(完整word版)導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算知識點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率 (1)概念：函數(shù)方中，如果自變量X在町處有增量A工,那么函數(shù)值y也相應(yīng)的有增量4Axy=f(x o+Ax)-f(x 0),其比值上叫做函數(shù)尸二外外從飛到飛十x的平均變化率，即生=fg 飛)Ax o勺二)一，(/)若=/，/=/ ,加，則平均變化率可表示為3 馬f ,稱為函數(shù)/從可到三的平均變化率。一、/汪忠：事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量 與體積增量的比值；函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當(dāng) 支取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。A五是自變量x在k處的改變量，合工芒0 ;而矽 是函數(shù)值的改變量，可以是

2、 0。函數(shù)的平均變化率是0,并不一定說明函數(shù)沒有變化，應(yīng)取&c更小考慮。(2)平均變化率的幾何意義1 二孔/)-/(匯1)函數(shù)) 的平均變化率折修一/的幾何意義是表示連接函數(shù)，=/W圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。如圖所示，函數(shù) 八工)的平均變化率 與一瓦的幾何意義是：直線 AB的斜率。以-以小的)-八西)Av事實(shí)上，一瓦O作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念:2 .導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)，=/口），在點(diǎn)工二飛處給自變量x以增量工，函數(shù)y相應(yīng)有增量lim Ar = lini,每+5-/5）小=（馬+及）-/（/）。若極限皿。Ar x 加存在，則此極限稱為/（

3、工）在點(diǎn)而處的導(dǎo)數(shù)，記作/"。）或,此時(shí)也稱丁（界）在點(diǎn)飛處可導(dǎo)。戶,、7 r /（而+6力-/）- -/-（%）f（Xn）二熠白煙 J 裁切即：皿口人*口 Ax （或 i x-瓦 ）一、/汪忠：增量A元可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。3 .導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)v=/（工）在開區(qū)間s向內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對于每一個(gè)x e（口力），都對 應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) "4,從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),5 ,稱這個(gè)函數(shù)/'（X）為函數(shù) 二"功在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn) 飛處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，（

4、）是常數(shù)，是函數(shù)，|（x）在1=/ 處的函數(shù)值，反映函數(shù),5）在工"七附近的變化情況。4 .導(dǎo)數(shù)幾何意義：（1）曲線的切線曲線上一點(diǎn)P（x。，yo）及其附近一點(diǎn)Q（xo+Ax,y o+Ay）,經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ目.則有史加=3戶=生一其傾斜角為內(nèi)工當(dāng)點(diǎn)Q（xo+4x,y o+y）沿曲線無限接近于點(diǎn)P（x。，yo）,即Ax-O時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線。若切線的傾斜角為0,則當(dāng)x-O時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù),'（而）是曲線？ =，（#）上點(diǎn)（/，,（/）處的切線的斜率。一、/汪忠：若曲

5、線V= /（X）在點(diǎn)S）處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與式軸垂直。1n/）°,切線與工軸正向夾角為銳角；,切線與X軸正向夾角為鈍角;/= 0,切線與X軸平行。（3）曲線的切線方程如果丁 =，（方在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線尸二/（的在點(diǎn)（礴JH）處的切線方程為:=/0口)0一%)5 .瞬時(shí)速度:物體運(yùn)動(dòng)的速度等于位移與時(shí)間的比， 而非勻速直線運(yùn)動(dòng)中這個(gè)比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度，我們采用瞬時(shí)速度這一概念。如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足s=s（t）（位移公式），那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v,就是物 體t到t+ t這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t 0時(shí)平均速度的極限，即v=rF(r)

6、=.+孫-4 工 h如果把函數(shù)了二W看作是物體的位移公式），導(dǎo)數(shù)s'體）表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻壇的瞬時(shí)速 度。規(guī)律方法指導(dǎo)1 .如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出3和卜 _汽電）一1）作商：對所求得的差作商，即 網(wǎng) 電-瓦 。一、/汪忠：0 _/（覆）-/（/）/（為+3一/（再）（1）取勺一看除 ,式子中A五、&V的值可正、可負(fù)，但A匯的值不能為零，H的值可以為零。若函數(shù), 為常數(shù)函數(shù)時(shí)，&。（2）在式子及修一近中，小與叢是相對應(yīng)的“增量”，即在及二看時(shí)，3 =/（嗎）-/（/）a _ 4Ax）n）（3）在式子A工Ah 中，當(dāng)/取定值，匯

7、取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均 變化率不同；當(dāng)8左取定值，為取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2 .如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1）利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”。計(jì)算函數(shù)的增量：咐；求平均變化率：AxA工；尸（%） = Hm 生= 11 m取極限得導(dǎo)數(shù)：'口及 IA工。（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)= /（工）在點(diǎn)飛的導(dǎo)數(shù)是尸國），則,優(yōu)）表示曲線，=/（力在點(diǎn)（頻JM） 處的切線的斜率。設(shè)M二式。是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則 式G表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度；設(shè)廿二 v（f）是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則3（幻表示物體在

8、3;二。時(shí)刻的加速度；4 .利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出V二八功在而處的導(dǎo)數(shù)/'（電；利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為 k =/5好-%） 0類型一：求函數(shù)的平均變化率C 求產(chǎn)二2八1在吃到七+及之間的平均變化率，并求=1產(chǎn)-2時(shí)平均變化率的值.Ay _ f（x0 +Ax）-/faj思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式 柢 Ah進(jìn)行操作.【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2 , 2心荒內(nèi)的平均變化率?！咀兪?】已知函數(shù)八分別計(jì)算 以口在下列區(qū)間上的平均變化率:(1) 1,3;(2) 1,2;(3) 1 ,1.1;(4) 1 , 1.001.1 :【變式3】自由落

9、體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為2 ，計(jì)算t從3s到3.1s , 3.01s , 3.001s各段內(nèi)的平均速度(位移s的單位為m> ?！咀兪?】過曲線沖八工)三/上兩點(diǎn)尸0)和Q0+加+3)作曲線的割線，求出當(dāng)& 時(shí)割線的斜率.類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三:【變式1已知函數(shù) 工(1)求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).產(chǎn)一« P(4r-)(2)求曲線 x 上一點(diǎn) 4處的切線方程?！咀兪?】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1),您)=，/二工,力工)(4)工Q3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù) y

10、=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo) 數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將 x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點(diǎn)的切線:(1)平行于直線y=4x5;(2)垂直于直線2x6y+5=0;(3)與x軸成135°的傾斜角。知識點(diǎn)三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)，=C (C為常數(shù)),/=°(2)八療二1(n為有理數(shù))，/口)三外(3) /二叫/二儂工(4) /(工)=8門，義工)二一紀(jì)門(5)八，“船靖/必二尸二屋出口/W = lnx工（8）-gd 尸 4"知識點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè)丁,自（幻均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù)：

11、m幻土以切.尸士改）積的導(dǎo)數(shù)：次力以力丁=尸團(tuán)宮+力日）啊,=虱工）7才（3）商的導(dǎo)數(shù)：式琦一 慧?（虱°）知識點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即復(fù)合函數(shù)沙=雙由對自變量工的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)尸對中間變量"=就制的導(dǎo)數(shù)力3乘以中間變量期對自變量X的導(dǎo)數(shù)注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不 遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導(dǎo)1 .求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對哪個(gè)變量求導(dǎo)）；把中間變量代回原自變量（一般是 x）的函數(shù)。整個(gè)過程可簡記為分解一一求導(dǎo)一一回代，

12、熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù) 合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2)1(1)(3) ”1空/-1第”；(4) y=2x33x2+5x+4舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(3) y=6x34x2+9x 62、求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)八乃(3) y=(2) y=x2sinx;犬十C0SX(4) y=H + W舉一反三：【變式U函數(shù)歹=（工+15- 1）在人二1處的導(dǎo)數(shù)等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【變式2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)21'- 3篡+6-1（1） ¥=（工 + 1）（2/ +弘-1）；'式必【

13、變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).y =+ - +(1) 工(2) ;(3)工類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)3、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù).嚴(yán)1G + 2)；(4)y = cos(2 + l)舉一反三：【變式11求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）+寸;(3) y=ln (x+ J1+,)；(4)j (x) = e-r(cos x + sin x)類型五：求曲線的切線方程4、求曲線y=x=2x在x=1處的切線方程.【變式U求曲線"一嚏在點(diǎn)9')處的切線的斜率，并寫出切線方程【變式2】已知尸C1D, 0(2,%是曲線,二上的兩點(diǎn)，則與直線尸0平行的曲線 =/的 切線方程是.【變式3】已知曲線 ".(1)求曲線口上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；(2)第(1)小題中的切線與曲線口是否還有