(tǒng)伯德圖的繪制 22112211(1)(21)( )(1)(21)iiiiiiqjjjjjjKsssG sST sT sT s 將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：幅頻特性幅頻特性= =組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的組成系統(tǒng)

26、的各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性之乘積。幅頻特性之乘積。相頻特性相頻特性= =組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。相頻特性之代數(shù)和。) s (G).s (G) s (G) s (Gn21)(jn)(j2)(j1n21e )(A.e )(Ae )(A)j (G)(A).(A)(A)(An21)(.)()()(n21基本步驟基本步驟將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)；將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)； 確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并由小到大由小到大標(biāo)示在對(duì)數(shù)頻率軸上。標(biāo)示在對(duì)數(shù)頻率軸上。計(jì)算計(jì)算20lgK，在，在1 rad/s 處找到縱坐標(biāo)等于處找到縱坐標(biāo)等于2

27、0lgK 的點(diǎn)，過的點(diǎn)，過該該 點(diǎn)作斜率等于點(diǎn)作斜率等于-20v dB/dec的直線，向左延長(zhǎng)此線至所有環(huán)節(jié)的直線，向左延長(zhǎng)此線至所有環(huán)節(jié)的的 轉(zhuǎn)折頻率之左，得到轉(zhuǎn)折頻率之左，得到最低頻段的漸近線最低頻段的漸近線。向右延長(zhǎng)最低頻段漸近線，每遇到一個(gè)向右延長(zhǎng)最低頻段漸近線，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率改變一次漸改變一次漸 近線斜率。近線斜率。對(duì)漸近線進(jìn)行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性。對(duì)漸近線進(jìn)行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性。相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。 例例:設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 210(3)( )(2)(2)sG ss sss試?yán)L制

28、伯德圖試?yán)L制伯德圖.210(3)()()(2)()2jG jjjjj27.5(1)3()()()(1)(1)222jG jjjjj放大環(huán)節(jié)：放大環(huán)節(jié)：7.5；積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：1()j振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：21()(1)22jj，轉(zhuǎn)折頻率，轉(zhuǎn)折頻率12;慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：1(1)2j，轉(zhuǎn)折頻率，轉(zhuǎn)折頻率22一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：13j,轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率3327.5(1)3()()()(1)(1)222jG jjjjj22222)2()21 (lg20)2(1lg20lg20)3(1lg205 . 7lg20)(L0lg205 . 7lg20)(L我們?cè)谶x定的坐標(biāo)圖上，分我們?cè)谶x定的坐標(biāo)

29、圖上，分別繪出這些環(huán)節(jié)的伯德圖，別繪出這些環(huán)節(jié)的伯德圖，然后在對(duì)應(yīng)相同的頻率下，然后在對(duì)應(yīng)相同的頻率下，按縱坐標(biāo)相加，便得到了系按縱坐標(biāo)相加，便得到了系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性。統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性。0204020402020lg7.5606080精確曲線123( )LdB( ) 900901802705( ) 1( ) 2( ) 4( ) ( ) 3( ) 2020221123123比例加積分比例加積分加入振蕩環(huán)節(jié)加入振蕩環(huán)節(jié)加入慣性環(huán)節(jié)加入慣性環(huán)節(jié)加入一階微分環(huán)節(jié)加入一階微分環(huán)節(jié)最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng) 在復(fù)平面在復(fù)平面 右半平面上沒有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)右半平面上沒有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位

30、傳遞函數(shù)；反之，即的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，即為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。 具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角范圍是最小的。相角范圍是最小的。 ssssG1011)(1最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)sssG1011)(1非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)該兩個(gè)系統(tǒng)的波德圖如下所示：該兩個(gè)系統(tǒng)的波德圖如下所示： 為了確定是不是最小相位系統(tǒng)，需要檢查對(duì)數(shù)幅頻特性為了確定是不是最小相位系統(tǒng)，需要檢查對(duì)數(shù)幅頻特性曲線高頻漸近線的斜率，也需要檢查在曲

31、線高頻漸近線的斜率，也需要檢查在 時(shí)的相角。如時(shí)的相角。如果果 時(shí)，幅頻特性曲線的斜率為時(shí)，幅頻特性曲線的斜率為-20（ ）dB十倍十倍頻程和相角頻程和相角 ，則系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。其，則系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。其中中 、 分別為傳遞函數(shù)中分母、分子多項(xiàng)式的階數(shù)。分別為傳遞函數(shù)中分母、分子多項(xiàng)式的階數(shù)。 0901801()Gj2()Gj( ) pq ( )90 ()qp qp 也就是說，對(duì)最小相位系統(tǒng)而言，相角為也就是說，對(duì)最小相位系統(tǒng)而言，相角為而對(duì)于非最小相位系統(tǒng)而言，相角就不等于而對(duì)于非最小相位系統(tǒng)而言，相角就不等于 。 非最小相位系統(tǒng)，多是由于系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)或小閉非最小相位系統(tǒng)，多是

32、由于系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)或小閉環(huán)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)引起的，故起動(dòng)性能差、響應(yīng)慢。因此，我環(huán)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)引起的，故起動(dòng)性能差、響應(yīng)慢。因此，我們?cè)谝箜憫?yīng)比較快速的系統(tǒng)中，總是盡量避免采用非最們?cè)谝箜憫?yīng)比較快速的系統(tǒng)中，總是盡量避免采用非最小相位系統(tǒng)。小相位系統(tǒng)。90 ()qp90 ()qp開環(huán)奈奎斯特曲線開環(huán)奈奎斯特曲線開環(huán)奈奎斯特曲線繪制方式開環(huán)奈奎斯特曲線繪制方式: :1.1.根據(jù)實(shí)驗(yàn)方法繪制；根據(jù)實(shí)驗(yàn)方法繪制；2.2.根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)用根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)用MATLABMATLAB繪制；繪制；3.3.根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制概略概略奈奎斯特曲線。奈奎斯特曲線。繪制概略奈奎斯特曲線繪制概略

33、奈奎斯特曲線1.1.根據(jù)系統(tǒng)頻率特性的特點(diǎn)確定奈奎斯特曲線低頻和高頻根據(jù)系統(tǒng)頻率特性的特點(diǎn)確定奈奎斯特曲線低頻和高頻部分的位置和形狀。部分的位置和形狀。2.2.對(duì)于奈奎斯特曲線的中頻部分，根據(jù)實(shí)、虛頻特性確定對(duì)于奈奎斯特曲線的中頻部分，根據(jù)實(shí)、虛頻特性確定與實(shí)軸、虛軸焦點(diǎn)。與實(shí)軸、虛軸焦點(diǎn)。3.3.按照按照 從小到大的順序用光滑曲線將頻率特性的低、中、從小到大的順序用光滑曲線將頻率特性的低、中、高頻部分連接起來。高頻部分連接起來。步驟步驟1：確定低、高頻部分位置和形狀：確定低、高頻部分位置和形狀2 2112 211(1)(21)( )(1)(21)iii iiiqjjjjjjKsssG sST

34、 sT sT s 22nvpqmunm 0()()vKG jj當(dāng)當(dāng) 時(shí)，頻率特性低頻段表達(dá)為：時(shí)，頻率特性低頻段表達(dá)為： ( ) |()|( )2vKAG jv ( ) |()|( )2vKAG jv v v=0=0，起點(diǎn)是實(shí)軸正半軸的（，起點(diǎn)是實(shí)軸正半軸的（K K，j0j0）點(diǎn)。）點(diǎn)。v v=1=1，起點(diǎn)是虛軸負(fù)半軸無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。，起點(diǎn)是虛軸負(fù)半軸無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。v v=2=2，起點(diǎn)是實(shí)軸負(fù)半軸無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。，起點(diǎn)是實(shí)軸負(fù)半軸無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。1v 2v 3v (0)AK(0)A (0)A (0)0 (0)90 (0)180 I型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng) 型系統(tǒng)型系統(tǒng)0v (0)A (0)270 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)li

35、m |() |0Gj lim()()2Gjnm 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)頻率特性的高頻部分。時(shí)，系統(tǒng)頻率特性的高頻部分。 nm22112211(1)(21)( )(1)(21)iiiiiiqjjjjjjKsssG sST sT sT s 1nm2nm3nmlim |() |0Gj lim |() |0Gj lim |() |0Gj lim()/2G j lim()G j lim()3/ 2G j n-mn-m=1=1，從虛軸負(fù)半軸趨近坐標(biāo)原點(diǎn)。，從虛軸負(fù)半軸趨近坐標(biāo)原點(diǎn)。n-mn-m=2=2，從實(shí)軸負(fù)半軸趨近坐標(biāo)原點(diǎn)。，從實(shí)軸負(fù)半軸趨近坐標(biāo)原點(diǎn)。n-mn-m=3=3，從虛軸正半軸趨近坐標(biāo)原點(diǎn)。，從虛軸正

36、半軸趨近坐標(biāo)原點(diǎn)。步驟步驟2:2:確定奈奎斯特曲線與虛軸、實(shí)軸交點(diǎn)確定奈奎斯特曲線與虛軸、實(shí)軸交點(diǎn)22112211(1)21()( )(1)21iiiiiiqjjjjjjKjjjG jUjVjT jTjT j （）（ ）（）（）奈奎斯特曲線與實(shí)軸交點(diǎn)奈奎斯特曲線與實(shí)軸交點(diǎn)奈奎斯特曲線與虛軸交點(diǎn)奈奎斯特曲線與虛軸交點(diǎn)頻率特性虛部為零頻率特性虛部為零頻率特性實(shí)部為零頻率特性實(shí)部為零( )0?( )?VU( )0?( )?UV步驟步驟3:3:光滑連接低、中、高頻段曲線光滑連接低、中、高頻段曲線例例1 11212( );,.0(1)(1)KG sK T TTsT s某某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)：型單位負(fù)

37、反饋系統(tǒng)開環(huán)：試?yán)L制概略奈奎斯特曲線。試?yán)L制概略奈奎斯特曲線。ImRe0K 0K 00 例例2 2210(25)( )(2)(0.5)ssG sss某某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)：型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)：試?yán)L制概略奈奎斯特曲線。試?yán)L制概略奈奎斯特曲線。ImRe0 10504.037 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系 5.4 5.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性ImPARe1()G j02 G( 1, 0)j( )( )( )( )1( )C sG ssR sG sOA)(sGPA1)(sG)(|)(jePAOAPAOAj頻率特性的矢量圖

38、頻率特性的矢量圖 1 1等幅值軌跡等幅值軌跡(M(M圓圖圓圖) ) jeMjRjCj)()()(閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性 ()G jUjV開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性 ()()1()1jG jUjVjM eG jUjV2222()| |1()1(1)G jUjVUVMG jUjVUV2222222011MMUUVMM222222()()11MMUVMM222(1)MM 012-1-2-4-1-3-2120.8 ()G jU1M jV1.2M 0.4M 3.0M 2.01.61.41.30.63圓：圓：圓心：圓心：22()1MM，j0半徑：半徑：2|1MM 對(duì)稱于的直線，又對(duì)稱于實(shí)軸。對(duì)稱于的直線，

39、又對(duì)稱于實(shí)軸。等相角軌跡等相角軌跡 ( (圓圖圓圖) ) 2222()()1()1(1)G jUjVUUVjVjG jUjVUV22()()meIjVNtgRjUUV令：令：220VUUVN2114(2)N222241)21()21(NNNVU222241)21()21(NNNVU020100100232113jV12 ()G jU12312203040608030406080圓：圓：圓心：圓心：半徑：半徑：11(,)22jN1221|(1) |2NN圓本身就是閉環(huán)頻率特性圓本身就是閉環(huán)頻率特性 的相角的相角 的正切的正切 的的等值線。等值線。()j()N Ntg020100100232113

40、jV12 ()G jU1231220304060803040608022()()meIjVNtgRjUUV), 2 , 1 , 0()180(kktgtg對(duì)圓是多對(duì)一的關(guān)系。對(duì)圓是多對(duì)一的關(guān)系。每個(gè)圓都通過原點(diǎn)和（每個(gè)圓都通過原點(diǎn)和（-1,j0）點(diǎn)。）點(diǎn)。 因此，當(dāng)用圓圖確定閉環(huán)相頻特因此，當(dāng)用圓圖確定閉環(huán)相頻特性時(shí)，為了避免產(chǎn)生任何誤差，性時(shí)，為了避免產(chǎn)生任何誤差，應(yīng)從對(duì)應(yīng)于的零頻開始應(yīng)從對(duì)應(yīng)于的零頻開始，一直進(jìn)行到高頻。相角曲線，一直進(jìn)行到高頻。相角曲線必須是連續(xù)的。必須是連續(xù)的。 0 (0). .利用圓圖求閉環(huán)頻率特性利用圓圖求閉環(huán)頻率特性 Re1415232543Re()G j()G

41、j20106040202-2-4-4-2-2-42-4-201.2M 1.4M 1.1M 2M 0.6M Im( )aIm( )b ()G j ()G jRe141523324155432Re()G j0()G j2010602704090201802-2-4-4-2-2-4210.5201.5-4-201.2M 1.4M 1.1M 2M 0.6M Im( )aIm( )b( ) cM ()G j ()G j在圓圖上，與軌跡相切，且具有最小半徑的圓所對(duì)在圓圖上，與軌跡相切，且具有最小半徑的圓所對(duì)應(yīng)的值，就是諧振峰值。因此，在奈魁斯特圖上，諧振峰值和應(yīng)的值，就是諧振峰值。因此，在奈魁斯特圖上，諧

42、振峰值和諧振頻率可由與軌跡相切的圓求得。本例：諧振頻率可由與軌跡相切的圓求得。本例：M()G jMrMr()G jM42,rrM 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系 -Bode圖看圖看？dB0blg( )M3帶寬)0(707. 0M截止頻率截止頻率 指閉環(huán)頻率持性的幅值衰減指閉環(huán)頻率持性的幅值衰減到到0.7070.707(0)(0)時(shí)的角頻率。即相時(shí)的角頻率。即相當(dāng)于閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值下當(dāng)于閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值下降降-3dB-3dB時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率，稱為截時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率，稱為截止頻率止頻率 。閉環(huán)系統(tǒng)將高于截止。閉環(huán)系統(tǒng)將高于截止頻率的信號(hào)分量

43、濾掉，而只允許頻率的信號(hào)分量濾掉，而只允許低于截止頻率的信號(hào)分量通過。低于截止頻率的信號(hào)分量通過。截止頻率：截止頻率：b帶寬：帶寬： 幅值幅值-3dB-3dB時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍 稱為系統(tǒng)的頻寬（也稱帶寬）。頻寬表明了稱為系統(tǒng)的頻寬（也稱帶寬）。頻寬表明了控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度?？刂葡到y(tǒng)的響應(yīng)速度。 0b5.5 用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 它只能判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不能指出穩(wěn)定的程度；另它只能判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不能指出穩(wěn)定的程度；另外，必須具備閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式，但有些系統(tǒng)的外，必須具備閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式，但有些系統(tǒng)的特征方程式是列寫不出來的。特征方程式是列寫不

44、出來的。 奈魁斯特判據(jù)不僅能指出系統(tǒng)奈魁斯特判據(jù)不僅能指出系統(tǒng)是否穩(wěn)定是否穩(wěn)定，還能指出，還能指出穩(wěn)定穩(wěn)定的程度的程度. . 勞斯勞斯-霍維茲穩(wěn)定判據(jù)，它可根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的特霍維茲穩(wěn)定判據(jù)，它可根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個(gè)方法能判征方程式來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個(gè)方法能判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。有以下兩方面的缺點(diǎn)有以下兩方面的缺點(diǎn):奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù): : 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（簡(jiǎn)稱為奈氏判據(jù)）是根據(jù)系統(tǒng)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（簡(jiǎn)稱為奈氏判據(jù)）是根據(jù)系統(tǒng)的的開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷的一對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷的一種方法。種方法。 它把開環(huán)

45、頻率特性與復(fù)變函數(shù)它把開環(huán)頻率特性與復(fù)變函數(shù) 位于位于右右半半S S平面的平面的極點(diǎn)極點(diǎn)聯(lián)系起來，用圖解的方法分析系統(tǒng)的聯(lián)系起來，用圖解的方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性。1( )( )G s H s奈奎斯特圖奈奎斯特圖閉環(huán)穩(wěn)定性閉環(huán)穩(wěn)定性設(shè)設(shè)S S平面閉合曲線包圍平面閉合曲線包圍 的的Z Z個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)和和P P個(gè)極點(diǎn)，則個(gè)極點(diǎn)，則s s沿順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，在沿順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，在 平面上，平面上， 閉合曲線閉合曲線 包圍原點(diǎn)的圈包圍原點(diǎn)的圈數(shù)數(shù)R0R0R0分別表示分別表示 順時(shí)針包圍和逆時(shí)針順時(shí)針包圍和逆時(shí)針包圍包圍D(s)D(s)平面的原點(diǎn)，平面的原點(diǎn)，R=0R=0表示不包圍表示不包圍D(s)

46、D(s)平面的原點(diǎn)。平面的原點(diǎn)。 D s幅角定理幅角定理: : D s D sFR P Z F1110( )nnnnD sa sasa sa)()(21npspsps若方程式的個(gè)根若方程式的個(gè)根中有個(gè)根在復(fù)平面的右中有個(gè)根在復(fù)平面的右半平面，其余個(gè)根半平面，其余個(gè)根均在左半平面，均在左半平面， 0)(sDp)(pn0 sp個(gè)根()np個(gè)根j幅角定理幅角定理: :幅角定理表達(dá)：幅角定理表達(dá)： 當(dāng)當(dāng) 從從0 0變到變到 時(shí)，向量時(shí)，向量 的幅角增量的幅角增量 ()D j()(2 )2D jnp12( )()()()0nD ssdsdsd12,()()()()0nsjD jjdjdjd則)(jD的幅

47、角為各環(huán)節(jié)幅角的代數(shù)和：的幅角為各環(huán)節(jié)幅角的代數(shù)和：)()()()(21ndjdjdjjD12()()()()nD jjdjdjd j01d s1jdj3d2d0 s2jd3jd當(dāng)當(dāng) 從從0 0 時(shí)：時(shí)： 1()2jd 23()()22jdjd 負(fù)實(shí)數(shù)根負(fù)實(shí)數(shù)根有實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根有實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根1()jd從根從根 向向 所引向量與實(shí)軸所引向量與實(shí)軸正方向的夾角。正方向的夾角。1djj s04jd4dj s05d6d5jd6jd有正實(shí)數(shù)根有正實(shí)數(shù)根有實(shí)部為正的共軛復(fù)根有實(shí)部為正的共軛復(fù)根4()2jd 56()()22jdjd 當(dāng)當(dāng) 從從0 0 時(shí)：時(shí)： ()()(2 )222D jnppn

48、p特征根的分布對(duì)相角影響：特征根的分布對(duì)相角影響：2/2/有一個(gè)根在有一個(gè)根在左左半平面，則幅角增量為半平面，則幅角增量為有一個(gè)根在有一個(gè)根在右右半平面，則幅角增量為半平面，則幅角增量為 ，當(dāng)，當(dāng) ，向量，向量 總的相角增量總的相角增量為：為：故方程式故方程式 有有 個(gè)左根，所帶來的幅角增個(gè)左根，所帶來的幅角增量為量為 ；有；有 個(gè)右根，所帶來的幅角增量為個(gè)右根，所帶來的幅角增量為()/2np/2p 0)(sD()D jp()np:0 幅角定理得證幅角定理得證回顧回顧奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：由開環(huán)求閉環(huán)？由開環(huán)求閉環(huán)？ Nyquist Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是通過閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率

49、響穩(wěn)定判據(jù)是通過閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)應(yīng) 與其閉環(huán)特征方程與其閉環(huán)特征方程 的的根在根在s s平面上分布之間的聯(lián)系平面上分布之間的聯(lián)系, ,根據(jù)開環(huán)頻率響根據(jù)開環(huán)頻率響應(yīng)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。應(yīng)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。)()(jHjG0)()(1sHsG( )( )G s H s1( )( )G s H s開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系：)()()()()()()()(sNsMsNsMsNsMsHsGHHGG開開( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )HGGHGHG ssG s H sMsNs MsNs NsMs

50、 MsNs閉閉)()()()()()()(sMsNsMsMsNsNsNHGHG開開閉閉環(huán)特征方程式閉環(huán)特征方程式開環(huán)分母多項(xiàng)式開環(huán)分母多項(xiàng)式開環(huán)分子多項(xiàng)式開環(huán)分子多項(xiàng)式閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式就是開環(huán)傳遞函數(shù)的分母閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式就是開環(huán)傳遞函數(shù)的分母和分子之和。和分子之和。 實(shí)際系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數(shù)的分母的階次實(shí)際系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數(shù)的分母的階次總是高于分子的階次。因此，閉環(huán)系統(tǒng)傳總是高于分子的階次。因此，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)特征方程式遞函數(shù)特征方程式 的階次和的階次相的階次和的階次相同。同。( )Ns開( )Ms開( )Ns閉( )Ns開開環(huán)極點(diǎn)數(shù)與閉開環(huán)極點(diǎn)數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同構(gòu)造

51、輔助函數(shù)：構(gòu)造輔助函數(shù)：( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )GHGHGHNsNs NsMs MsF sG s H sNs NsNs 閉開0)()(1sHsG閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征多項(xiàng)式閉環(huán)特征多項(xiàng)式開環(huán)特征多項(xiàng)式開環(huán)特征多項(xiàng)式()()1()()()NjF jG jH jNj 閉開()()()F jNjNj開閉幅角關(guān)系：幅角關(guān)系：)()()(jNjNjF開閉幅角關(guān)系增幅角關(guān)系增量形式：量形式：根據(jù)勞斯霍維茲判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)特征根全根據(jù)勞斯霍維茲判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)特征根全部位于部位于s s平面的左半平面，應(yīng)用幅角定理有

52、：平面的左半平面，應(yīng)用幅角定理有：2)(njN閉若開環(huán)特征方程式有個(gè)根在復(fù)平面的右半平面，其余若開環(huán)特征方程式有個(gè)根在復(fù)平面的右半平面，其余個(gè)根均在左半平面，個(gè)根均在左半平面， p)(pn ( )0Ns 開2)2()(pnjN開)()()(jNjNjF開閉)2(22)2(2ppnn)()()(jNjNjF開閉)2(22)2(2ppnn( )1( )( )F sG s H s 即要求即要求 從從0 0變?yōu)闊o窮大的時(shí)變?yōu)闊o窮大的時(shí)候，向量候，向量 相角變化為相角變化為()F j即向量即向量 的奈奎斯特的奈奎斯特曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 周。周。(2 )2p/2p()F j 奈奎斯奈奎斯特曲線為

53、特曲線為 奈奎斯特曲線在奈奎斯特曲線在ss平面上向右平移了一平面上向右平移了一個(gè)單位。個(gè)單位。1( )( )G s H s( )( )G s H s若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知開環(huán)特征方程式有若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知開環(huán)特征方程式有個(gè)右根，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為；當(dāng)從個(gè)右根，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為；當(dāng)從0 0變變到時(shí)，向量的相角變化等于，到時(shí)，向量的相角變化等于，亦即向量的終端軌跡，隨著從亦即向量的終端軌跡，隨著從0 0變到變到而反時(shí)針包圍復(fù)平面的原點(diǎn)次。而反時(shí)針包圍復(fù)平面的原點(diǎn)次。p2/ )2(p()F j()F j ()F j2/p我們的目的是以開我們的目的是以開環(huán)傳遞函數(shù)判斷閉環(huán)傳遞

54、函數(shù)判斷閉環(huán)穩(wěn)定性環(huán)穩(wěn)定性閉環(huán)特征方程式閉環(huán)特征方程式( )1( )( )F sG s H s 奈奎斯奈奎斯特曲線為特曲線為 奈奎斯特曲線在奈奎斯特曲線在ss平面上向右平移了一平面上向右平移了一個(gè)單位。個(gè)單位。1( )( )G s H s( )( )G s H s若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知開環(huán)特征方程式有若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知開環(huán)特征方程式有個(gè)右根，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為；當(dāng)從個(gè)右根，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為；當(dāng)從0 0變變到時(shí)，向量的相角變化等于，到時(shí)，向量的相角變化等于，亦即向量的終端軌跡，隨著從亦即向量的終端軌跡，隨著從0 0變到變到而反時(shí)針包圍復(fù)平面的原點(diǎn)次。而反時(shí)針包圍復(fù)平面的

55、原點(diǎn)次。p2/ )2(p()F j()F j ()F j2/p當(dāng)當(dāng) 從從0 0變?yōu)樽優(yōu)?時(shí)，開時(shí)，開環(huán)頻率特性曲線（奈奎斯環(huán)頻率特性曲線（奈奎斯特曲線）特曲線） 包包圍（圍（-1-1，j0 0）點(diǎn)）點(diǎn) 次。次。()()G jH j/2p Im10-1Re11()()G jH j111()()G jH j()()G jH j0Im10Re()F j FGH1()F j10將奈奎斯特曲線向?qū)⒛慰固厍€向左移動(dòng)一個(gè)單位即左移動(dòng)一個(gè)單位即將虛軸向右移動(dòng)一將虛軸向右移動(dòng)一個(gè)單位。個(gè)單位。實(shí)際上，我們不會(huì)繪制實(shí)際上，我們不會(huì)繪制 的奈奎斯特曲線，而是直接繪制開環(huán)的奈奎斯特曲線，而是直接繪制開環(huán) 奈奎斯特

56、曲線奈奎斯特曲線 ，直接考察，直接考察此曲線繞點(diǎn)（此曲線繞點(diǎn)（-1-1，j0j0）旋轉(zhuǎn)圈數(shù)就可）旋轉(zhuǎn)圈數(shù)就可以了。以了。1()()G jH j()()G jH j( )( )( )1( )( )( )( )NsNsMsG s H sNsNs開開閉開開開環(huán)傳開環(huán)傳遞函數(shù)遞函數(shù)開環(huán)頻開環(huán)頻率特性率特性閉環(huán)穩(wěn)閉環(huán)穩(wěn)定性定性閉環(huán)右極閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)=01( )( )( )( )G s H sNsNs 開閉幅角定理幅角定理1( )( )(2 )(2 )222pG s H snnp n次次p p個(gè)右根個(gè)右根1( )( )(2 )2pG s H s w從從0 0增大到無窮大時(shí)，增大到無窮大時(shí)，1+1+G(

57、(jw) )H( (jw) )繞繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)p/2/2圈。圈。1()()G jH j()()G jH j關(guān)系關(guān)系w從從0 0增大到無窮大時(shí)，增大到無窮大時(shí)，G( (jw) )H( (jw) )繞點(diǎn)繞點(diǎn)(-1,j0)(-1,j0)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)p/2/2圈。圈。開環(huán)奈開環(huán)奈奎斯特奎斯特曲線曲線已知已知要求要求結(jié)論結(jié)論奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)表述奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)表述 ：若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的特征方程式有個(gè)根在若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的特征方程式有個(gè)根在 平面的右半平面內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻平面的右半平面內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性的軌跡在從率特性的軌跡在從0 0變到時(shí)，反時(shí)

58、針包圍變到時(shí)，反時(shí)針包圍(-1(-1，j0 0）點(diǎn)點(diǎn) 次。次。ps2/pImRe00 1( 1, 0)j123特殊情況處理：特殊情況處理：1.若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即0，仍然運(yùn)用以上奈氏判據(jù)。可，仍然運(yùn)用以上奈氏判據(jù)?？芍?，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性的軌跡不包知，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性的軌跡不包圍（圍（-1，j0）點(diǎn)。）點(diǎn)。 p2.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性的軌跡在從變到，再?gòu)淖兊?，反時(shí)針包特性的軌跡在從變到，再?gòu)淖兊剑磿r(shí)針包圍圍(-1,j0）點(diǎn)次。）點(diǎn)次。 ppIm0 0-1ReG

59、H1P 左圖中左圖中, ,開環(huán)的右根數(shù)為開環(huán)的右根數(shù)為 , ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)不好判斷時(shí)不好判斷, ,這時(shí)這時(shí)繪制繪制 時(shí)的奈奎時(shí)的奈奎斯特曲線斯特曲線, ,只要繞只要繞( )( )點(diǎn)點(diǎn)圈即可判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。圈即可判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。1p :0 :0 1, 0jpI m0j0jd1jre000 ,9 0 9 0r 特殊情況：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有零根，即特殊情況：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有零根，即開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)。開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)。應(yīng)用代替零點(diǎn)附近的應(yīng)用代替零點(diǎn)附近的虛軸，構(gòu)成新的虛軸，這虛軸，構(gòu)成新的虛軸，這樣零根就變成了左半平面樣零根就變成了左半平面的根了。的根了。jre090

60、90r 有積分環(huán)節(jié)的情況有積分環(huán)節(jié)的情況:( )( )( ) ( )MsMsG s H sNssNs開開開開( )( )=)()()()()(jNjjMjHjGv開開當(dāng)當(dāng)w值接近于零時(shí)，應(yīng)用值接近于零時(shí)，應(yīng)用 替換值代入替換值代入jre)0()()0()()(開開NerMjHjGvjjvveNrM)0()0(開開(0) (0)jvvMerN開開由于由于 ,值為有限值值為有限值0無限小值無限小值整個(gè)傳遞函數(shù)的幅值為無限大值；整個(gè)傳遞函數(shù)的幅值為無限大值；相角為。相角為。( 9090 )v00090090 我們的頻率特性考察的是我們的頻率特性考察的是 從從 時(shí)的幅值和相時(shí)的幅值和相角變化，所以根據(jù)