動(dòng)力系統(tǒng)形態(tài)及其分析

1、第二章 動(dòng)力系統(tǒng)形態(tài)及其分析v2.1 平衡態(tài)和相平面v2.2 幾種常見(jiàn)的平衡態(tài)v2.3 吸引子v2.4 多個(gè)吸引子與分型線v2.5 同宿軌道、同宿點(diǎn)v2.6 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性v2.7 四種吸引子的功率譜特性v2.8 受驅(qū)動(dòng)單擺的動(dòng)力學(xué)形態(tài)引言v牛頓力學(xué)所描述的世界是一幅靜態(tài)的、簡(jiǎn)單的、可逆的、確定性的、永恒不變的自然圖景。v長(zhǎng)期以來(lái)，人們習(xí)慣于研究力學(xué)中諸如常規(guī)的、漸變的或周期性的、穩(wěn)定的平衡和運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。v把不規(guī)則的、突變的或非周期性的、不穩(wěn)定的平衡和運(yùn)動(dòng)問(wèn)題排除在外。v然而人們認(rèn)識(shí)到，確定論系統(tǒng)只要稍微出現(xiàn)上述的復(fù)雜現(xiàn)象，就會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)性行為，牛頓力學(xué)本身就具有內(nèi)在隨機(jī)性。2.1 平衡態(tài)和相平面平

2、衡態(tài)和相平面v下面研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)，即v （3.1.1）v相：表征系統(tǒng)任一時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)v相平面：平面v令 ，則（3.1.1）可化為常微分方程組),(.xxfx .,xx),(.yxfyyx.xy ),(.xx 相軌跡的畫法：等傾線法相軌跡的畫法：等傾線法 設(shè)二階系統(tǒng)一般形式的微分方程如下設(shè)二階系統(tǒng)一般形式的微分方程如下:)11(),(xxfx式式(11)又可化為又可化為:)12(),(xxxfdxxddxxd /正是相軌跡方程的導(dǎo)函數(shù)正是相軌跡方程的導(dǎo)函數(shù), 當(dāng)當(dāng)xx,取不同值時(shí)取不同值時(shí), dxxd /的值也不同的值也不同, 即相軌跡上各點(diǎn)的曲線斜率不一樣即相軌跡上各點(diǎn)的曲線斜率不一樣

3、,但對(duì)于一個(gè)微分方程但對(duì)于一個(gè)微分方程, 當(dāng)初始條件不同時(shí)當(dāng)初始條件不同時(shí), 其有一簇相其有一簇相軌跡軌跡, 而這一簇相軌跡上各斜率相同的點(diǎn)連起來(lái)就可得而這一簇相軌跡上各斜率相同的點(diǎn)連起來(lái)就可得一條曲線一條曲線, 這條曲線叫等傾線這條曲線叫等傾線. 從數(shù)學(xué)角度分析從數(shù)學(xué)角度分析, 有有:令令dxxd /為某一常數(shù)為某一常數(shù), 則則xxxf/ ),(是關(guān)于是關(guān)于xx,的方程的方程.xxxfxxdtdxdtxddxxd),(/ 當(dāng)各不相同的相軌跡通過(guò)上面方程所表示的曲當(dāng)各不相同的相軌跡通過(guò)上面方程所表示的曲線時(shí)線時(shí), 各條相軌跡與這一曲線的交點(diǎn)處的斜率均等于各條相軌跡與這一曲線的交點(diǎn)處的斜率均等于

4、例例: 設(shè)一二階線性系統(tǒng)的齊次微分方程為設(shè)一二階線性系統(tǒng)的齊次微分方程為:)13(0 xxx即即1, 5 . 0n, 此系統(tǒng)在初始條件激勵(lì)下呈衰減振蕩此系統(tǒng)在初始條件激勵(lì)下呈衰減振蕩過(guò)程過(guò)程. 由式由式(13)可得可得:)14(/ )(/xxxdxxd令令dxxd /, 得等傾線方程為得等傾線方程為:)15()1/(xx若令若令2/, 1xx, 則等傾線如下圖所示則等傾線如下圖所示.xx0如如2則則xx 等傾線如圖中藍(lán)線等傾線如圖中藍(lán)線.12依此類推依此類推, 取不同的取不同的值值, 由由式式(15)畫出足夠密的一簇等傾畫出足夠密的一簇等傾線線, 然后按各條等傾線所表示然后按各條等傾線所表示的

5、相軌跡在該條等傾線上的斜率將各點(diǎn)連的相軌跡在該條等傾線上的斜率將各點(diǎn)連成一條光滑的曲線成一條光滑的曲線, 如左上圖所示如左上圖所示.v上式更為一般的形式為v自治系統(tǒng)或自治方程3.2 幾種常見(jiàn)的平衡態(tài)v設(shè)（3.1.6）式的非零特解為v則v根據(jù)行列式的運(yùn)算，有tteayeax21;v三維自治系統(tǒng)v吸引子：雅克比矩陣的三個(gè)特征值的實(shí)部均為負(fù)值的平衡點(diǎn)。v排斥子：雅克比矩陣的三個(gè)特征值的實(shí)部均為正值的平衡點(diǎn)。v鞍點(diǎn)：雅克比矩陣的三個(gè)特征值的實(shí)部有正有負(fù)的平衡點(diǎn)。2.3 吸引子吸引子v吸引子是系統(tǒng)中一個(gè)特殊的平衡態(tài)，它存在于耗散吸引子是系統(tǒng)中一個(gè)特殊的平衡態(tài)，它存在于耗散系統(tǒng)中。系統(tǒng)中。v耗散系統(tǒng)：與外

6、界有物質(zhì)合能量交換、開(kāi)放的、遠(yuǎn)耗散系統(tǒng)：與外界有物質(zhì)合能量交換、開(kāi)放的、遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)。離平衡態(tài)的系統(tǒng)。v下面考慮由下面考慮由N個(gè)一階微分方程個(gè)一階微分方程v （3.3.1）v描述的運(yùn)動(dòng)，描述的運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)(x)不明顯依賴于不明顯依賴于t。v以以x為坐標(biāo)軸構(gòu)成了系統(tǒng)的相空間為坐標(biāo)軸構(gòu)成了系統(tǒng)的相空間v相空間的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)。相空間的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)。v守恒系統(tǒng)的相空間體積在運(yùn)動(dòng)過(guò)程守恒系統(tǒng)的相空間體積在運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中是保持不變的，因而中是保持不變的，因而不存在吸引子。而耗散系統(tǒng)相空間體積在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是不斷不存在吸引子。而耗散系統(tǒng)相空間體積在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是不斷收縮的。收縮的。v吸引子

7、分類：吸引子分類：v1）定常吸引子）定常吸引子v如二維空間中穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)。如二維空間中穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)。v吸引子定義：相空間的一個(gè)子集吸引子定義：相空間的一個(gè)子集A稱為吸引子，如果它同時(shí)稱為吸引子，如果它同時(shí)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：v（1）A對(duì)于對(duì)于(3.3.1)式的流是不變的；式的流是不變的；v（2）存在一個(gè)）存在一個(gè)A的鄰域，它在（的鄰域，它在（3.3.1）式所確定的流動(dòng)下）式所確定的流動(dòng)下收縮至收縮至A；v（3）在）在A上的流是循環(huán)的上的流是循環(huán)的v（4）A不能分解為兩個(gè)不重疊的部分。不能分解為兩個(gè)不重疊的部分。v吸引子的吸引子的N維體積為零，則吸引子的維數(shù)要低于相空間的維維體積

8、為零，則吸引子的維數(shù)要低于相空間的維數(shù)。數(shù)。 v零維時(shí)，穩(wěn)定定態(tài)解是最簡(jiǎn)單的吸引子；零維時(shí)，穩(wěn)定定態(tài)解是最簡(jiǎn)單的吸引子；v當(dāng)穩(wěn)態(tài)定態(tài)解通過(guò)當(dāng)穩(wěn)態(tài)定態(tài)解通過(guò)Hop分岔成為極限環(huán)，便是一位吸引子分岔成為極限環(huán)，便是一位吸引子v平庸吸引子：具有整數(shù)維數(shù)；平庸吸引子：具有整數(shù)維數(shù)；v奇怪吸引子：具有非整數(shù)維數(shù)。奇怪吸引子：具有非整數(shù)維數(shù)。v2）周期吸引子：周期為有理數(shù)）周期吸引子：周期為有理數(shù)v3）擬周期吸引子：周期為無(wú)理數(shù)）擬周期吸引子：周期為無(wú)理數(shù)v4）混沌吸引子：在相空間中具有分形維數(shù)的）混沌吸引子：在相空間中具有分形維數(shù)的吸引子。吸引子。3.4 多個(gè)吸引子與分型線多個(gè)吸引子與分型線v一維時(shí)，常

9、常有兩個(gè)吸引點(diǎn)的盆被一個(gè)排斥點(diǎn)分開(kāi)一維時(shí)，常常有兩個(gè)吸引點(diǎn)的盆被一個(gè)排斥點(diǎn)分開(kāi)v二維時(shí)由磁擺產(chǎn)生的兩個(gè)吸引焦點(diǎn)盆二維時(shí)由磁擺產(chǎn)生的兩個(gè)吸引焦點(diǎn)盆分型線3.5 同宿軌道、同宿點(diǎn)同宿軌道、同宿點(diǎn)v耗散系統(tǒng)中，存在吸引子、排斥子和鞍點(diǎn)，代表系耗散系統(tǒng)中，存在吸引子、排斥子和鞍點(diǎn)，代表系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌線處于不同位置時(shí)的平衡態(tài)。統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌線處于不同位置時(shí)的平衡態(tài)。v異宿軌道：從一個(gè)鞍點(diǎn)到另一個(gè)鞍點(diǎn)的軌線異宿軌道：從一個(gè)鞍點(diǎn)到另一個(gè)鞍點(diǎn)的軌線v同宿軌道：當(dāng)兩個(gè)鞍點(diǎn)合為一個(gè)鞍點(diǎn)時(shí)，從一個(gè)鞍同宿軌道：當(dāng)兩個(gè)鞍點(diǎn)合為一個(gè)鞍點(diǎn)時(shí)，從一個(gè)鞍點(diǎn)到鞍點(diǎn)本身的軌線。點(diǎn)到鞍點(diǎn)本身的軌線。3.6 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性v定義：一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)（可以是任意小的定義：