九年級(jí)弧長和扇形面積計(jì)算講義

1、弧長和扇形面積計(jì)算內(nèi)容基本要求略高要求較高要求弧長會(huì)計(jì)算弧長能利用弧長解決有關(guān)問 題扇形會(huì)計(jì)算扇形面積能利用扇形面積解決有 關(guān)的簡單問題圓錐的側(cè)面 積和全面積會(huì)求圓錐的側(cè)面積和全面積能解決與圓錐有關(guān)的簡 單實(shí)際問題j自檢自查必考點(diǎn)一、弧長公式由于圓周角課看做360。的圓弧，而360。的圓心角所對(duì)的弧長就是圓周長 C = 2nR ,所以在半徑為K的圓中，。的圓心角所對(duì)的弧長/的計(jì)算公式：【注意】1 .圓心角的單位若不全是“度”，一定要化為“度”再代入公式；2 .公式中的三個(gè)未知量/，*R只要知道兩個(gè)就可以求出第三個(gè)，從而可以推 得圓心角的計(jì)算公式為：二、多邊形滾動(dòng)問題解決多邊形滾動(dòng)問題，要明確旋

2、轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)半徑、旋轉(zhuǎn)方向以及旋轉(zhuǎn)角 度.常見的多邊形滾動(dòng)問題有：1 .正三角形沿水平線翻滾；2,正方形沿水平線翻滾；3 .各內(nèi)角相等的非正多邊形沿水平線翻滾；4 .各內(nèi)角不相等的多邊形沿水平線翻滾.三、扇形1 .扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形 叫做扇形.2 .扇形的周長：在半徑為A,圓心角的度數(shù)為。的扇形中，周長的公式為:3 .扇形面積的計(jì)算公式：（/為扇形的弧長）【注意】扇形的面積有兩個(gè)計(jì)算公式，根據(jù)題目的不同可以選擇不同的公 式進(jìn)行計(jì)算.四、弓形面積的計(jì)算方法1 .弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.2 .弓形的面積計(jì)算：弓形的面積問題可以轉(zhuǎn)化

3、成扇形面積和三角形面積來 計(jì)算.根據(jù)弧的情況不同，有以下三種情況： 當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，S弓形=S瑞形-Sa曲 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，s弓形=s域形 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，圣形=；%五、圓錐1.圓錐的概念：圓錐可以看做是由一個(gè)直角三角形繞一條直角邊所在的直 線旋轉(zhuǎn)而成的圖形.這條直線叫做圓錐的軸.垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，底面是一個(gè)圓面.斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.從圓錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做圓錐的高.連接圓錐的頂點(diǎn)和底面周長的任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.2-圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)圓錐的母線長為，底 面圓的半徑為，那么這個(gè)扇形的半徑就是圓錐的母

4、線/,扇形的弧長就 是圓錐的底面周長2門，因此圓錐的側(cè)面積公式為：3.圓錐的全面積：圓錐的測面積與底面積之和稱為圓錐的全面積.公式為: 【注意】圓錐面積計(jì)算公式中的，/與扇形面積計(jì)算公式中的H，/表示的含 義是不一樣的，應(yīng)用時(shí)不要用混淆.%推論：已知扇形的半徑為R,圓心角為，扇形圍成的圓錐的底面半徑 為，則可以三者之間的關(guān)系為：/例題精講一、弧長的計(jì)算【例1】在半徑為3的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長為（）.A 15n 155c 5A. 丁兀B.C. 工冗D. 5兀nr4【例2】如果中標(biāo)的軸心到分針針端的長為5,那么經(jīng)過40分鐘，鐘表的分針針端 轉(zhuǎn)過的弧長是.【例3】一條弧的長度為

5、12冗，所對(duì)的圓心角為108° ,那么這段弧的半徑為【例4】（2012年漳州）如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周，圓心移動(dòng)的距離 是（）.A. 27rcmB. 4ncmC. 871cmD. 16ncm【例5】（2013年玉林）如圖，實(shí)線部分是半徑為的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的 圓都經(jīng)過另一個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長是m.【例6】（2013年宜賓）如圖，乂8。是正三角形，曲線C0EF叫做正三角形的漸開 線，其中弧8、弧。石、弧“'的圓心依次是A、8、C,如果A4 = I,那 么曲線COEf的長是.【例7】（2013年揚(yáng)州）如圖,在扇形OW中，405 =

6、 110°,半徑04 = 18,將扇形Q4B 沿過點(diǎn)3的直線折疊，點(diǎn)。恰好落在弧加上的點(diǎn)。處，折痕交久于點(diǎn) C,則弧也的長為 .二、多邊形滾動(dòng)問題【例8】（2013年遵義）如圖，將邊長為的等邊三角形A3。沿直線/向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），點(diǎn)4 從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為（）.A.B. 2+白花C. ?D. 34JJ【例9】（2011年蘭州）已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí) 為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面， 再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過的路線長是米.【例10】（2013年貴陽）在矩

7、形A3C0中，AB = 6, 8C = 4,有一個(gè)半徑為1的硬幣與邊AB、AD 相切，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩形內(nèi)沿著邊回、BC、CD、ZM滾動(dòng)到開始的位 置為止，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是（）A. 1圈B. 2圈C. 3圈D. 4圈【例 11】（2012 年呼倫貝爾）如圖，在 RtAABC 中，ZABC = 90°, ZBAC = 30°, A3 = ",將 AABC 繞頂點(diǎn)。按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A4B。的位置，且A、。、方三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng) 過的路線的長度是（）324A. 4B. 2逐C. hD. -7TJJ【例12】（2009年黃岡）已知：矩形A3

8、8的邊鉆=8, 4） = 6,現(xiàn)將矩形A8CO放在直線/上且 沿著/向右作無滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置時(shí)（如圖所示），則頂 點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長是.【例13】（2010年臺(tái)州）如圖，菱形A8CQ中，AB = 2, ZC = 60°,菱形A8CQ在直線 /上向右作無滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng) 過36次這樣的操作菱形中心。所經(jīng)過的路徑總長為（結(jié)果保留H ）【例14】（2013年內(nèi)江）如圖，正六邊形硬紙片A8CQE尸在桌而上由圖1的起始位置沿直線1不 滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2cm,則正六邊形的中心。運(yùn)動(dòng)的路 程為 cm.【

9、例15】（2013年六盤水）把邊長為1的正方形紙片OA8C放在直線，上，3邊 在直線川上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。， 此時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)。處（即點(diǎn)4處），點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)G處，點(diǎn)4運(yùn) 動(dòng)到了點(diǎn)與處，又將正方形紙片固繞及點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90。，按上述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。經(jīng)過的總路程為 ,經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)0經(jīng)過的總路程為【例16如圖，邊長為2的等邊AW尸置于邊長為4的正方形AA”內(nèi)，使點(diǎn)4在邊 AX上.將三角形先繞點(diǎn)4作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后再繞夕作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 如此進(jìn)行，使三角形沿著正方形的邊向前轉(zhuǎn)動(dòng)，直到戶回到原來位置.這 時(shí)頂點(diǎn)戶所行路程長度為三、扇形、弓

10、形面積的計(jì)算【例（2013年資陽）鐘面上的分針的長為1,從9點(diǎn)到9點(diǎn)30分,分針在 鐘面上掃過的面積是（）A.B."nC.；兀D. 71【答案】A【例18】（2013?裂陽）如圖，以AQ為直徑的半圓O經(jīng)過Rt&WC斜邊4?的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊 2AC于點(diǎn)、E, B、七是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧座的長為，兀，則圖中陰影部分的而積為【例19】（2013年東營）如圖，正方形A5CD中,分別以從。為圓心，以正方形的邊長。為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為（）【例20】（2013年昭通）如圖所示是某公園為迎接“中國-南亞博覽會(huì)”設(shè)置的一休閑 區(qū).ZAO4 = 90

11、。，弧的半徑OA長是6米，。是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)。在弧川上，08 , 則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是【例21】【例22】（2012?寧夏）如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角 的柱子上，另一端拴著一只小羊A （羊只能在草地上活動(dòng)），那么小羊 A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是【例23】（2013年遵義）如圖，在RLMBC中，ZACB = 90°, AC = BC = f E為BC邊上 的一點(diǎn)，以A為圓心，他為半徑的圓弧交加于點(diǎn)。，交AC的延長于 點(diǎn)F，若圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等，則"的長為（結(jié)果保留根號(hào)）.【例24】（2013 年鹽城）如圖，在&WC 中，

12、C = 9O0, AB = 5cm, AC = 2cm ,將 AABC 繞頂點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°至M4C的位置，則線段他掃過區(qū)域 （圖中的陰影部分）的面積為四、圓錐【例25】（2013年貴港）如圖，已知圓錐的母線長為6,圓錐的高與母線所夾的角為8,且由治=；, 則該圓錐的側(cè)而積是（）A. 24拒兀B. 24花C. 16冗D. 12冗【例26】（2013?黔西南州）如圖，一扇形紙片，圓心角ZAO3為120° ,弦鉆的 長為2瘋叱用它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐底 面圓的半徑為.【例27】（2013年盤錦）如圖，張老師在上課前用硬紙做了一個(gè)無底的圓錐形教具

13、，那么這個(gè)教具 的用紙面積是_cm2.（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用兀表示）.【例28】（2013年佛山）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求母線即與高AO 的夾角.（參考公式：圓錐的側(cè)面積s=“，其中，為底面半徑，,為母 線長）【例29】（2009年永州）問題探究：（1）如圖所示是一個(gè)半徑為:，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，4?是圓柱的 2兀一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)3點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路 程.（探究思路:將圓柱的側(cè)面沿母線加剪開，它的側(cè)而展開圖如圖中的矩形A84W, 則螞蟻爬行的最短路程即為線段A股的長）：（2）如圖所示是一個(gè)底面半徑為:，母線長為4的圓錐和它

14、的側(cè)面展開圖，Q4是 它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)而爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的 最短路程：<3）如圖所示，在的條件下，一只螞蟻從4點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母 線%上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程.【例30】（2008年南通）鐵匠王老五要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的 正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底 而.他們首先設(shè)計(jì)了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓 的半徑，設(shè)出了如圖所示的方案二.（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧 均相切.方案一中扇形的弧與正方形的兩邊

15、相切）請(qǐng)你幫助他算一算可以嗎？【例31】（1）請(qǐng)說明方案一不可行的理由：（2）判斷方案二是否可行？若可行，請(qǐng)確定圓錐的母線長及其底而圓半徑；若不可行，請(qǐng) 說明理由.【例32如圖：有一個(gè)半徑為R的半圓，要用這個(gè)半圓做一個(gè)圓錐的側(cè)面和底而，小芳想這樣做： 在圓弧上取點(diǎn)C，使= 用扇形08c作圓錐的側(cè)面，在扇形內(nèi)剪一個(gè)最 大的?！弊鲌A錐的底面，你認(rèn)為小芳這樣做辦得到嗎？請(qǐng)你通過計(jì)算說明理由.【例33己知圓錐的底面半徑是4cm,母線長為12cm, C為母線心的中點(diǎn)，求從A 到。在圓錐的側(cè)面上的最短距離./課后作業(yè)【題1】（2012年北海）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上, 將A4

16、8c繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長為（）A. l（hrB業(yè)C.史D.兀33【題2】（2013年山西）如圖，四邊形A8CQ是菱形，Z4 = 60°, AB = 2,扇形比戶的半徑為2, 圓心角為60。，則圖中陰影部分的面積是（）A.絲一 B.4-/C.兀-更3232D.冗-V5【題3】（2013年泰安）如圖，他，CO是o。的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)Q, O,分別是04 08、OC、OO的中點(diǎn)，若OO的半徑為2,則陰影 部分的面積為（）A. 8B. 4D.4兀一 4【題4】（2013年遂寧）如圖，A/WC的三個(gè)頂點(diǎn)都在5X5的網(wǎng)格（每個(gè)小正方 形的邊長均為1個(gè)單

17、位長度）的格點(diǎn)上，將A48C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 乂招。的位置，且點(diǎn)小。仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積約是 （兀冬3.14 ,結(jié)果精確到0.1）【題5】（2013年黃岡）如圖，矩形A8CO中，AB = 4, BC = 3,邊CD在直線/上，將矩形A3C0 沿直線/作無滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為【題6】（2012年遵義）如圖，將邊長為加的正方形A3CO沿直線/向右翻動(dòng)（不滑動(dòng)），當(dāng)正方形連續(xù)翻動(dòng)6次后，正方形的中心O經(jīng)過的路線長是cm.（結(jié)果保留瓦）【題7】（2013年廣安）如圖，如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去:圓周的一個(gè)扇形，將留下 的扇形鬧成一個(gè)圓錐（接健處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高