中考數(shù)學(xué)--二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)題

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn). 的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相

2、同. 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱(chēng)軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線中，的作用 （1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口

3、大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三

4、點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2

5、個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn). （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故第二部分 典型習(xí)題.拋物線yx22x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ C）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 第,題圖 第4題圖.二次函數(shù)的圖象如圖

6、所示，則下列結(jié)論正確的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（EF不過(guò)A、B），設(shè)E到BC的距離為，則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（ ）.拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為 4 6.已知二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、（），則對(duì)于下列結(jié)論：當(dāng)x2時(shí)，y1；當(dāng)時(shí)，y0；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、；，；，其中所有正確的結(jié)論是（只需填寫(xiě)序號(hào)）7.已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線上，試確定這條拋物線的解

7、析式；（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BCAB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線的解析式.解：（1）或 將代入，得.頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，解得.（2）8.有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時(shí)，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時(shí), 相應(yīng)的輸出值分別為5,（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)輸出值為正數(shù)時(shí)輸入值的取值范圍. 解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,yOx則,即 ,解得故所求的解析式為:.（2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當(dāng)輸出值為正數(shù)時(shí)，輸入值的取值范圍是或第9題9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫

8、會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖請(qǐng)根據(jù)圖象回答：第一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時(shí)間? 第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到 22時(shí)的曲線是拋物線，求該拋物線的解 析式解：第一天中，從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的體溫是上升的 它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39 10.已知拋物線與x軸交于A、 B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C是否存在實(shí)數(shù)a，使得ABC為直角三角形若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：依題意

9、，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4） 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（，0），（，0）， 由，解得， 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（，0） ， ，當(dāng)時(shí)，ACB90° 由， 得 解得 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）， 于是 當(dāng)時(shí)，ABC為直角三角形當(dāng)時(shí)，ABC90°由，得解得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B（-3，0）與點(diǎn)A重合，不合題意當(dāng)時(shí)，BAC90°由，得解得不合題意綜合、，當(dāng)時(shí)，ABC為直角三角形11.已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M、N，并且 MNC的面積等

10、于27，試求m的值.解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 則x1 ，x2是方程 x2mxm20的兩根.x1 x2 m , x1·x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值為1 . （2）M(a，b)，則N(a，b) . M、N是拋物線上的兩點(diǎn), 得：2a22m40 . a2m2 .當(dāng)m2時(shí)，才存在滿(mǎn)足條件中的兩點(diǎn)M、N. .這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為, 又點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2m）,而SM N C = 27 ,2××（2m）×=27 .解得m=7 . 12.已知：拋物線與

11、x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為52的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，問(wèn)：在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使APE的周長(zhǎng)最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解法一：（1）依題意，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x2 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）， 由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）（2） 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1， 0）， t

12、3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點(diǎn)C在拋物線 上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， a±1 所求拋物線的解析式為或（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）.依題意， 且 設(shè)點(diǎn)E在拋物線上，解方程組 得 點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱(chēng)軸x2的同側(cè)， 點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）設(shè)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x2上存在一點(diǎn)P，使APE的周長(zhǎng)最小 AE長(zhǎng)為定值， 要使APE的周長(zhǎng)最小，只須PAPE最小 點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B（3，0）， 由幾何知識(shí)可知，P是直線BE與對(duì)稱(chēng)軸x2的交點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn)E、B的直線的解析式為， 解得 直線BE的解析式為 把x2代入上式，得 點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，）設(shè)點(diǎn)E在拋物線

13、上， 解方程組 消去，得 0 . 此方程無(wú)實(shí)數(shù)根綜上，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P（2，），使APE的周長(zhǎng)最小解法二：（1） 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0）， t3a 令 y0，即解得 ， 拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）（2）由，得D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點(diǎn)C在拋物線上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， 解得OD3 a±1 所求拋物線的解析式為或（3）同解法一得，P是直線BE與對(duì)稱(chēng)軸x2的交點(diǎn) 如圖，過(guò)點(diǎn)E作EQx軸于點(diǎn)Q設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為F由PFEQ，可得 點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，）以下同解法一13.已知二次函數(shù)的圖象如圖

14、所示（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）將OAC補(bǔ)成矩形，使OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫(xiě)出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)程）解：（1）設(shè)拋物線的解析式， 其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是 （2）設(shè)線段BM所在的直線的

15、解析式為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（t，h）， 解得， 線段BM所在的直線的解析式為 ，其中 s與t間的函數(shù)關(guān)系式是，自變量t的取值范圍是（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，則，分以下幾種情況討論：i）若PAC90°，則 解得：，（舍去） 點(diǎn)ii）若PCA90°，則 解得：（舍去） 點(diǎn)iii）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，所以邊AC的對(duì)角APC不可能是直角（4）以點(diǎn)O，點(diǎn)A（或點(diǎn)O，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊OA（或邊OC）的對(duì)邊上，如圖a，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（1，2）， 以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊

16、上，如圖b，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E，F(xiàn) 圖a 圖b14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：根據(jù)題意，得a21. a1 這個(gè)二次函數(shù)解析式是因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面111000的比例圖上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DEAB，如圖（1）在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，以1 cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2） （1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖

17、象的函數(shù)解析式，寫(xiě)出函數(shù)定義域； （2）如果DE與AB的距離OM0.45 cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)（備用數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果精確到1米）解：（1）由于頂點(diǎn)C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為 因?yàn)辄c(diǎn)A（，0）（或B（，0）在拋物線上， 所以，得因此所求函數(shù)解析式為 （2）因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為， 所以，得 所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）所以因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為 （米）16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖二次函數(shù)（a0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C（1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?（2）如果線段OC

18、的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b4，求a、c的值解:（1）a、c同號(hào) 或當(dāng)a0時(shí)，c0；當(dāng)a0時(shí)，c0（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），則 ， 據(jù)題意，、是方程的兩個(gè)根 由題意，得，即 所以當(dāng)線段OC長(zhǎng)是線段OA、OB長(zhǎng)的比例中項(xiàng)時(shí)，a、c互為倒數(shù)（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知， a0解法一：ABOBOA， ， 得 c2. 解法二：由求根公式， ， ， ，得 c217.如圖，直線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，E經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn)（1）C是E上一點(diǎn)，連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D，若CODCBO，求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式：（3）若延長(zhǎng)BC到P，使DP2，連結(jié)AP，試判斷直線PA與E的