平穩(wěn)隨機過程

1、1平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程的譜分析的譜分析第三章第三章2本章要解決的問題本章要解決的問題 v隨機信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法隨機信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? ? v傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機信號？傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機信號？ v相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 v功率譜的應(yīng)用功率譜的應(yīng)用 v白噪聲的定義白噪聲的定義 33.1 隨機過程的譜分析隨機過程的譜分析 一一 預(yù)備知識預(yù)備知識1 付氏變換付氏變換設(shè)設(shè)x(t)是時間是時間t的非周期實函數(shù)，且的非周期實函數(shù)，且x(t) 滿足滿足 在在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(tx),( 絕對可積，即絕對可積，即 )

2、(txdttx )( 信號的總能量有限，即信號的總能量有限，即 )(txdttx2)(有限個極值有限個極值有限個斷點有限個斷點斷點為有限斷點為有限值值4則則 的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： )(txdtetxXtjX)()( 其反變換為：其反變換為： deXtxtjX)(21)(稱稱 為為 的頻譜密度，也簡稱為頻譜。的頻譜密度，也簡稱為頻譜。)(tx)(XX包含：振幅譜包含：振幅譜 相位相位譜譜52 帕塞瓦等式帕塞瓦等式dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)(即即能量譜密能量譜密度度實

3、隨機過程的功率譜密度實隨機過程的功率譜密度6二二 隨機過程的功率譜密度隨機過程的功率譜密度 應(yīng)用截取函數(shù)應(yīng)用截取函數(shù) TtTttxtxT0)()(7當當x(t)為有限值時，為有限值時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在 )(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(應(yīng)用帕塞瓦等式應(yīng)用帕塞瓦等式 dTXdttxXTT22),(21)(dTXTdttxTXTT22),(41)(21dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21除以除以2T取集合平均取集合平均8令令 ，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序，再取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序 T dTTXEdttXETXTTT

4、T2),(lim21)(21lim22 功率功率Q )( XS非負非負存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1）Q為確定性值，不是隨機變?yōu)榇_定性值，不是隨機變量量)( XS（2） 為確定性實函數(shù)。為確定性實函數(shù)。注意：注意：9兩個結(jié)論：兩個結(jié)論： )(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示時間平均表示時間平均 若平穩(wěn)若平穩(wěn))0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(21210功率譜密度：功率譜密度： 描述了隨機過程描述了隨機過程X(t)的的 功率在各個不同頻率上的分布功率在各個不同頻率上的分布 稱為稱為隨機過程隨機過程X(t)的功率譜密度。的功率譜密度。 )

5、( XS)( XS對對 在在X(t)的整個頻率范圍內(nèi)積分，的整個頻率范圍內(nèi)積分，便可得到便可得到X(t)的功率。的功率。 )( XS對于平穩(wěn)隨機過程，有：對于平穩(wěn)隨機過程，有： dStXEX)(21)(211例：設(shè)隨機過程例：設(shè)隨機過程 ，其中，其中 皆是實常數(shù)，皆是實常數(shù)， 是服從是服從 上均勻分布的隨上均勻分布的隨機變量，求隨機過程機變量，求隨機過程 的平均功率。的平均功率。 )cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：解：taa0222sin2不

6、是寬平穩(wěn)的不是寬平穩(wěn)的)(tX12)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT13實平穩(wěn)功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系實平穩(wěn)功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 確定信號：確定信號：)()(jXtx隨機信號：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)隨機信號：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。功率譜密度。 1 維納維納辛欽定理辛欽定理 若隨機過程若隨機過程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：氏變換，即：14deRSjXX)()(deSRjXX)(21)( 15推論：對于一般的

7、隨機過程推論：對于一般的隨機過程X(t)，有：，有： dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(平均功率為：平均功率為： dSdttXETXTTT )(21)(21lim2 利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納數(shù)的性質(zhì)，又可將維納辛欽定理表示成：辛欽定理表示成： dRSXXcos)(2)(dSRXXcos)(1)(163單邊功率譜單邊功率譜 由于實平穩(wěn)過程由于實平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) 是實偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實偶函是實偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實偶函數(shù)。有時我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的數(shù)。有時我們

8、經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。單邊功率譜。 )( XR000)(2)(XXSG17例：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為例：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為 ，A0， ，求過程的功率譜密度。，求過程的功率譜密度。 AeRX)(0 解：應(yīng)將積分按解：應(yīng)將積分按 和和 分成兩部分進行分成兩部分進行 deAedeAeSjjX00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A18例：設(shè)例：設(shè) 為隨機相位隨機過程為隨機相位隨機過程其中，其中， 為實常數(shù)為實常數(shù) 為隨機相位，在為隨機相位，在 均勻分布。可以推導(dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)均勻分布。可以推導(dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)隨機過程，自相關(guān)函數(shù)為隨機過程，自相關(guān)

9、函數(shù)為 求求 的功率譜密度的功率譜密度 。)(tX)cos()(0tAtX0,A)2 , 0()cos(2)(02tARX)(XS)(tX19解：注意此時解：注意此時 不是有限值，即不不是有限值，即不可積，因此可積，因此 的付氏變換不存在，需要的付氏變換不存在，需要引入引入 函數(shù)。函數(shù)。 dRX )()( XR deAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je20例：設(shè)隨機過程例：設(shè)隨機過程 ，其中，其中 皆為皆為常數(shù)，常數(shù)， 為具有功率譜密度為具有功率譜密度 的平穩(wěn)隨機的平穩(wěn)隨

10、機過程。求過程過程。求過程 的功率譜密度。的功率譜密度。 ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE)2cos()cos(20002ttRaXdettRASjYY),()(deRajX02cos)(2)()(4002XXSSa21平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質(zhì) 一一 、 功率譜密度的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì) 1 功率譜密度為非負的功率譜密度為非負的,即即 0)(XS證明：證明：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2 功率譜密度是功率譜密度是 的

11、實函數(shù)的實函數(shù) 223 對于實隨機過程來說，功率譜密度是對于實隨機過程來說，功率譜密度是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，即即)()(XXSS證明：證明：)(txT是實函數(shù)是實函數(shù)*)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2),(lim)(2)()(XXSS又又234 功率譜密度可積，即功率譜密度可積，即 dSX)(證明：對于平穩(wěn)隨機過程，有：證明：對于平穩(wěn)隨機過程，有： dStXEX)(21)(2平穩(wěn)隨機過程的均方值有限平穩(wěn)隨機過程的均方

12、值有限dSX)(24二二 譜分解定理譜分解定理 1 譜分解譜分解 在平穩(wěn)隨機過程中有一大類過程，它們在平穩(wěn)隨機過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為的功率譜密度為 的有理函數(shù)。在實際中，的有理函數(shù)。在實際中，許多隨機過程的功率譜密度都滿足這一條許多隨機過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來逼近來逼近 。這時。這時 可以表示為兩個可以表示為兩個多項式之比，即多項式之比，即 )( XS)( XS25 若用復(fù)頻率若用復(fù)頻率s來表示功率譜密度，那么，對來表示功率譜密度，那么，對于一個有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式于一個有理函數(shù)，總能把

13、它表示成如下的因式分解形式：分解形式： )()()()()(21212NMXbsbsasasasS02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMX26 據(jù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度的性質(zhì)，據(jù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于可以導(dǎo)出關(guān)于 的零、極點的如下性質(zhì)的零、極點的如下性質(zhì)：)( XS（1） 為實數(shù)。為實數(shù)。 2（2） 的所有虛部不為的所有虛部不為0的零點和極點的零點和極點都成復(fù)共軛出現(xiàn)。都成復(fù)共軛出現(xiàn)。 )( XS（3） 的所有零、極點皆為偶重的。的所有零、極點皆為偶重的。 )( XS（4） MN。 272 譜分解定理譜分解定理 根據(jù)上面的性質(zhì)，可將根據(jù)上

14、面的性質(zhì)，可將 分解成兩項之積，分解成兩項之積，即：即： )( XS)()()(sSsSsSXXX)()()()()(11NMXssssasS)()()()()(*1*1NMssssasSX其中其中（零極點在（零極點在s s上半平面）上半平面）（零極點在（零極點在s s下半平面）下半平面）*)()(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且且譜分解定理譜分解定理 jjXdssSjtXE)(21)(2此時此時283 為有理函數(shù)時的均方值求法為有理函數(shù)時的均方值求法)( XS（1）利用）利用 )( XR)0()()(02XXXRRtXE （2）直接利用積分公式）直接利用積分公式 dStXEX

15、X)(21)(2（3）查表法）查表法 （4）留數(shù)法）留數(shù)法 29補充知識：留數(shù)定理補充知識：留數(shù)定理 設(shè)為設(shè)為 復(fù)變量復(fù)變量s的函數(shù)，且其繞原點的的函數(shù)，且其繞原點的簡單閉曲線簡單閉曲線C反時針方向上和曲線反時針方向上和曲線C內(nèi)部只有內(nèi)部只有幾個極點幾個極點 )(sBips 則：則： niCdssBj1()(21內(nèi)部極點的留數(shù)）曲線pssBps )()(pssBpsdsd )()(2一階留數(shù)一階留數(shù) 二階留數(shù)二階留數(shù) 30jjXdssSjtXE)(21)(2 上式積分路徑是沿著上式積分路徑是沿著 軸，應(yīng)用留數(shù)法時，要軸，應(yīng)用留數(shù)法時，要求積分沿著一個閉合圍線進行。為此，考慮沿著求積分沿著一個閉

16、合圍線進行。為此，考慮沿著左半平面上的一個半徑為無窮大的半園積分。根左半平面上的一個半徑為無窮大的半園積分。根據(jù)留數(shù)定理，不難得出據(jù)留數(shù)定理，不難得出j）左半平面內(nèi)極點的留數(shù)()(2tXE31功率譜密度和復(fù)頻率面功率譜密度和復(fù)頻率面 js0js js)(sSX)(XS（只是記號相同，函數(shù)形式不同）（只是記號相同，函數(shù)形式不同）32例例: 考慮一個廣義平穩(wěn)隨機過程考慮一個廣義平穩(wěn)隨機過程X(t)，具有功，具有功率譜密度率譜密度 9104)(242XS)(2tXE求過程的均方值求過程的均方值解解: 用復(fù)頻率的方法來求解。用復(fù)頻率的方法來求解。用用 代入上式得用復(fù)頻率代入上式得用復(fù)頻率s表示得功率表

17、示得功率譜密度：譜密度：js 910)4()(242ssssSX33因式分解：因式分解： )3)(1)(3)(1()2)(2()(sssssssSX2-23-3-11j0 在左半平面內(nèi)有兩在左半平面內(nèi)有兩個極點：個極點：-1和和-3。于是可。于是可以分別計算這兩個極點的以分別計算這兩個極點的留數(shù)為：留數(shù)為： )(sSX163)3)(1)(3()2)(2(11ssssssK485)3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)(2tXE故：故：343.2 兩個實隨機過程的互功率譜密度兩個實隨機過程的互功率譜密度一、互譜密度一、互譜密度 考慮兩個平穩(wěn)實隨機過程考慮兩個平穩(wěn)實隨機

18、過程X(t)、Y(t)， 它們它們的樣本函數(shù)分別為的樣本函數(shù)分別為 和和 ，定義兩個截取，定義兩個截取函數(shù)函數(shù) 、 為：為：)(tx)(ty txT tyTTtTttxtxT0)()(TtTttytyT0)()(35 因為因為 、 都滿足絕對可積的條件，都滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時間范圍所以它們的傅里葉變換存在。在時間范圍 (-T，T)內(nèi)，兩個隨機過程的互功率內(nèi)，兩個隨機過程的互功率 為為:（注意（注意 、 為確定性函數(shù)，所以求平均為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時間平均）功率只需取時間平均） txT tyT)(TQXY txT tyTTTTTXYdttytxTTQ)

19、()(21)(TTdttytxT)()(21 由于由于 、 的傅里葉變換存在，故帕的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即塞瓦定理對它們也適用，即: txT tyT36dttytxTT)()(*dTYTXYX),(),(21*dttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(dTTYTXYX2),(),(21* 注意到上式中，注意到上式中， 和和 是任一樣本函數(shù)，因是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機性，取數(shù)學(xué)期望，并令此具有隨機性，取數(shù)學(xué)期望，并令 得：得： )(tx)(ty T37)()(21lim)(limdttytxTEQTQETTTXYXYT ),(21limdtttR

20、TTTXYTdTTXTXEYXT2),(),(lim21* 定義互功率譜密度為：定義互功率譜密度為：),(),(21lim)(*TXTXETSYXTXYdSQXYXY)(21則則38同理，有：同理，有：),(),(21lim)(*TXTXETSXYTYXdSQYXYX)(21YXXYQQ且且39二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系二、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度功率譜密度 F互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 互譜密度互譜密度 F 定義：對于兩個實隨機過程定義：對于兩個實隨機過程X(t)、Y(t)，其互譜密度其互譜密度 與互相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù) 之間之間的關(guān)系為的關(guān)系為 )( XYS

21、),( ttRXYdettRASjXYXY),()()(),(XYXYSttRA即即40若若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即即結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn)穩(wěn))的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。41三、互譜密度的性質(zhì)三、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：)()()(* YXYXXYSSS 證明：證明： deRSjXYXY)()( deRjYX)( （令（令

22、） deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS42性質(zhì)性質(zhì)2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS證明：證明： deRSjXYXY)()(djRXY)sin()cos(dRSXYXYcos)()(RedRXYcos)()(ReXYS （令（令 ） 同理可證同理可證)(Re)(ReYXYXSS43性質(zhì)性質(zhì)3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS證明：類似性質(zhì)證明：類似性質(zhì)2證明。證明。性質(zhì)性質(zhì)4： 若若X(t)與與Y(t)正交，則有正交，則有 0)(YXS0)(XYS證明：若證明：若X(t)與與Y(t)正交，則正交，則 0),(),(2

23、121ttRttRYXXY所以所以0)()(YXXYSS44性質(zhì)性質(zhì)5 5： 若若X(t)與與Y(t)不相關(guān)，不相關(guān)，X(t)、Y(t)分分別具有常數(shù)均值別具有常數(shù)均值 和和 ，則，則 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS證明：證明： 因為因為X(t)與與Y(t)不相關(guān)，所以不相關(guān)，所以YXmmtYtXE )()(21 deRSjXYXY )()(demmjYX)(2YXmm)(21 （ ）45性質(zhì)性質(zhì)6： )(),(XYXYSttRA)(),(YXYXSttRA例：設(shè)兩個隨機過程例：設(shè)兩個隨機過程X(t)和和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)其互相關(guān)函數(shù) 為為: )( XYR00

24、09)(3eRXY求互譜密度求互譜密度 ， 。)( XYS)( YXS46解：解： deRSjXYXY)()(deej39dej )3(9j39jSSXYYX39)()(*473.3 白噪聲白噪聲一、理想白噪聲一、理想白噪聲定義：若定義：若N(t)為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度均勻分布在過程，其功率譜密度均勻分布在 的整的整個頻率區(qū)間，即個頻率區(qū)間，即 ),(021)(NSN其中其中 為一正實常數(shù)，則稱為一正實常數(shù)，則稱N(t)為白噪聲過為白噪聲過程或簡稱為白噪聲。程或簡稱為白噪聲。0N48自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為 deSRjNN)(21)(deNj40

25、)(210N0001)0()()(NNNRRr自相關(guān)系數(shù)為自相關(guān)系數(shù)為 49總結(jié)：總結(jié)：（1）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。）白噪聲只是一種理想化的模型，是不存在的。（2）白噪聲的均方值為無限大）白噪聲的均方值為無限大 )0(2)0()(02 NRtXEN而物理上存在的隨機過程，其均方值總是有而物理上存在的隨機過程，其均方值總是有限的。限的。（3）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便等優(yōu)點。）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便等優(yōu)點。50二、限帶白噪聲二、限帶白噪聲1低通型低通型定義：若過程的功率譜密度滿足定義：若過程的功率譜密度滿足 WWSSX0)(0則稱此過程為低通型限帶白噪聲。將白噪則稱此過程為低通型限帶白噪聲。將白噪聲通過一個理想低通濾波器，便可產(chǎn)生出聲通過一個理想低通濾波器，便可產(chǎn)生出低通型限帶白噪聲。低通型限帶白噪聲。51低通型限帶白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為低通型限帶白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為deSRjXX)