高鐵梅計量經濟學課件

1、 5.1序列相關理論第五章時間序列棧型關于標準回歸技術及其預測和檢驗我們已經在 前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時間序列模型的估 計和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法，第9 章我們還會討論時間序列的向量自回歸模型。這一部分屬于動態(tài)計量經濟學的范疇。通常是運用時間序列的過去值、當期值及滯后擾動項的加權和 建立模型，來“解釋”時間序列的變化規(guī)律。第3章在對擾動項，的一系列假設下，討論了古典線性回歸模型的估計、檢驗及預測問題。如果線性回歸方程的擾動項色滿足古典回歸假設，使用OLS所得到的估計量是線性無偏最優(yōu)的。但是如果擾動項d不滿足古典回歸假設，回歸方程的估計結果會發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實踐均證

2、明，擾動項勺關于任何一條古典回歸假設的違背，都將導致回歸方程的估計結果不再具有上述的良好性質。因此，必須建立相關的理論，解決擾動項不滿足古典回歸假設所帶來的模型估計問題。 5.1.1另列相關及其產生的后果對于線性回歸模型X = 00 + PXt + + Pkxkt + ut (511)隨機擾動項之間不相關，即無序列相關的基本假設為COV(UpWr_v) = 0 S 工0=1 2、T (5.1.2)如果擾動項序列均表現為:cov(uf,%)北050, t = 1T (5.1.3)即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立的, 而是存在某種相關性，則認為出現了序列相關性(serial c

3、orrelation)。6 5.1.2序列相關的檢驗方法EViews提供了檢測序列相關和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關。虛假序列相關是指模型的序列相關是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如, 在生產函數模型中，如果省略了資本這個重要的解釋變 量，資本對產出的影響就被歸入隨機誤差項。由于資本在時間上的連續(xù)性，以及對產出影響的連續(xù)性，必然導致隨機誤差項的序列相關。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。EViews提供了以下3種檢測序列相關的方法o1. D_W統(tǒng)計量檢驗Durbin-Watson統(tǒng)計量（簡稱D_W統(tǒng)計量）用于檢驗一階序列相關，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯

4、系。對于擾動項均建立一階自回歸方程:ut =+ *t(5.1.6)9#D_W統(tǒng)計量檢驗的原假設：p= 0,備選假設是QH0。DW.=2(1 Q)Dubin-Wasto n統(tǒng)計量檢驗序列相關有三個主要不足:1. DW統(tǒng)計量的擾動項在原假設下依賴于數據矩陣X。2. 回歸方程右邊如果存在滯后因變量，DW檢驗不再有效。3. 僅僅檢驗是否存在一階序列相關。其他兩種檢驗序列相關方法：Q統(tǒng)計量和Breush- GodfreyLM檢驗克服了上述不足，應用于大多數場合。2相關圖和Q -統(tǒng)計量1. 自相關系數時間序列均滯后E階的自相關系數由下式估計(5.2.26)其中區(qū)是序列的樣本均值，這是相距期值的相關系數。稱

5、 口為時間序列均的自相關系數，自相關系數可以部分的刻畫 一個隨機過程的性質。它告訴我們在序列均的鄰近數據之間 存在多大程度的相關性。2. 偏自相關系數偏自相關系數是指在給定1, %“從1的條件下, 叭與k之間的條件相關性。其相關程度用偏自相關系數0業(yè) 度量。在k階滯后下估計偏相關系數的計算公式如下rk -k 1(5227)121 -戶 1 0k-,jrk-j(5.2.28)其中：G是在k階滯后時的自相關系數估計值。%丿=叭一身-BjPkxkj這是偏相關系數的一致估計。我們還可以應用所估計回歸方程殘差序列的自相關 和偏自相關系數（在本章524節(jié)給出相應的公式），以 及Ljung-Box Q統(tǒng)計量

6、來檢驗序列相關。Q-統(tǒng)計量的表 達式為：P廠2為加+ 2%占(5.1.7)其中：弓是殘差序列的/階自相關系數，T是觀測值的個 數，p是設定的滯后階數。p階滯后的Q統(tǒng)計量的原假設是：序列不存在卩階自相關；備選假設為：序列存在p階自 相關。在E Vie ws軟件中的操作方法:在方程工具欄選擇View/Residual Tests/correlogram-g-statistics EViews將顯示殘差的自相關和偏自相關函數以及對應于高階序列相關的Ljung-Box Q統(tǒng)計量。如果殘差不存在序列相關，在各階滯后的自相關和偏自相關值都接近于零。所有的Q統(tǒng)計量不顯著，并且有大的P值。例51:利用相關圖檢

7、驗殘差序列的相關性考慮美國的一個投資方程。美國的GNP和國內私人總投資ZNV是單位為10億美元的名義值，價格指數P為GNP的 平減指數(1972=100),利息率為半年期商業(yè)票據利息。回歸方程所采用的變量都是實際GNF和實際投資；它們是 通過將名義變量除以價格指數得到的，分別用小寫字母 加表示。實際利息率的近似值r則是通過貼現率減去價格 指數變化率卩得到的。樣本區(qū)間：1963年 1984年，建立如 下線性回歸方程：ln( invt) = 0i7i + 02 血(g嘰 + ut應用最小二乘法得到的估計方程如下:Dep endent Variable: LOG(INV_P) Method: Lea

8、st SquaresDate: 12/21AJ5 Time: 10:43Sample: 1963 1984In eluded observations: 22VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.R_P(-1)-0.0162600.012345-1.3171260.2027LOG(GNP_P)0.7344440.004761154.25210.0000R-squared0.804042Mean dependent var5.061585Adjusted Rsquared0.794244S.D. dependent var0.242460S.E

9、. of regression0.109981Akaike info criterion-1.490514Sum squared resid0.241916Schwarz criterion-1.391328Log likelihood18.39565Durbin-Wat sori stat0.940743ln( invt) = -0.016rr_1 +07341n(刃聲)+必(-1.32)( 154.25 )7?2=O.8OD.W.=0.9417選擇 View/Residual test/Correlogram-Q-statisticey 生如下結果:Correlogram of Resid

10、ualsDate: 10/02/06 Time: 16:07Sample: 1963 1984Included observations: 22AC PAC Q-Stat ProbAutocorrelation Partial Correlation11 0.550 0.550 7.6032 0.006112 0.122 -0.258 7.9986 0.0181 13 -0.045 0.019 8.0542 0.045-IM4 0.117 0.262 8 4528 0.07615 0.071 -0.235 8.6086 0.126 16 0 051 0.164 8.6950 0.19111 0

11、.034 0.019 8.7360 0.27218 0 005 -0.166 8.7369 0.3651 19 -0.087 0.028 9.0418 0.433 110 0.008 0.164 9 0444 0.528IQ111 0.000 -0.257 9 0444 0.618b 12 0.000 0.158 9.0444 0.699虛線之間的區(qū)域是自相關中正負兩倍于估計標準差所夾成的。如 果自相關值在這個區(qū)域內，則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯 著區(qū)別。本例1階的自相關系數和偏自相關系數都超出了虛線，說明存在1 階序列相關。1階滯后的Q-統(tǒng)計量的P值很小，拒絕原假設，殘差序列 存在一

12、階序列相關。3序列相關的LM檢驗與D W統(tǒng)計量僅檢驗擾動項是否存在一階自相關不同，Breush-Godfrey LM檢驗（Lagrange multiplier, 即拉格朗日乘數檢驗）也可應用于檢驗回歸方程的殘 差序列是否存在高階自相關，而且在方程中存在滯后 因變量的情況下，LM檢驗仍然有效。檢驗原假設為：直到卩階滯后不存在序列相關! P為預先定義好的整數；備選假設是：存在P階自相關。 檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。(1)估計回歸方程，并求出殘差八八/=兒00 Pxt 02(5.1.8)X2t歸得到(2) 檢驗統(tǒng)計量可以基于如下et = Xty + &匕-+ + apet_p + 片(5.1.

13、9)這是對原始回歸因子X,和直到p階的滯后殘差的回歸。 LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和TXR2統(tǒng)計量。F統(tǒng)計量是對式(5.1.9)所有滯后殘差聯合顯著性的一種檢 驗。TXR2統(tǒng)計量是LM檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數F乘以 回歸方程(5.1.9)的疋。一般情況下，TXR2統(tǒng)計量服從漸 進的力血)分布。在E View軟件中的操作方法:選擇View/Residual Tests/Serial correlation LM Test,一般地對高階的，含有ARMA誤差項的情況執(zhí)行Breush-Godfrey LM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗 序列的最高階數。21例51 （續(xù)）序列相關LM檢驗LM統(tǒng)

14、計量顯 示，在5%的顯著性水平拒絕原F-statistic5.167470Probability0.016848Obs*R-squared8 019946Probability0.018134Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:假設，回歸方程 的殘差序列存在 序列相關性。因Test Equation:Dependent Variable: RESIDMethod: Least SquaresDate: 10/02/06 Time: 16:23Presample missing value lagged residuals set to zero

15、.此，回歸方程的 估計結果不再有 效，必須采取相 應的方式修正殘 差的自相關性。VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.R_P(-D-0.0032840.010662-0.3080350.7616LOG(GNF P)0.0013800.0040710.3389390.7386RESID(-1)07676020.2401213.1967340.0050RESID(-2)-0 4103230.250454-1 6383160.1187R-squared0.364543Mean 血卩endent var-0.001855Adjusted R-squa

16、red0.2586333 D. dependent var0.107313E.E. of regression0.092400Akaike info criterion-1.762420Sum squared resid0153679Schwarz criterion-1.564048Log likelihood23.38662Durbin-Watson stat1.826421例52:含滯后因變量的回歸方程擾動項序列相關的檢驗考慮美國消費CS和GDF及前期消費之間的關系，數據 期間：1947年第1季度1995年第1季度，數據中已消除了 季節(jié)要素，建立如下線性回歸方程：CSt = c0 +qC

17、St_i + c7 GDPt +ut/ = 1,2,7*應用最小二乘法得到的估計方程如下：CSt =-10.15+ 0.93C5m +0.05G砂 +utt = (-1.93) (3.23)(41.24)R2=o.999D.W.=1.605如果單純從顯著性水平、擬合優(yōu)度及D.W值來看， 這個模型是一個很理想的模型。但是，由于方程的解釋 變量存在被解釋變量的一階滯后項，那么DW值就不能 作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關的標準，如 杲殘差序列存在序列相關，那么，顯著性水平、擬合優(yōu) 度和F統(tǒng)計量將不再可信。所以，必須采取本節(jié)中介紹 的其他檢驗序列相關的方法檢驗殘差序列的自相關性。 這里采用LM

18、統(tǒng)計量進行檢驗9=2),得到結果如下：Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:F-statistic7.218714 Probability0.000965Obs*R-squared13.76103 Probability0.001028LM統(tǒng)計量顯示，回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關性。下面給出殘差序列的自相關系數和偏自相關系數，相關圖如下:lorkfile: 5 2Cs27#Correlogram of ResidualsDate: 10/D3/D6 Time: 16:37Sample: 1947Q2 1995Q1Included obse

19、rvations: 192Autocorrelation Partial CorrelationAC PAC Q-Stat ProbView Proc Object Print Name Freeze Estimate Forecast Stats Reside10.1950.1957.3849.0720.2150.18516.4830.00030.2720.21831.110.0D40.042-0.07331.4640.00050.023-0.07031.568.0060.031-0.01931.7660.0007-0.058-0.04732.4340.0008-0.143-0.13436.

20、6940.0009-0.072-0.02437.6620.00010-0.0290.06937.8340.00011-0.083-0.002392420.000本例13階的自相關系數都超出了虛線，說明存在3階序列相關。 各階滯后的Q統(tǒng)計量的P值都小于5%,說明在5%的顯著性水平下， 拒絕原假設，殘差序列存在序列相關。 5.1.3 擾動項存在序列相關的線性回歸方程的估計與僭正線性回歸模型擾動項序列相關的存在，會導致模型 估計結果的失真。因此，必須對擾動項序列的結構給予 正確的描述，以期消除序列相關對模型估計結果帶來的 不利影響。通?？梢杂肁R(p)模型來描述一個平穩(wěn)序列的自相 關的結構，定義如下

21、：yt =0o +01坷/ +02兀力H+Pkx+ut(5o)(5.1.11)Ut = 01 Ut- + 02 Ut-2 + + 07 ut-p + t其中：均是無條件擾動項，它是回歸方程(5.1.10) 的擾動項，參數，A，02,，炕是回歸模型的系數。 式(5.1.11)是擾動項購的卩階自回歸模型，參數01, 02, ，0是卩階自回歸模型的系數，芻是無條件擾動項叭自歸模型的誤差項，并且是均值為0,方差為常數的白噪聲序列，它是因變量真實值和以解釋變量及以前預測誤 差為基礎的預測值之差。下面將討論如何利用ARV)模型修正擾動項的序列相關，以及用什么方法來估計消除擾動項后方程的未知參數。1.修正一

22、階序列相關最簡單且最常用的序列相關模型是一階自回歸AR(1)模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型,并且具有一31#階序列相關的情形，即卩=1的情形:X 二 00+01兀 + 妁(5.1.12)#(5.1.13)把式(5.1.13)帶入式(5.1.12)中得到(5.1.14)開二 0o + Pxt + 0妁1 +st2.修正高階序列相關通常如果殘差序列存在卩階序列相關，誤差形式可以 由AR(p)過程給出。對于高階自回歸過程，可以采取與一 階序列相關類似的方法，把滯后誤差逐項代入，最終得到 一個誤差項為白噪聲序列，參數為非線性的回歸方程，并 且采用Gauss-Newto n迭代法求得非線性回

23、歸方程的參數。3.在Eviews中的操作:打開一個方程估計窗口，輸入方程變量，最后輸入ar(l)敬ai。針對例5.2定義方程為:Equation EstMationSpecifi cation OptionsEquation specificationDependent variable followed by list of regressors and PDL terms? OR an explicit equati on like34需要注意的是，輸入的ar(l) arai分別代表3個滯后項的系數，因此，如果我們認為擾動項僅僅在滯后2 階和滯后4階存在自相關，其他滯后項不存在自相關，即U

24、t = 02 Ut-2 + 04 Ut-4 + St則估計時應輸入:cs c gdp cs(-l) ar(2) ar(4)EViews在消除序列相關時給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個自回歸項。例如，如果有季度數據 而且想用一個單項來消除季節(jié)自回歸，可以輸入：cs c gdp cs(-l) ar(4) 0例53用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(1) 例5.1中檢驗到美國投資方程的殘差序列存在一階序列相 關。這里將采用AR(1)模型來修正投資方程的自相關性：ln( invt) = A7i + 02 血(+ 叫 / = 1，2,，F叫=01孤1 + JDependent Var

25、iable: LOG(INV_P)Method: Least SquaresDate: 10/13/06 Time: 10:57Sample: 1963 1984Included observations: 22Convergence achieved afterS iterationsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.R_P(-1)-0.0172560.014285-1.2080340.2419LOG(GNP P)0.7357680.00768795.711680.0000AR0.5339670.2011442.6546480.0156

26、R-squared0.856970恥亦 d即EndEnt var5.061585Adjusted R-squared0.841914S.D. dependent var0.2424605.巳 of regression0.096402Akaike info criterion-1.714451Sum squared resid0.176574Schwarz criterion-1.565672Log likelihood21.35896Durbin-Watson stat1.515881Inverted AR Roots.53回歸估計的結果如下：ln( ihvt) = -0.017+0741n

27、(gp)t = (-1.21)(95.71)ut = 053匚t = (2.65)R2= 0.86 D.W. = 1.52再對新的殘差序列進行LM檢驗0=2），最終得到的檢 驗結果如下：BreuschGi：idfrey Serial Correlation LM Test:F-statistic1.596780 Probability0.231476Obs*R-squared3.475649 Probability0.175903檢驗結果不能拒絕原假設，即修正后的回歸方程的殘差序列不存在序列相關性。因此，用AR模型修正后的回歸方程的估計結果是有效的。例54用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的

28、自相關例5.2中檢驗到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序 列存在明顯的序列自相關。而且從相關圖看到，可以采 用AR(3)模型來修正回歸方程的自相關性。CS t = Cq + CCS(_ + c DPf + utut = 01 Ut- + 02 Ut-2 + 03 Ut-3 +St回歸估計的結果如下:D即Endent Variable: CSMethod: Least SquaresDate: 03/14/05 Time: 21:53Sample (adjusted): 1948Q1 1995Q1Included observations: 189 after adjustmentsConverg

29、ence achieved after 22 iterations模型建立如下:VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.c-65.8456516.86028-3.9076830 0001GDP0.2466150.0338117.2909660 0000CS(-1) 6537090.04813213.581650 0000AR(1)0.3655670.0753334.8526630 0000AR(2)0 2330360.0769613.0682310 0026AR (3)0 2183760.0719683.0343540 0028R-square

30、d0.999782Mean dependent var1981 293Adjusted R-squared0.999776SD. dependent var848 3837S E. of regression1270433Akaike info criterion7 952994Sum squared resid29536 19Schwarz criterion8 055906Log likelihood-745.5579F-statistic167836 4Durbin-Watson stat1.935376Prob(F-statistic)0.000000Inverted AR Roots

31、.90-.2742i-,27-.42iCSt = 65.86 + 0.65CS,】+ 0.25GDPt +utt = (-3.9)(7.29)(13.54)ut = 0.37mz_j + 0.23mz_2 + 0.22wz_3 +stt = (4.85)(3.07)(3.03)/?2=0.999 D.W=1.9441給出糾正后的殘差序列的Q統(tǒng)計量和序列相關圖，在直觀上認識 到消除序列相關后的殘差序列是一個隨機擾動序列。Correlogram of ResidualsDate: 10/04/06 Time: 14:31Sample: 1948Q1 1995Q1Included observati

32、ons: 189Q-statistic probabilities adjusted for 3 ARMA term(s)Autocorrelation Partial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob1 0.029 0.0292 0.051 0.0503 0.078 0.0754 -0.061 -0.0685 -0.023 -0.0276 0.036 0.0397 -0.042 -0.0328 -0.124 -0.1299 -0.048 -0.04810 0.044 0.07311 0.003 0.0230.16000.65511.82612.55722.66072

33、.92063.27716.35656.82357.22217.22380.1100.26404040.5130.2730.3370.4060.513再對新的殘差序列鳥進行LM檢驗，最終得到的檢驗結果如下:fBreusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:F-statisticObs*R-squared17D9887 Probability3.5D4706 Probability01837950.1733664344對于簡單AR(1)模型，&是無條件殘差的序列相關系數。對于平穩(wěn)AR(1)模型,(極端負序列相關)#和+1 (極端正序列相關)之間。一般AR(p)

34、平穩(wěn)條件是：滯后算子多項式的根的倒數在單位E Vie ws在回歸輸出的底部給出這些根:InvertedAR Rootso如果存在虛根，根的模應該小于1。另外：EViews可以估計帶有AR誤差項的非線性回歸模型。例如：將例54中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估計如下帶有附加修正項AR(3)的非線性方程:CSt = Cq + cCSt_ + GDPf2 +均Ut 0 Ilf + 02 叫_2 + 03 叫_3 + 5用公式法輸入：cs=c(l)+gdpAc(2)+c(3)*cs(-l)+ar(l)=c(4),ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)輸出結果顯示為：Dependent Variab

35、le: CSMethod: Least SquaresDate: 04/215 Time: 10:38Sample (adjusted): 1948Q1 1995Q1Included observations: 189 after adjustmentsConvergence achieved after 24 iterationsCS=C(1)+GDPC(2)+C(3)*CS(-1)+AR(1)=C(4), A.R(2)=C(5).AR(3)=C(l6 )CoefficientStd. Errort-StatisticProb.C-202.938225.18506-8.0578810.000

36、0C0.8531950.01445359.030670.0000C0.6317940.04988312.665480.0000 |C0.4111040.0752595.4624840.0000C0.2504190.0769913.2525640.00140.2234090.0719323.1058190.0022squared0.999777Mean dependent var1981.293Adjusted R-squared0.999771S.D. dependent var848.8837S.E. of regression12.84938Akaike info criterion7.9

37、75699Sum squared resid30214.49Schwarz criterion8.078612Log likelihood747.703BDurbin-Wat son stat1.938770Inverted AR Roots.93-.26-41 i -.26+.41i 52十穩(wěn)時間序列建模本節(jié)將不再僅僅以一個回歸方程的擾動項序列為研究對象，而是直接討論一個平穩(wěn)時間序列的建模問 題。在現實中很多問題，如利率波動、收益率變化及匯率變化等通常是一個平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成一個平穩(wěn)序列。本節(jié)中介紹的ARMA模型(autoregressive moving average

38、models)可以用來研究這些經濟變量的變化規(guī) 律，這樣的一種建模方式屬于時間序列分析的研究范 疇。 5.2.1平穩(wěn)時間序列的概念如果隨機過程均=從嚴0，絢山2,50#的均值和方差、自協方差都不取決于匚則稱均是協方差平 穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的:對所有的t(5.2.1)對所有的t(5.2.2)對所有的（和S(523)E(uJ = “var(wr) = cr2E仏-“)(仏-“)二人注意，如果一個隨機過程是弱平穩(wěn)的，則均與之間的協方差僅取決于八 即僅與觀測值之間的間隔長度s有關，而與時期（無關。一般所說的“平穩(wěn)性”含義就是上述 的弱平穩(wěn)定義。52.2 ARMA模型1.自回歸模型AR(p)p階自回歸模型記作

39、AR)，滿足下面的方程:Ut 二 C + 01 ut_ + 02 叫2 H Op Ut-p + 5(5.2.4)其中：參數C為常數；必，竝，妙是自回歸模型系數; 卩為自回歸模型階數；芻是均值為0,方差為b2的白噪聲 序列。2移動平均模型MA(g)q階移動平均模型記作MA(g),滿足下面的方程:ut 二 “ + 6 + 6_i +H OqSt_q(5.2.5)其中：參數“為常數；參數久Wq是9階移動平均模型的系數；乞是均值為0,方差為2的白噪聲序列。3. ARMA(p,g)模型妬=c + 01 妁_1 + + QpUp + 巧 + + Oqt_q(5.2.6)顯然此模型是模型(524)與(525

40、)的組合形式，稱為混合 模型，常記作ARMA,g)。當卩=0 時，ARMA(0, q) = MA()； 當g = 0時，ARMA(p, 0) = AR(p) o 5.2.3 ARMA模型的平穩(wěn)性1. AR（p）模型的平穩(wěn)性條件為了理解AR（p）、MA和ARMAM）模型的理論結構, 簡單的算子理論是必不可少的。對于AR）模型ut = C + 0i 妁_1 + 血 Ut-2 + +Ut-p + （527）設厶為滯后算子，則有Lut=utA, LPut=ut_p ,特別地，Lut=uto則式（5.2.7）可以改寫為：(1 0 L 0 厶 2 )妁C81(5.2.8)若設0X) = 102廠0，令二1

41、 0憶02才0品=0(529)則 狽Z)是一個關于Z的卩次多項式，AR模型平穩(wěn)的充要 條件是啟Z)的根全部落在單位圓之外。式(5.2.7河以改寫為 滯后算子多項式的形式叫) Ut -C + 8t(5.2.10)可以證明如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則式(5.2.10) 可以表示為MA(oo)的形式，從而可以推導出來任何一個 AR0)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。2. MA模型的可逆性考察MA(g)模型均“ =(1 + &上+。2 厶彳 H0qU)8t (5.2.16)59#1 + &憶+ &2”+ &用=0的根全部落在單位之外，則式(5.2.16)的MA算子稱為可逆的。盡管不可逆時

42、也可以表征任何給定的數據，但是一些參 數估計和預測算法只有在使用可逆表示時才有效。3. ARMA,?)模型的平穩(wěn)性條件ARMAQmO模型包括了一個自回歸模型ARQ)和一個移 動平均模型MA(g)色二 C + 0冋_ + + OpU p + + 0屁_1 + + 8qtq或者以滯后算子多項式的形式表示(5.2.19)(1 0/ 02八-00)均I(5；20)二c + (l + O/ + &2厶彳+ 叨怡 (z) = 1-0憶-02才Op才-0(5221)則ARMAQQ模型(5219)平穩(wěn)的充要條件是的根全部落在單位圓之外。ARMA模型構造了一種更為復雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個平穩(wěn)序列

43、。可以看出ARMA模型的平穩(wěn) 性完全取決于自回歸模型的參數，而與移動平均模型參數無關。 524 ARMA,g)模型的估計1. ARMA(p，q)模型的輸入形式ARMA(p,g)模型中AR和MA部分應使用關鍵詞ai和ma 定義。在上面AR定義中，我們已見過這種方法的例子，這 對MA也同樣適用。例如，估計因變量為LS的一個2階自回歸和1階動平均過程ARMA(2，1),應輸入:LS c ar(l) ar(2) ma(l)如果采用公式法輸入方程，則只能有AR項系數，明確 列出形式為：LS = c(l)+ar(l)=c(2),ar (2)=c。含有MA項只能用列表法。例55:利用AR(1)模型描述上證指

44、數的變化規(guī)律本例取我國上證收盤指數(時間期間：1991年1月2003年3月)的月度時間序列S作為研究對象，用 AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對其做變化率，srt = 100 x (S“)/S “f = 1，2，.T)這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價指數序列 并不是一個平穩(wěn)的序列，而通過變換后的變化率數據, 是一個平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對象。 記上證股價指數變化率序列為豺。65建立如下模型:srt 二 c + 0s/;_i + 妁t = 1，2,，T估計輸出結果顯示為:Dependent Variable: SRMethod: Least SquaresDate: 1 /D

45、4/06 Time: 10:16Sample (adjusted): 1991M02 2003M03Included observations: 146 after adjustments Convergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C3.3021251.7380241.8999310.0594AR-0.0605520.083186-0.7279130.4678R-squared0.003666Mean dependent var3.301367Adjusted R-sq

46、uared-0.0032533D. depencJEnt var22.23611S E. of regression22.27225Akaike info criterion9.068164Sum squared resid71431.66Schwarz 匚riterion9.099035Log likelihood B59.24B0F-slatistic0.529858Durbin-Watson stat2.001638Prob(F-statistic)0.467849200160-120-91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 025.2實線是上證股價指數變化率序

47、列 虛線是AR(1)模型的擬合值從圖52可以看出我國上證股價指數變化率序列在1991 年 1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3%上下波 動。近年來波動平緩，并且大多在3%下面波動。擬合曲線基 本代表了這一時期的均值。對例5.5中我國上證收盤指數(時間期間：1991年1月 2003年3月)的月度時間序列S的對數差分變MLS=dlog， 即股票收益率用ARMA(1,1)模型來估計，來說明EViews是 如何估計一個ARMA(p, q)模型的。LS t c it tut + s + e* t_建立方程，輸入LS c ar(l) ma(l)估計輸出顯示:Dependent Variable:

48、 LSMethod: Least SquaresDate: 10/04/06 Time: 10:30Sample (adjusted): 1991MD2 20D3MD3Included observations: 146 after adjustments Convergence achieved after 15 iterations Backcast: 1991M01VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.c0.0168340.0127521.3201210.1889AR(1)-0.34D76D0 811190-0.4200740.E751

49、MA(1)0.2525680.8348390.3025350.7627R-squared0.008748Mean dependent var 01E8D1Adjusted R-squared-0.005115S.D. dependent var0.1B4698S.E. of regression0.165118Akaike info criterion-.743974Sum squared resid3.898763Schwarz criterion-0.682667Log likelihood57.31012F-statistic0.631016Durbin-Watson stat1.992

50、741Prob(F-statistic) 533526Inverted AR Roots.別Inverted MA Roots25估計方程可寫為：戊=0.0168+心t = (1.32)ut 0.34 妁+ % + 0.25為_ t = (-0.42)(0.3)R2= 0.0087 D.W. = 1.99也可寫為：/X/LSf = c +(/)xut_x +st +仇_1/=0.0168 0.3408 x(厶S- 0.0168)+ 0.2526 x_,=0.0168 x 1.3408 0.3408 x 厶 S + q + 0.2526 x2. ARMA(p，q)模型的輸出形式一個含有AR項的模

51、型有兩種殘差：第一種是無條件殘差必，第二種殘差是估計的一期向前預測誤差玄。如名 所示，這種殘差代表預測誤差。實際上，通過利用滯后殘差的預測能力，改善了無條件預測和殘差。對于含有ARMA項的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計量， 如疋和D.W值都是以一期向前預測誤差為基礎計算的。含 有AR項的模型獨有的統(tǒng)計量是估計的AR系數。對于簡單AR(1)模型，01是無條件殘差的一階序列相關系數。在輸出表中01用AR(1)表示，MA(1)模型的系數01用MA表示。 對于平穩(wěn)AR(1)模型，0在和+1之間。一般AR(p)模型期穩(wěn)條件是：滯后算子多項式的根的倒數在單位 5.2.5 ARMA型的識別在實際研究中，所能獲得的只是經濟指標的時間序 列數據，根據經濟指標的樣本特征，來推斷其總體(真 實)特征。這一節(jié)將引入自相關系數(autocorrelations, 簡稱AC)和偏自相關系數(partial autocorrelations,簡稱 PAC)這兩個統(tǒng)計量去識別ARMA(p,g)模型。MA(g)模 型的自相關函數在q步以后是截