概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3章ppt課件

1、隨機(jī)變量按取值的不同可分為隨機(jī)變量按取值的不同可分為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量取值割裂的；取值割裂的；連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量取值連續(xù)變化的。取值連續(xù)變化的。3.1 3.1 一維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布一維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布一、分布函數(shù)概念一、分布函數(shù)概念 xPxFxF 簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記 稱稱F(x)為為r.v. 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 非降性：對(duì)非降性：對(duì)aba 0 f(x) 0； 。 1d xxf以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為例，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為例， 稱為高斯積分。稱為高斯積分。 xxde22 yxtyxtdedede2222222 20022deddde222rryxryx 極極坐坐標(biāo)標(biāo)2e

2、2022 r2de22 xx 1de21d22 xxxx 密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)f(x)的圖像：的圖像：-3-2-1012300.10.20.30.40.50.60.70.8xy 1 , 0N 4 , 0N 41, 0N圖圖1-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4xy圖圖2圖圖1中，中， 不變，隨著不變，隨著 變大，曲線波峰下降。變大，曲線波峰下降。圖圖2中，中， 不變，曲線隨著不變，曲線隨著 的變化沿的變化沿x軸平移，軸平移，曲線形狀不變。曲線形狀不變。 正態(tài)分布函數(shù)：正態(tài)分布函數(shù)： xtxtttfxFde21d)(222 此積分因被積函數(shù)不是初等函

3、數(shù)而無(wú)法積分。此積分因被積函數(shù)不是初等函數(shù)而無(wú)法積分。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)： xttxPxde21)(22 書(shū)后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表書(shū)后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(p.328)，通過(guò)查表，通過(guò)查表，可由可由 計(jì)算計(jì)算 的概率。的概率。 x 正態(tài)分布函數(shù)：正態(tài)分布函數(shù)： xtxtttfxFde21d)(222 此積分因被積函數(shù)不是初等函數(shù)而無(wú)法積分。此積分因被積函數(shù)不是初等函數(shù)而無(wú)法積分。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)： xttxPxde21)(22 書(shū)后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表書(shū)后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(p.328)，通過(guò)查表，通過(guò)查表，可由可由 計(jì)算計(jì)算 的概率。的概率。 x xy x x x

4、 ox 陰影部分為概率面積；陰影部分為概率面積； 由對(duì)稱性，由對(duì)稱性， 。 xx 1,210)1 , 0( N )35. 2( P)35. 2( P)35. 2( P)35. 2( P 假設(shè)假設(shè) ，令，令 ，那么，那么 。 2, N 1 , 0 N 即即式中的式中的F(x)F(x)式中的式中的 ，因而，因而，先將正態(tài)分布的隨機(jī)變量先將正態(tài)分布的隨機(jī)變量 轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量布的隨機(jī)變量 ，再利用，再利用 計(jì)算概率。計(jì)算概率。 x )4 , 3 . 3( N )8( P)35( P 正態(tài)分布的應(yīng)用十分廣泛，在日常生活正態(tài)分布的應(yīng)用十分廣泛，在日常生活中，人的身高、體重、智

5、商；學(xué)習(xí)成績(jī)以及中，人的身高、體重、智商；學(xué)習(xí)成績(jī)以及產(chǎn)品質(zhì)量等均服從正態(tài)分布。產(chǎn)品質(zhì)量等均服從正態(tài)分布。 300 35 x x 3.2 3.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布一、聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)一、聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)1、定義：設(shè)、定義：設(shè) 是二維是二維r.v.，x,y是任意實(shí)數(shù)，是任意實(shí)數(shù)，令令 yxPyxF ,則稱則稱F(x,y)是二維是二維r.v. 的聯(lián)合分布函數(shù)，的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。 , ,于是有于是有 111221222121,yxFyxFyxFyxFyyxxP xyox1x2y1y22、性質(zhì)：、性質(zhì)： F(x,

6、y) F(x,y)對(duì)對(duì)x x和和y y分別是單調(diào)非降的；分別是單調(diào)非降的；xx，y1y2y1y2，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2)F(x,y1)F(x,y2)yy，x1x2x1x2，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y)F(x1,y)F(x2,y) 0F(x,y)1 0F(x,y)1； 1, F 0, F F(x,y) F(x,y)對(duì)對(duì)x x和和y y分別右連續(xù)；分別右連續(xù)；x,yx,y，F(xiàn)(x+0,y)=F(x,y)F(x+0,y)=F(x,y)，F(xiàn)(x,y+0)=F(x,y)F(x,y+0)=F(x,y)4 0,11122122 yxFyxFyxFyxF3、定義：設(shè)二維、定義：設(shè)二維r.v. 的兩個(gè)分量

7、的兩個(gè)分量 與與 各各自的分布函數(shù)為自的分布函數(shù)為 與與 ，稱為，稱為 的邊的邊緣分布函數(shù)。緣分布函數(shù)。 , , xF yF yFyFxFxF, 可由聯(lián)合分布求得邊緣分布；可由聯(lián)合分布求得邊緣分布； 反之則不一定。反之則不一定。1212,xxyy有二、聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)二、聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)1、定義：設(shè)、定義：設(shè)F(x,y)為為 的聯(lián)合分布函數(shù)，且的聯(lián)合分布函數(shù)，且存在非負(fù)函數(shù)存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)于，使得對(duì)于x,yR，有，有 , vuvufyxFxydd, 稱稱f(x,y)為二維為二維r.v. 的聯(lián)合密度函數(shù)，簡(jiǎn)的聯(lián)合密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)，稱密度函數(shù)， 稱為二維連

8、續(xù)型隨機(jī)變量。稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。 , ,2、性質(zhì)：、性質(zhì)： f(x,y)0 f(x,y)0； ； 1dd, yxyxf 若若G G為為XOYXOY平面內(nèi)的一區(qū)域，則二維平面內(nèi)的一區(qū)域，則二維r.v.r.v. 落入落入G G的概率的概率 yxyxfGPGdd, , 在在f(x,y)f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)(x,y)(x,y)處有處有 yxfyxyxF,2 3、定義：設(shè)二維、定義：設(shè)二維r.v. 的兩個(gè)分量的兩個(gè)分量 與與 各各自的密度函數(shù)為自的密度函數(shù)為 與與 ，稱為，稱為 的的邊緣密度函數(shù)。邊緣密度函數(shù)。 , , xf yf xyyxfxFxFxdd, yxyxfyFyFydd, 于

9、是有于是有 xyxfyfyyxfxfd,d, 3、定義：設(shè)二維、定義：設(shè)二維r.v. 的兩個(gè)分量的兩個(gè)分量 與與 各各自的密度函數(shù)為自的密度函數(shù)為 與與 ，稱為，稱為 的的邊緣密度函數(shù)。邊緣密度函數(shù)。 , , xf yf xxfxyyxfxFxFxxddd, yyfyxyxfyFyFyyddd, 于是有于是有 xyxfyfyyxfxfd,d, 求求X和和Y的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)。 其其他他, 010, 10,4,yxxyyxf求求 A； 的分布函數(shù)；的分布函數(shù)； ； 。 , 其其它它，, 02121,),(32yxyxAyxf ,)1( P)(),(yfxf 3.2 3.2

10、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布( (續(xù)續(xù)) )三、兩個(gè)重要的二維連續(xù)型分布三、兩個(gè)重要的二維連續(xù)型分布1 1、二維均勻分布、二維均勻分布 設(shè)設(shè)G G為為XOYXOY平面上的有界區(qū)域，面積為平面上的有界區(qū)域，面積為A A，假設(shè)假設(shè) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 GyxGyxAyxf, 0,1, ,稱稱 服從服從G上的均勻分布。上的均勻分布。 , 若若D D為為G G的子區(qū)域，那的子區(qū)域，那么么 AAyxADPDD dd1, p.106 p.106第第4 4題即是均勻分布，其概率只與題即是均勻分布，其概率只與D D的面積有關(guān)，而與的面積有關(guān)，而與D D的形狀、位置無(wú)關(guān)。的

11、形狀、位置無(wú)關(guān)。 , ,2 2、二維正態(tài)分布、二維正態(tài)分布 稱具有聯(lián)合密度函數(shù)稱具有聯(lián)合密度函數(shù) yxyyxxyxf,2121exp121,22222112112221 (其中其中 為常數(shù)，且有為常數(shù)，且有 )的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 服從二維正態(tài)分布，記為服從二維正態(tài)分布，記為 。 ,21211, 0, 021 , ,222121N 二維正態(tài)分布的圖形：二維正態(tài)分布的圖形： 二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布是一維正態(tài)二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布是一維正態(tài)分布。分布。 2222221121,e21,e2122222121 NyfNxfyx 由于由于 均不含均不含 ，故當(dāng)，故當(dāng) 相相同而同而 不同時(shí)，不同時(shí)

12、， 仍相同，因此不能仍相同，因此不能從邊緣分布推得聯(lián)合分布。從邊緣分布推得聯(lián)合分布。 yfxf , 2121, yfxf ,設(shè)參數(shù)設(shè)參數(shù) ，寫(xiě)出它的聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)。寫(xiě)出它的聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)。53, 9,5, 1, 12222121 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 , 0, 00,e1,2221xyxyyxfyx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)求證：求證： 和和 的邊緣分布分別為的邊緣分布分別為N(0,1)。 四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、定義：設(shè)、定義：設(shè)r.v. 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)， 和和 的邊緣密度函數(shù)分別為的邊緣密度函數(shù)分別為 ，假如

13、，假如對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x和和y，有，有 yfxf , , yfxfyxf ,則稱則稱r.v. 和和 相互獨(dú)立，反之稱相互獨(dú)立，反之稱 和和 不獨(dú)立。不獨(dú)立。 2、當(dāng)兩個(gè)、當(dāng)兩個(gè)r.v. 和和 相互獨(dú)立時(shí)，亦成立相互獨(dú)立時(shí)，亦成立 yFxFyxF , 求求 聯(lián)合概率分布和邊緣分布；聯(lián)合概率分布和邊緣分布； 與與 是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？ 第第一一次次摸摸出出黑黑球球第第一一次次摸摸出出白白球球01 第第二二次次摸摸出出黑黑球球第第二二次次摸摸出出白白球球01 , 求求 系數(shù)系數(shù)c； 與與 是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？ 落在以落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的正方形的為頂點(diǎn)的正方

14、形的概率。概率。 , 2211),(yxcyxf 3、定理：設(shè)、定理：設(shè) ，那，那么么 ,222121N 與與 相互獨(dú)立相互獨(dú)立0 證明：必要性：證明：必要性： 與與 相互獨(dú)立，那么相互獨(dú)立，那么 222221121122212121exp121 yyxx 22222212112exp212exp21 yx令令 ，那么，那么21, yx2122121121 112 0 充分性：充分性： ，那么，那么 的密度函數(shù)的密度函數(shù)0 , 2222112121exp21, yxyxf 22222212112exp212exp21 yx yfxf yfxfyxf ,故故 與與 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 3.3 3.

15、3 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)設(shè)設(shè) 為連續(xù)型為連續(xù)型r.v.，若有，若有y =g(x)，那么，那么 也也是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.?，F(xiàn)可利用?，F(xiàn)可利用 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 來(lái)求來(lái)求 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 。 g yf xf 1 1、y =g(x)y =g(x)是嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)定理：設(shè)定理：設(shè) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ，y =g(x)嚴(yán)格單嚴(yán)格單調(diào)且有一階導(dǎo)數(shù)存在，設(shè)調(diào)且有一階導(dǎo)數(shù)存在，設(shè)x=h(y)為為y =g(x)的的反反函數(shù)，那么函數(shù)，那么 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 xf

16、 g gbgabyayhyhfyfmax,min, 0, 其中其中其它其它證明：證明： y =g(x)嚴(yán)格單調(diào)，那么嚴(yán)格單調(diào)，那么 x=h(y)也嚴(yán)格單也嚴(yán)格單調(diào)。調(diào)。 設(shè)設(shè)y =g(x)y =g(x)，那么，那么 的分布函的分布函數(shù)數(shù) ygPyPyF yhxxfyhPd byayhyhfyFyf 當(dāng)當(dāng) yxy=g(x)x=h(y)yh(y)o 設(shè)設(shè)y =g(x)y =g(x)，那么，那么 的分布函的分布函數(shù)數(shù) ygPyPyF y=g(x)x=h(y)yoxh(y)y yhxxfyhPd byayhyhfyFyf 當(dāng)當(dāng) 由由、， byayhyhfyf )( E3 ),(2 N21kk )1 ,

17、 0( U ln2 2 2、y =g(x)y =g(x)是分段單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)是分段單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量定理：設(shè)隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ，函數(shù)，函數(shù)y=g(x)在不相重疊的區(qū)間在不相重疊的區(qū)間I1,I2,Ik上分段嚴(yán)格上分段嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，它們的反函數(shù)分別為單調(diào)且可導(dǎo)，它們的反函數(shù)分別為h1(y),h2(y), ,hk(y)，那么，那么 的密度函的密度函數(shù)數(shù) xf g 其它其它, 0,1byayhyhfyfkiii ), 0(2 N2 其他其他, 00,2)(2xxxf 求求 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 。 yf yf sin二、多維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)二、多維隨機(jī)變量函數(shù)

18、的密度函數(shù) 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 或隨機(jī)向量或隨機(jī)向量 的密度函數(shù)，若隨機(jī)變量的密度函數(shù)，若隨機(jī)變量 或或 ，與一維情，與一維情形相類似，我們形相類似，我們同樣可以利用原來(lái)隨機(jī)變量的密度函數(shù)求得同樣可以利用原來(lái)隨機(jī)變量的密度函數(shù)求得 的的密度函數(shù)。密度函數(shù)。 , n ,21 ,g ng ,21 常見(jiàn)的多維隨機(jī)變量的函數(shù)有：常見(jiàn)的多維隨機(jī)變量的函數(shù)有： 在求解過(guò)程中，多數(shù)是先求分布函數(shù)，再在求解過(guò)程中，多數(shù)是先求分布函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得密度函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求得密度函數(shù)。 22 22 n ,min211 nn ,max21 雖然雖然 ，此時(shí)，此時(shí) 為一維的為一維的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。 ,g 求求 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 的通常步驟：的通常步驟： 求出求出 的概率密度函數(shù)：的概率密度函數(shù)： zf zgPzPzF , 求出求出 的取值范圍；的取值范圍； 求出求出 的分布函數(shù)：的分布函數(shù)： zDzyxyxfDyxPdd,其中其中 ； zyxgyxDz ,)(dd)(zFzzf 1 1、和的