第五章_功率譜密度函數(shù)

1、 第五章隨機振動的功率譜密度第五章第五章 隨機振動的功率譜密度隨機振動的功率譜密度5-1 自相關函數(shù)的物理意義及其傅立葉變換 5-2 自功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì) 5-3 互功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì) 5-4 共相譜、正交譜和相干函數(shù) 5-1 5-1 自相關函數(shù)的物理意義 及其傅立葉變換 一個隨機振動過程的特征可以用數(shù)學期望、方差和相關函數(shù)來描述。 但在工程技術問題中，廣泛采用從頻率域來描述一個隨機振動過程特征的功率譜密度函數(shù)。 1、功率譜密度函數(shù)能夠反映隨機振動的功率關于頻率的 分布密度。 2、對于一個線性系統(tǒng)，輸入功率譜、輸出功率譜、系統(tǒng)本身的傳遞特性三者之間的關系式非常簡便。 3 在對系統(tǒng)進行振

2、動試驗時，功率譜有助于振動特性的模擬 功率譜密度與相關函數(shù)可分別從頻域與時差域這兩個不同的角度反映著同一個統(tǒng)計特性“功率”。 功率譜密度函數(shù)可由相關函數(shù)轉(zhuǎn)換而來。 自相關函數(shù))()()(tXtXERx)()()()0(2tXEtXtXERx 當0時， 為X(t) 的均方值 )(xR所以：自相關函數(shù)蘊藏著隨機信號功率的物理意義。 dttXTtXEtXtXERTx022)(1lim)()()()0( 若隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)過程，則 研究隨機過程時，常需要利用傅立葉變換來確定 隨機過程的頻率結構，但一個時間函數(shù)，在區(qū)間 內(nèi)其傅立葉變換是否存在，取決于是否絕對可積。)(tdttX)(很多時間函數(shù)不能滿足

3、上述條件，因此不能利用用時間函數(shù)歷程函數(shù)直接進行傅立葉變換。 jXXXSF RRed相應的逆變換為: 12jXXRSed對于平穩(wěn)隨機過程， 時（不為零時可調(diào)節(jié)零點），當 時，自相關函數(shù)趨于 ，所以自相關函數(shù)滿足絕對可積的條件，用符號SX()記作它的傅里葉變換0 x02x 2102XXRE XtSd 12jXXRSed顯然，若自相關函數(shù)在0處表示信號的“功率”，則式中SX()的量綱為“功率”/頻率單位，代表單位頻帶上所具有的功率。上兩式通常叫做維納辛欽關系式。若令式中=0，則可得 jXXXSF RRed( )( )jXXSRed自相關函數(shù)的傅里葉變換對為SX()是的函數(shù)，表征信號本身“功率”按頻

4、率的分布情況。故定義SX()為自功率譜密度函數(shù)(簡稱自功率譜或自譜)。 下面將從另一角度定義自功率譜密度函數(shù) 5.2 自功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì) 12jXXRSed設x(t)是遍歷過程的一個樣本函數(shù)，它是定義在(-t)區(qū)間內(nèi)的一個非周期函數(shù)，不滿足絕對可積條件，不能直接應用傅立葉變換。引入下述輔助函數(shù)xT():2/2/2/0)()(TtTtTtxtxT若xT(t)滿足絕對可積條件，則有( )( )1( )( )2j tTTj tTTXx t edtx tXed 下面將從另一角度定義自功率譜密度函數(shù)xT(t) 的均方值定義為:T對上式求集合平均得 2102XXRE XtSd自功率譜密度函數(shù)定義為2

5、1( )lim( )XTTSEXT( )( )jXXSRed可以證明以上兩種形式是等價的（1）自譜SX()為一實偶函數(shù) ，由于自相關函數(shù)為實偶函數(shù)，實偶函數(shù)的傅立葉變換也是實偶函數(shù) 自譜具有下列性質(zhì)（2 2）自譜密度SX()曲線下面包圍的面積乘以常數(shù)1/2，即為平穩(wěn)隨機過程X(t)的圴方值EX2(t)。 2102XXRE XtSd2( ) (0)( )0 (0)XXSG（3）自譜SX() 是一非負函數(shù) 21( )lim( )XTTSEXT（4）單邊譜密度GX() 工程中不存在負頻率，按其偶函數(shù)特征將負頻率范圍內(nèi)的譜密度折算到正頻率范圍內(nèi)獲得單邊譜密度函數(shù)5.3 互功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì)自功率譜

6、SX()定義為自相關函數(shù)的傅里葉變換，互譜密度(簡稱互譜)有類似的定義，SXY()與RXY()；SYX()與RYX()互為傅里葉變換對。 ( )( )1( )( )2jXYXYjXYXYSRedRSed( )( )1( )( )2jYXYXjYXYXSRedRSed設x(t)與y(t)為遍歷過程的兩個子樣函數(shù)，都是定義在區(qū)間-t內(nèi)的非周期函數(shù)，其傅里葉變換XT()和YT()分別為：( )( )j tTTXx t edt()( )( )()j tjtTTTYyt edtytedt相應地，其傅里葉反變換為1( )( )2j tTTx tXed()1()( )2jtTTytYed從另一個角度定義互功

7、率譜密度1( )( )2j tTTx tXed()1()( )2jtTTytYeddRjdRdeRSXYXYjXYXYsin)(cos)()()(由于互相關函數(shù)不是偶函數(shù)，因而上述兩項積分一般均不為零，即互譜函數(shù)為一復數(shù)?；楣曹椇瘮?shù)互為共軛函數(shù)互功率譜密度的兩個性質(zhì)：5.4 共相譜、正交譜和相干函數(shù) (只要求掌握相干函數(shù)的表達式)互譜一般為復函數(shù)，可寫成共相譜正交譜共相譜、正交譜名稱的由來共相譜為同相分量之積 1limXYRRIITCEXYXYT正交譜為正交分量之積 1limXYIRRITQEXYXYT互譜一般為復數(shù)，亦可寫成 XYjXYXYSSe 22arctanXYXYXYXYXYXYS

8、CQQC其中互譜與自譜滿足下列不等式由過程X(t)與Y(t)的自譜與互譜，可定義譜相干函數(shù)XY()（或稱凝聚函數(shù)）結合互譜與自譜間的關系不等式，易知 2XYXYSSS 22XYXYXYSSS 201XY（證明略）互相關函數(shù)與自相關函數(shù)之間的關系)0()0()(2YXXYRRR互譜與自譜滿足之間的關系 2XYXYSSS掌握四個車輪輸入的自譜與彼此間的互譜四個車輪：路面不平度函數(shù)1( )( )q lx l2( )()q lx lL3( )( )q ly l4( )()q ly lL1( ) ( )( )F q lF x lX n22( ) ()( )jnLF q lF x lLX n e3( )

9、( )( )F q lF y lY n24( ) ()( )jnLF q lF y lLY n e計算汽車四個輸入的振動傳遞時，需要計算四個車輪輸入的自譜和四個車輪彼此之間的互譜，共16個譜量，其中四個自譜，12個互譜；其中互譜的計算公式：*1( )lim( )( )ikikTGnFn F nT1、2為同側車輪3、4為同側車輪*1( )lim( )( )ikikTGnFn F nT2*1111111( )lim( )( )lim( )( )lim( )( )xxTTTGnFn F nXn X nX nGnTTT*22222211( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxT

10、TGnFn F nXn eX n eGnTT2*3333111( )lim( )( )lim( ) ( )lim( )( )yyTTTGnFn F nYn Y nY nGnTTT*22444411( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLyyTTGnF n F nYn eY n eGnTT3344( )( )( )yyGnGnGn1122( )( )( )xxGnGnGn*22121211( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxTTGnFn F nXn X n eGn eTT互譜密度函數(shù)*22212111( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxTTGnFn F nXn eX nGn eTT*21221( )( )( )jnLxxGnGnGn e同理：同理：*23443( )( )( )jnLyyGnGnGn e*21441( )( )( )jnLxyGnGnGn e*23223( )( )( )j