空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第29講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

（4類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握空間基本事實，能夠判斷點線面之間的關(guān)系。

2.能掌握空間異面直線所成的角

3.會解立體幾何的截面問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給幾何體，求解異面直線所成的角，判斷線面關(guān)系

等。

?考點梳理?

「知識點一.四個公理｛考點一、基本事實的應(yīng)用

知識點二.直線與直線的位置關(guān)系

5、nU—右在匚室yA?考點一、基本事實的應(yīng)用

知1八點二?直線與干面的位置關(guān)系，考點四、立體幾何截面問題

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系J

知識點四.平面與平面的位置關(guān)系：

知識點五.等角定理：

知識點六.異面直線所成的角考點三,異面直線的判斷與異面直線所成角

知識講解

知識點一.四個公理

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點在面內(nèi)的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

知識點二.直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形

符號a(^\b=Pa//ba(y\a=A,b(^a,A^b

公共點個數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平兩條異面直線不同在如

面何一個平面內(nèi)

知識點三.直線與平面的位置關(guān)系：

有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

//

符號1ual[\a=P1//a

公共點個數(shù)無數(shù)個10

知識點四.平面與平面的位置關(guān)系:

有平行、相交兩種情況.

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

\~a~

L/------------

LZJ

符號a//pa[\j3=la工B,

公共點個數(shù)0無數(shù)個公共點且都無數(shù)個公共點且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

知識點五.等角定理：

空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

知識點六.異面直線所成的角

⑴定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點。分別作直線"〃a,b'//b,我們把直線"與〃所成的

角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（0,.

考點一、基本事實的應(yīng)用

典例后闞

1.(?四川?高考真題)如圖，平面4BEF_L平面力BCD,四邊形4BEF與4BCD都是直角梯形,

^BAD=AFAB=90°,BC〃-AD,BE”-AF,G,H分別為

=2=2

F4FD的中點.

(I)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；

(IDC,D,F,E四點是否共面？為什么？

(III)設(shè)AB=BE,證明：平面ADE_L平面CDE；

2.(2024?四川成都?二模)如圖，在棱長為2的正四面體P—ABC中，M,N,E,尸分別是棱PB,4B,4C,PC的中

點.

⑴證明:M,N,E,F四點共面;

(2)求四棱錐P-MNEF的體積.

即時檢測

1.(2024高三?全國?專題練習)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，對角線4C,BD交于點0,OA=4,

OB=3,OP=4,OPJL底面4BCD,E,F分別為側(cè)棱PB,PD的中點，點M在CP上且加=2MP.求證：4,E,M,F

四點共面.

2.(2024高三.全國.專題練習)如圖，在正方體力BCD-A/iCiDi中，E,F,G,"分別是棱4B,a的,如4,D/

的中點.求證：E,F,G,H四點共面.

3.(2024?江蘇徐州?一模)如圖,在正四棱柱力BCD-力iBiGA中，AB=2,34=4,E為久久的中點，經(jīng)

過BE的截面與棱。4,占Bi分別交于點F,G,直線BG與EF不平行.

(1)證明：直線BG,EF,441共點；

(2)當屈=；西時，求二面角C-BF-A的余弦值.

4

4.(23-24高三下.重慶?階段練習)如圖，在直三棱柱中，AB=ACAAr=1,M為線段4當

上一點，平面8cM交棱&G于點N.

(1)求證：直線BM,CN,44i共點；

(2)若點M為4當中點，再從條件①和條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求直線當。與平面BCM所成

角的正弦值.

條件①：三棱錐2—MBC體積為；；

條件②：三棱柱ABC-的外接球半徑為爭

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

考點二、空間位置關(guān)系的判斷

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?山東荷澤?階段練習）在三棱錐D-ABC中，點E,F,G,H分別在AB,BC,CD,DA±,

旦EFHGH,則下列說法中正確的是（）

A.直線EH與FG一定平行B.直線EH與FG一定相交

C.直線EH與FG可能異面D.直線EH與FG一定共面

2.（24-25高三上?江蘇南京?階段練習）設(shè)a,b,c是三條不同的直線，％。,丫是三個不同的平面，則下列命

題為真命題的是（）

A.若ale,blc,貝！Ja||bB.若all瓦alla,貝!Jb||a

C.若a||a,b||a,c1a,c1b,貝！Jc||aD.若/71a,y1a/ny=a,則a1a

即時檢測

I________L__________

1.（2025?安徽?模擬預測）設(shè)a,b是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，若aua,bu0,al￡,

則“a1''是“a1b”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?四川?模擬預測）設(shè)匕/2為兩條不同的直線，曲,a2為兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若人//%，Z2//a1；則%//12

B.若A%與的所成的角相等，則4//12

a

C.若a11a2,//?!，12H2>則=-L〈

D.右a】_La?,Z】_La】,I?_La2，則I】_LI2

3.（2024?山東淄博?二模）己知a,[3,7為三個不同的平面，a,b,1為三條不同的直線.

若anp=l,aCly=a,pny=b,1//y,

則下列說法正確的是（）

A.a與1相交B.b與1相交C.a〃bD.a與p相交

4.（2024.貴州遵義.二模）已知平面a,￡,y滿足a1_Ly,a1y,下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線I1a,則〃/或〃/y

B.若直線〃/a,則/與0和y相交

C.若Zua,則110,且21y

D.若直線1過空間某個定點，則與a,成等角的直線，有且僅有4條

考點三、異面直線的判斷與異面直線所成角

1.（2022?安徽馬鞍山?模擬預測）正方體48CD-中，點M是CC】上靠近點G的三等分點,平面ZM%n

平面力BCD=/,則直線1與B4所成角的余弦值為（）

AV5,,715^710^375

A.—o.C.U.

1010510

2.（2024?重慶?二模）已知a,b是空間中的兩條直線，貝b,6沒有交點是a〃b的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

即0舉丈

1.（23-24高三下.河南.階段練習）過三棱柱任意兩個頂點的直線中，其中異面直線有（）對

A.15B.24C.36D.54

2.（2021?全國?高考真題）在正方體ABCD-4/1GD1中，P為/A的中點，則直線PB與公劣所成的角為（）

A.-B.-C.-D.-

2346

3.（2022?浙江?高考真題）如圖，已知正三棱柱4BC-&B1C1，4c=A4,E,F分別是棱上的點.記

EF與所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為萬，二面角F-BC—力的平面角為y,則（）

A.a<p<yB.p<a<yC.<y<aD.a<y<p

考點四、立體幾何截面問題

典例引領(lǐng)

1.（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）圓臺上、下底面半徑分別為r,R,作平行于底面的平面a將圓臺分成上下兩

個體積相等的圓臺，截面圓的半徑為（）.

'r2R+rR2

2.（2024?四川綿陽?模擬預測）在長方體4BCD—中，AB=2AD=點M是線段好名上靠近5

的四等分點，點N是線段CG的中點，則平面2MN截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

即時檢測

1.（2024?安徽蚌埠?模擬預測）如圖所示，圓臺的上、下底面半徑分別為4cm和6cm,AA,,為圓臺的兩

條母線，截面4BB14與下底面所成的夾角大小為60。，且O01劣弧生功的弧長為詈cm,則三棱臺力B。-

4/101的體積為（）

B

A.ycm3B.10-\/3cm3C.19cm3D.20V3cm3

2.（2024?浙江溫州?模擬預測）邊長為2的立方體被一個平面所截，截得的截面圖形面積最大值為（）

A.4V2B.2V3C.3V3D.6a

3.（2024?全國?模擬預測）已知正方體4BCD中，點E是線段上靠近當?shù)娜确贮c，點F是線

段。1的上靠近5的三等分點，則平面AEF截正方體2BCD-&B1C1A形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D,六邊形

4.（2023?安徽馬鞍山?模擬預測）已知正四棱錐S-4BCD的所有棱長都為2,點E在側(cè)棱SC上，過點E且垂直

于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形的面積的最大值為

ML好題沖關(guān)?

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024（Wj二?天津,專題練習）若血，九為兩條直線，a為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若荏u仇，貝！Jm〃nB.若zn//a,n//a,貝！

C.若m〃a,n1a,則7nlnD.若zn〃a,n1a,則m與ri相交

2.（2024高三?全國?專題練習）若直線，不平行于平面a,且/0a,則下列說法中正確的是（）

A.a內(nèi)的所有直線與，都異面B.仇內(nèi)的所有直線與1都相交

C.a內(nèi)不存在與/平行的直線D.a內(nèi)存在唯一的直線與/平行

3.（2024高三?全國?專題練習）下列說法正確的是（）

A.若直線1平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則l〃a

B.若直線a在平面a外，則a〃a

C.若直線a〃b,bca,則a〃a

D.若直線aCa,135且@〃卜貝!ja〃a

4.（2020?天津河東?模擬預測）已知平面a1,直線Zua,直線6不在平面a上，下列說法正確的是（）

A.若a〃，,?n〃/?,貝！J/〃znB.若?！ǎ?7n1，，貝取1zn

C.若,則/n〃SD,若I則a1￡

5.（23-24高三上?天津和平?階段練習）設(shè)TH,幾是三條不同的直線，％/?是兩個不同的平面，下列命題正確

的是（）

A.若則〃/九B.^l//m,m//a,則〃/a

C.若11m,〃/a,則m〃aD.若mIn,mHa,nilB,則a///?

6.（23-24高三上?天津武清?階段練習）已知m,n是兩條直線，a,夕是兩個平面，則下列命題成立的是（）

A.若al/?,maa,則mlSB.若a〃B，mca,nu0,則？

C.若mua,nu0,mlIn,則a〃/?D.若anS=m,nila,n〃/7,則

能力提升

1.（20-21高三上?天津紅橋?期中）已知血、九是不重合的直線，*夕是不重合的平面，有下列命題:

①若n〃a,mccr,則m〃幾；

②若zn〃a,mlip,則a//；

③若m1/?,a1￡,則/n//a；

④若zn1a,ml/?,則a///?；

⑤若a1S，me/?,則TH1a；

⑥若?！??,ml/?,則7nla；

⑦若aC\0=n,mlIn,貝（Jzn〃a.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2020?天津北辰?二模）m,九是不同的直線，a,夕是不重合的平面，下列說法正確的是（）

A.若仇〃夕，mua,nuB,則相〃九

B.若九ua,m///?,n“B，則?！ā?/p>

C.若a“B，m//a,則m〃/?

D.m,ri是異面直線，若m〃a,n//a,n[邛,貝!Ja〃/?

3.（20-21高三上?天津?期中）在正三棱柱/BC—49C，中，。為棱ZC的中點，AB=AA\則直線次C和80所

成的角的余弦值為