六年級奧數(shù)正式教材學(xué)生用(共42頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目錄 （1） 數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個地名第1個字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認(rèn)，需要運用四則運算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原?！跋x食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用、等圖形符號或字母表示。文字算式謎是前兩種算式

2、謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導(dǎo)例1 ，8，97在上面的3個方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340所以3個數(shù)之和為3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（4）858=6。分析：（1） 6104/56=1

3、09 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各個方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399.98。例4 我學(xué)數(shù)學(xué)樂我學(xué)數(shù)學(xué)樂=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂”分別代表的4個不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？ 分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6 ，81619*81619=例5 （）=24在式中的4個方框內(nèi)填入4個不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫

4、成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示運算意義的表達(dá)式，通常是使用四則運算符號，例如ab=3a-3b，新運算使用的符號是，而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。正確解答定義新運算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進(jìn)行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運算。值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質(zhì)，所以，不能盲目地運用定律和運算性質(zhì)解題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4a-

5、3b,試計算56，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計算中不得將前后的數(shù)交換。例2.對于兩個數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3a+2b,試計算（56）7，5（67）。思路導(dǎo)航：先做括號內(nèi)的運算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79說明 本題定義的運算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運算有區(qū)別的。例3.已知23=234，42=45，一般地，對自然數(shù)a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.計算（63）-（52）。思路導(dǎo)航：原式=67-56 =336-30規(guī)定：

6、a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路導(dǎo)航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 鞏固訓(xùn)練1.若對所有b,ab =ax,x是一個與b無關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。2. 如果規(guī)定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。3、 能力提升（3） 不規(guī)則圖形面積計算（1）我們曾經(jīng)學(xué)過的三角

7、形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形.我們的面積及周長都有相應(yīng)的公式直接計算.如下表：實際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應(yīng)用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形。那么，不規(guī)則圖形的面積及周長怎樣去計算呢？我們可以針對這些圖形通過實施割補(bǔ)、剪拼等方法將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，問題就能解決了。一、例題與方法指導(dǎo)例1如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。思路導(dǎo)航：陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”

8、三角形（ABG、BDE、EFG）的面積之和。例2如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積. 思路導(dǎo)航：ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，四邊形 AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形ABCD的。在ABE中，因為AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面積為222=2。所以SAEF=S四邊形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。BC例3兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。思路導(dǎo)航：在等腰直角三角形ABC中AB

9、=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，陰影部分面積=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例4如右圖，A為CDE的DE邊上中點，BC=CD，若ABC（陰影部分）面積為5平方厘米.求ABD及ACE的面積.思路導(dǎo)航：取BD中點F，連結(jié)AF.因為ADF、ABF和ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.ACD的面積等于15平方厘米，ABD的面積等于10平方厘米。又由于ACE與ACD等底、等高，所以ACE的面積是15平方厘米。二、鞏固訓(xùn)練1.如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。D2.如右圖，已知：S

10、ABC=1，AE=ED,BD=BC.求陰影部分的面積。3.如右圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？4.如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AED的面積是5平方米，BC=10米，求陰影部分面積.5.如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等.（4） 不規(guī)則圖形面積計算（2）不規(guī)則圖形的另外一種情況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規(guī)則圖形組合而成的，這是一類更為復(fù)雜的不規(guī)則圖形，為了計算它的面積，常常要變動圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睢⑵囱a(bǔ)、旋轉(zhuǎn)等手段使之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、

11、差關(guān)系，同時還常要和“容斥原理”（即：集合A與集合B之間有：SABSASb-SAB）合并使用才能解決。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.如右圖，在一個正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓.求陰影部分的面積。解法1：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到右圖.這時，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。解法2：將上半個“弧邊三角形”從中間切開，分別補(bǔ)貼在下半圓的上側(cè)邊上，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。解法3：將下面的半圓從中間切開，分別貼補(bǔ)在上面弧邊三角形的兩側(cè)，如右圖所示.陰影部分的面

12、積是正方形的一半.例2.如右圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。解：由容斥原理 S陰影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形ABCD例3如右圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求陰影部分的面積。例4.如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB20厘米，如果陰影（）的面積比陰影（）的面積大7平方厘米，求BC長。分析 已知陰影（）比陰影（）的面積大7平方厘米，就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米；又知半圓直徑AB20厘米，可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可

13、求出三角形ABC的面積，進(jìn)而求出三角形的底BC的長.2、 鞏固訓(xùn)練1.如右圖，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（I）的面積之差。而（I）的面積等于邊長為6的正方形的面積減去以6為半徑的圓的面積。2.如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60，此時AB到達(dá)AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）. 3.如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積.4.如下頁右上圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部分面積（取3.14）?？偨Y(jié)：對于

14、不規(guī)則圖形面積的計算問題一般將它轉(zhuǎn)化為若干基本規(guī)則圖形的組合，分析整體與部分的和、差關(guān)系，問題便得到解決.常用的基本方法有：一、 相加法：這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個基本規(guī)則圖形，分別計算它們的面積，然后相加求出整個圖形的面積.例如，右圖中，要求整個圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了. 二、 相減法：這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個基本規(guī)則圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可. 三、 直接求法：這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁右上圖，欲求

15、陰影部分的面積，通過分析發(fā)現(xiàn)它就是一個底是2，高為4的三角形，面積可直接求出來。四、 重新組合法：這種方法是將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設(shè)法求出這個新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時采用相減法就可求出其面積了.五、 輔助線法：這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖，求兩個正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線后用直接法作更簡便. 六、 割補(bǔ)法：這種方法是把原圖形的一部分切

16、割下來補(bǔ)在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補(bǔ)在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半. 七、 平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積.例如，如右圖，欲求陰影部分面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個陰影部分恰是一個正方形。八、 旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個新的基本規(guī)則的圖形，便于求出面積.例如，欲求圖（1）中陰影部

17、分的面積，可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.九、 對稱添補(bǔ)法：這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)則圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關(guān)于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然后運用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解決。例如，欲求右圖中陰影部分的面積，可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因

18、為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分. （5） 抽屜問題如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。以上兩個簡單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)

19、的物品都不到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作3

20、66個抽屜，將367名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進(jìn)366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2.在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3整除？分析與解：因為任何整數(shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”。一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個“抽屜”里。將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個數(shù)的差必能被3整除。例3.在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)？分析與解：根據(jù)例2的討論，任

21、何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2?，F(xiàn)在，對于任意的五個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。第一種情形。有三個數(shù)在同一個抽屜里，即這三個數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因為這三個數(shù)的余數(shù)之和是其中一個余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個數(shù)之和能被3整除。第二種情形。至多有兩個數(shù)在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數(shù)，在每個抽屜里各取一個數(shù)，這三個數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個數(shù)之和能被3整除。綜上所述，在任意的五個自然數(shù)中，其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)。2、 鞏固訓(xùn)練1. 有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總

22、數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？2.用紅、藍(lán)兩種顏色將一個25方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？3.在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？3、 拓展提升1.有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。2. 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？3.從2、4、6、30這15個偶數(shù)中，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34

23、。（6） 邏輯推理曾經(jīng)愛因斯坦出過一道測試題, 他說世界上有98%的人回答不出!讓我們一起來看看是什么題呢。在一條街上有5座顏色不同的房子，住著5個不同國家的人，他們抽著5種不同的煙，喝著5種不同的飲料，養(yǎng)著5種不同的寵物。有下面15個已知條件，求解。1、英國人住紅色房子。2、瑞典人養(yǎng)狗。3、丹麥人喝茶。4、綠色房子在白色房子左面。5、綠色房子主人喝咖啡。6、抽Pall Mall香煙的人養(yǎng)鳥。7、黃色房子主人抽Dunhill香煙。8、住在中間房子的人喝牛奶。9、挪威人住第一間房。10、抽Blends香煙的人住在養(yǎng)貓的人隔壁。11、養(yǎng)馬的人住抽Dunhill香煙的人隔壁。12、抽Blue Mas

24、ter的人喝啤酒。13、德國人抽Prince香煙。14、挪威人住藍(lán)色房子隔壁。15、抽Blends香煙的人有一個喝水的鄰居。問:哪個國家的人養(yǎng)魚?這道題為什么會難倒這么多人呢，首先，我們就來研究一下關(guān)于他的最基本的邏輯問題吧。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.某地質(zhì)學(xué)院的學(xué)生對一種礦石進(jìn)行觀察和鑒別：甲判斷：不是鐵，也不是銅。乙判斷：不是鐵，而是錫。丙判斷：不是錫，而是鐵。經(jīng)化驗證明：有一個人的判斷完全正確，有一個人說對了一半，而另一個人完全說錯了。你知道三人中誰是對的，誰是錯的，誰是只對一半的嗎？思路導(dǎo)航：丙全說對了，甲說對了一半，乙全說錯了。先設(shè)甲全對，推出矛盾后，再設(shè)乙全對，又推出矛盾，則說明丙

25、全對，甲說對了一半，乙全說錯了。例2.數(shù)學(xué)競賽后，小明、小華和小強(qiáng)各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一人得銅牌。老師猜測：“小明得金牌，小華不得金牌，小強(qiáng)不得銅牌。”結(jié)果老師只猜對了一個，那么誰得金牌，誰得銀牌，誰得銅牌？思路導(dǎo)航：小華得金牌，小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。（1）若小明得金牌，小華一定“不得金牌”，這與“老師只猜對了一個”相矛盾，不合題意。（2）若小華得金牌，那么“小明得金牌”與“小華不得金牌”這兩句都是錯的，那么“小強(qiáng)不得銅牌”應(yīng)是正確的，那么小強(qiáng)得銀牌，小明得銅牌。例3.一位法官在審理一起盜竊案中，對涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁進(jìn)行了審問。四人分別供述如下：甲說：“

26、罪犯在乙、丙、丁三人之中。”乙說：“我沒有做案，是丙偷的?！北f：“在甲和丁中間有一人是罪犯?！倍≌f：“乙說的是事實?！苯?jīng)過充分的調(diào)查，證實這四人中有兩人說了真話，另外兩人說的是假話。同學(xué)們，請你做一名公正的法官，對此案進(jìn)行裁決，確認(rèn)誰是罪犯？思路導(dǎo)航：乙和丁是盜竊犯。如果甲說的是假話，那么剩下三人中有一人說的也是假話，另外兩人說的是真話?？墒且液投扇说挠^點一致，所以在剩下的三人中只能是丙說了假話，乙和丁說的都是真話。即“丙是盜竊犯”。這樣一來，甲說的也是對的，不是假話。這樣，前后就產(chǎn)生了矛盾。所以甲說的不可能是假話，只能是真話。同理，剩下的三人中只能是丙說真話。乙和丁說的是假話，即丙不是罪

27、犯，乙是罪犯。又由甲所述為真話，即甲不是罪犯。再由丙所述為真話，即丁是罪犯。2、 鞏固訓(xùn)練1.小王、小張、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是戰(zhàn)士，一位是大學(xué)生?，F(xiàn)在知道：小李比戰(zhàn)士年齡大，小王和大學(xué)生不同歲，大學(xué)生比小張年齡小。那么三人各是什么職業(yè)?2.甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會英文，乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？3.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。（1）車工只和電工下棋；（2）王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；（3）徐師傅與電工下棋互有勝負(fù)；（4）陳師傅比鉗工下得好。問：徐、王、陳、趙四

28、位師傅各從事什么工種？（7） 牛吃草牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。這類問題常用到四個基本公式，分別是：（1）草的生長速度（對應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)吃的較少天數(shù)）（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；（2）

29、原有草量牛頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)；（3）吃的天數(shù)原有草量（牛頭數(shù)草的生長速度）；（4）牛頭數(shù)原有草量吃的天數(shù)草的生長速度。這四個公式是解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。一般設(shè)每頭牛每天吃草量不變，設(shè)為1，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.青青一牧場 青青一牧場，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改養(yǎng)廿三只，九周走他方；若養(yǎng)二十一，可作幾周糧？（注：“廿”的讀音與“念”相同?！柏ァ奔炊?。）【解說】這道詩題，是依據(jù)聞名于世界的“牛頓牛吃草問題”編寫的。牛頓是英國人，他的種種事跡早已聞名

30、于世，這里不贅述。他曾寫過一本書，名叫普遍的算術(shù)，“牛吃草問題”就編寫在這本書中。書中的這道題目翻譯過來是：一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草是不斷生長的。）解答這一問題，首先必須注意牧場里的草是不斷生長增多的，而并非一個固定不變的數(shù)值。這雖然大大地增加了解題的難度，但我們不要害怕。只要依據(jù)下面的思路，就一定會找到問題的答案。思路導(dǎo)航：因為27頭6星期草料=（276=）162頭一星期草料23頭9星期草料=（239=）207頭一星期草料而這一牧場6星期吃完與9星期吃完，草料數(shù)量要相差207162=45（頭牛吃

31、一星期的草料）這多出的草料，便是96=3（個星期之內(nèi)新長出的草料）所以，一個星期新長出的草料便是453=15（頭牛吃一星期的草料）進(jìn)而可知，這牧場最初的草料數(shù)量就是（2715）6=72（頭牛吃一個星期的草料）現(xiàn)在，有21頭牛來吃這牧場里的草，其中必須拿出15頭牛來吃每個星期新長出來的草料，這就只剩下：21-15=6（頭牛）去吃最初已經(jīng)長成的草料了。所以，21頭牛來吃這牧場的草料，全部吃光所需要的時間就是726=12（個星期）列成綜合算式，就是：27-（239276）（96）621-（239276）（96）=27-453621-4531266=12（個星期）答：21頭牛要12個星期才可以吃完。例

32、2.一個牧場長滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長，已知牛27頭，6天把草吃盡，同樣一片牧場，牛23頭，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？摘錄條件：27頭 6天 原有草+6天生長草23頭 9天 原有草+9天生長草21頭 ？天 原有草+？天生長草解答這類問題關(guān)鍵是要抓住牧場青草總量的變化。設(shè)1頭牛1天吃的草為1，由條件可知，前后兩次青草的問題相差為239-276=45。為什么會多出這45呢？這是第二次比第一次多的那（9-6）3天生長出來的，所以每天生長的青草為453=15現(xiàn)從另一個角度去理解，這個牧場每天生長的青草正好可以滿足15頭牛吃。由此，我們可以把每次來吃草的牛分為兩組，一組是抽出

33、的15頭牛來吃當(dāng)天長出的青草，另一組來吃是原來牧場上的青草，那么在這批牛開始吃草之前，牧場上有多少青草呢？（27-15）6=72那么：第一次吃草量276=162第二次吃草量239=207每天生長草量453=15原有草量（27-15）6=72或162-156=7221頭牛分兩組，15頭去吃生長的草，其余6頭去吃原有的草那么726=12（天）例3.一水庫原有存水量一定，河水每天入庫。5臺抽水機(jī)連續(xù)20天抽干，6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干，若要6天抽干，要多少臺同樣的抽水機(jī)？摘錄條件：5臺 20天 原有水+20天入庫量6臺 15天 原有水+15天入庫量？臺 6天 原有水+6天入庫量設(shè)1臺1天抽水

34、量為1，第一次總量為520=100，第二次總量為615=90每天入庫量(100-90)(20-15)=220天入庫220=40，原有水100-40=6060+26=72726=12（臺）2、 鞏固訓(xùn)練1、 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊了，每分鐘來的旅客一樣多，從開始檢票到隊伍消失（還有人在接受檢票），若開5個檢票口，要30分鐘，開6個檢票口，要20分鐘。如果要在10分鐘消失，要開多少個檢票口？2、 畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達(dá)的時間。3、 由

35、于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天勻速減少。經(jīng)過計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或者供16頭牛吃6天，那么這片牧場上的草可供11頭牛吃幾天？4、 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。如果牧場上的草可供20頭牛吃5天，或者供15頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃10天？3、 拓展提升1.自動扶梯以均勻的速度由上往下行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，小明每分鐘走20梯級，小紅每分鐘走14梯級，結(jié)果小明4分鐘到達(dá)樓上，小紅用5分鐘到達(dá)樓上，求扶梯共有多少級？2.兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸牛一個白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往

36、下滑，兩只蝸牛下滑速度相同，結(jié)果一只蝸牛5晝夜到達(dá)井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是多少？3.有三塊草地，面積分別是5公頃，15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天；第二塊草地可供28頭牛吃45天。那么第三塊草地可供多少頭牛吃80天？4.12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等）？（8） 工程問題顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括

37、行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率工作時間，工作時間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。一、例題與方法指導(dǎo)例1.單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？思路導(dǎo)航：以

38、全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效例2.某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務(wù)。問：甲隊干了多少天？思路導(dǎo)航：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。例3.單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？思路導(dǎo)航：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，

39、所以甲隊實際工作了例4.一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務(wù)時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？思路導(dǎo)航：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，2、 鞏固訓(xùn)練1.一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？2.甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？3.某工程甲單獨干10天

40、完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？4.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3、 能力提升1.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？2.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天?，F(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結(jié)果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？3.蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合

41、開多長時間？4.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。（9） 植樹問題只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細(xì)心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一

42、端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長、間距(棵距)長、棵數(shù)只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個植樹問題的分類：直線型的植樹問題封閉型植樹問題特殊類型的植樹問題1、 例題與方法指導(dǎo)例1 有一條公路長1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?思路導(dǎo)航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有10005=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2

43、某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?思路導(dǎo)航：在圓周上植樹時，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=13509=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150，所以栽夾枝桃的株數(shù)=2150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每兩株之間的距離=9(2+1)=3(米)。例3 一條街上，一旁每隔8米有一個廣告牌，從頭到尾有16個廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)整，變成每

44、12米有一個廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個牌不需要移動？思路導(dǎo)航：16個廣告牌，每相鄰的兩個廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15 個間隔，這條街的總長度為815120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個廣告牌，那么不移動的牌離端點的距離一定既是8的倍數(shù)，同時也是12的倍數(shù)；83=122=24，也就是說，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動；120245，即段數(shù)為5個，但要扣除兩端的2個，所以，中間不需要移動的有5-1=4個。事實上，所謂植樹問題只是我們對這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問

45、題又稱上樓梯問題。2、 鞏固訓(xùn)練1 某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？2 光華路小學(xué)三年級學(xué)生有125人參加運動會入場式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺長42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺需要多少分鐘?3 下圖是五個大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長度是多少？十個這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？4 一個木工把一根長24米的木條鋸成了3米長的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?3、 能力提升1. 一個街心花園如下圖所示，它由四個大小相等的等邊三角形組成。已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？2. 時鐘4點敲4下，用12秒敲完。那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？